解三角形与数列

解三角形及其数列专练1．(2016·吉林)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cosA ，3sinA)，n ＝(2cosA ，－2cosA)，m ·n ＝－1. (1)若a ＝23，c ＝2，求△ABC的面积； (2)求b －2cacos （π3＋C ）的值．解析 (1)因为m ·n ＝2cos 2A －3sin2A ＝cos2A －3sin2A ＋1＝2cos(2A ＋π3)＋1＝－1，所以cos(2A ＋π3)＝－1.又π3<2A ＋π3<2π＋π3，所以2A ＋π3＝π，A ＝π3.由12＝4＋b 2－2×2×b×cosπ3，得b ＝4(舍负值)．所以△ABC 的面积为12×2×4×sin π3＝2 3. (2)b －2c acos （π3＋C ）＝sinB －2sinC sinAcos （π3＋C ）＝sin （A ＋C ）－2sinC32cos （π3＋C ）＝32cosC －32sinC 32cos （π3＋C ）＝3cos （π3＋C ）32cos （π3＋C ）＝2.2．(2016·福建)在△ABC 中，B ＝π3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC.(1)若△BCD 的面积为3，求CD ； (2)若AC ＝3，求∠DCA.解析 (1)因为S △BCD ＝3，即12BC ·BD · sinB ＝3，又B ＝π3，BD ＝1，所以BC ＝4.在△BDC 中，由余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC·BD·cosB ，即CD 2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD ＝13.(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC ＝3，由正弦定理，有AC sin2θ＝CD sin θ，所以CD ＝32cos θ.在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ，由正弦定理得，CD sinB ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1sin （2π3－2θ），化简得cos θ＝sin(2π3－2θ)，于是sin(π2－θ)＝sin(2π3－2θ)．因为0<θ<π2，所以0<π2－θ<π2，－π3<2π3－2θ<2π3，所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π，解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA＝π6或∠DCA＝π18.3．(2017·河北)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，a ＝1. (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的周长的取值范围．解析 (1)由(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，即2cosCsinA ＝sinC ＋2sin(A ＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0. 因为sinC ≠0，所以cosA ＝－12，又A∈(0，π)，所以A ＝2π3.(2)因为A ＝2π3，a ＝1，由正弦定理可得b ＝asinB sinA ＝233sinB ，c ＝233sinC ， 所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sinB ＋233sinC ＝1＋233[sinB ＋sin(π3－B)]＝1＋23 3(12sinB＋32cosB)＝1＋233sin(B＋π3)．因为B∈(0，π3)，所以(B＋π3)∈(π3，2π3)，则sin(B＋π3)∈(32，1]，则l＝a＋b＋c＝1＋233sin(B＋π3)∈(2，1＋233].4．已知函数f(x)＝(3sinωx－cosωx)·cosωx＋12(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4 .(1)求y＝f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b－a)cosC＝c·cosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．解析(1)f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx＋12＝32sin2ωx－12(2cos2ωx－1)＝32sin2ωx－12cos2ωx＝sin(2ωx－π6)．因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4，所以T＝π，所以2π2ω＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝sin(2x－π6)．由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋kπ，π3＋kπ](k∈Z)．(2)因为(2b－a)cosC＝c·cosA，由正弦定理，得(2sinB－sinA)cosC＝sinC·cosA，即2sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosC＝12，所以C＝π3.所以0<B<2π3，0<2B<4π3，－π6<2B－π6<7π6.根据正弦函数的图像，可以看出f(x)的最大值为f(B)＝1，此时2B －π6＝π2，即B ＝π3，所以A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．5．(2017·山西)已知f(x)＝cosx (λsinx －cosx)＋cos 2(π2－x)＋1(λ>0)的最大值为3. (1)求函数f(x)的对称轴；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA cosB ＝a2c －b，若不等式f(B)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f(x)＝cosx (λsinx －cosx)＋cos 2(π2－x)＋1＝λsinxcosx －cos 2x ＋sin 2x ＋1＝12λsin2x －cos2x ＋1.≤λ24＋1＋1， 由题意知：λ24＋1＋1＝3，λ2＝12，∵λ>0，∴λ＝2 3. ∴f(x)＝3sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －π6)＋1. 令2x －π6＝π2＋k π，解得x ＝k π2＋π3，(k∈Z)．∴函数f(x)的对称轴为x ＝k π2＋π3(k∈Z)．(2)∵cosA cosB ＝a 2c －b ，由正弦定理，cosA cosB ＝sinA2sinC －sinB 可变形得，sin(A ＋B)＝2cosAsinC ，即sinC ＝2cosAsinC ，∵sinC ≠0，∴cosA ＝12，又0<A<π，所以A ＝π3.∴f(B)＝2sin(2B －π6)＋1，只需f(B)max <m ，∵0<B<2π3，∴－π6<2B －π6<7π6， ∴－12<sin(2B －π6)≤1，即0<f(B)≤3. ∴m>3.数列小题专练一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 答案 D 解析 由题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（2a 1＋10d ）2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d)＝6，故选D.2古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 设该女子第一天织布x 尺，则x （1－25）1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n－1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.3各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9＝36，则前12项和S 12的最小值为( ) A ．78 B ．48 C ．60 D ．72 答案 D解析 S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 4＋a 9)≥6×2a 4a 9＝72，当且仅当a 4＝a 9＝6时等号成立． 5已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n∈N *)，观察下列算式：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg3lg2·lg4lg3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg3lg2·lg 4lg3·…·lg8lg7＝3，…；若a 1·a 2·a 3·…·a m＝2 016(m∈N *)．则m 的值为( )A ．22 016＋2B ．22 016C ．22 016－2D ．22 016－4 答案 C 解析 由于a 1·a 2·a 3·…·a m ＝lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·…·lg （m ＋2）lg （m ＋1）＝lg （m ＋2）lg2＝2 016，可得lg(m ＋2)＝2 016lg2＝lg22 016，可得m ＋2＝22 016，解得m ＝22 016－2.7．(2016·福建质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 通解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以等比数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1·a 2·a 3·a 4·…·a n ＝a 3q 2·a 3q·a 3·a 3q ·…·a 3q n －3＝qn （－2＋n －3）2＝qn （n －5）2，则使得T n >1的n 的最小值为6，故选C.优解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝a 3q 2·a 3q ·a 3·a 3q ＝1q 2<1，排除A ；T 5＝1q 2·a 3q 2＝1，排除B ；T 6＝T 5·a 3q 3＝q 3>1，故选C.8．(2016·长沙调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，a 1＝12，且对任意正整数n ，都有a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，则a 1＋a 20＝( ) 答案 A解析 由条件可得a n ＋1＝－S n S n ＋1，即S n ＋1－S n ＝－S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n ＝1，则数列{1S n }是公差为1的等差数列，故1S n ＝1S 1＋(n －1)×1＝2＋n －1＝n ＋1，故S n ＝1n ＋1，则a 20＝S 20－S 19＝121－120＝－1420，故a 1＋a 20＝12－1420＝209420. 9．(2016·郑州预测)正项等比数列{a n }中的a 1、a 4 031是函数f(x)＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 016＝( )A ．1B ．2 D ．－1 答案 A解析 因为f ′(x)＝x 2－8x ＋6，且a 1、a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4 031＝a 2 0162＝6，即a 2 016＝6，所以log6a 2 016＝1，故选A.10．(2015·洛阳调研)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列{a n2n }的前n 项和为( ) A ．1－n ＋22n ＋1 B ．2－n ＋42n ＋1 C ．2－n ＋42n D ．2－n ＋22n ＋1答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，因为S 3＝6，S 5＝252，所以⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，d ＝12，所以a n＝12n ＋1，a n2n＝n ＋22n ＋1，设数列{an 2n}的前n 项和为T n，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋(123＋124＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42n ＋1. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 017的值等于( ) A ．－2 016 B ．－2 017 C ．－2 015 D ．－2 018 答案 B 解析 ∵S 1212－S 1010＝2，∴12（a 1＋a 12）212－10（a 1＋a 10）210＝2，故a 12－a 10＝4.∴2d ＝4，d ＝2，∴S 2 017＝2 017a 1＋2 017×2 0162×d ＝2 017×(－2 017)＋2 017×2 016＝－2 017.12．(2016·长沙四校)已知函数f(x ＋12)为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，即a n ＝g(n2 014)，则数列{a n }的前2 013项和为( )A ．2 014B ．2 013C ．2 012D ．2 011 答案 B解析 因为f(x ＋12)为奇函数，所以函数y ＝f(x)的图像关于点(12，0)对称，则函数y ＝g(x)的图像关于点(12，1)对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.设S ＝g(12 014)＋g(22 014)＋…＋g(2 0132 014)，倒序后得S ＝g(2 0132 014)＋g(2 0122 014)＋…＋g(12 014)， 两式相加后得2S ＝[g(12 014)＋g(2 0132 014)]＋[g(22 014)＋g(2 0122 014)]＋…＋[g(2 0132 014)＋g(12 014)]＝2 013×2，所以S ＝2 013. 二、填空题15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________．答案 66 解析 依题a n ＝2S n －1＋3(n≥2)，与原式作差得，a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×（1－33）1－3＝66.16．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．答案 2 2n ＋1－2解析 由等比数列的性质，得a 3＋a 5＝(a 2＋a 4)q ，解得q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2. ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n ＋1－2.17．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.则a 2＝_______，a n ＝________．答案 4 n 2解析 依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.当n≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n(n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1.又a 22－a 11＝1，故数列{a n n }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列．所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n.所以a n ＝n 2.18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为_____． －49 解析 由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23.则S n ＝－3n ＋n （n －1）2·23＝13(n 2－10n)，所以nS n ＝13(n 3－10n 2)． 令f(x)＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x)＝x 2－203x ＝x(x －203)，当x∈(1，203)时，f(x)递减；当x∈(203，＋∞)时，f(x)递增，又6<203<7，f(6)＝－48，f(7)＝－49，19．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn }是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2 017＝________．答案 4 015解析因为f(x)是奇函数，在R上是增函数，且数列{xn}是递增数列，所以由f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0可得x8＋x11＝x9＋x10＝0.由数列{an }的公差为2，得x1＝－17，所以xn＝x1＋(n－1)d＝2n－19.所以x2 017＝2×2 017－19＝4 015.20.已知{an }是等差数列，设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an |(n∈N*)．某同学设计了一个求Tn的部分算法流程图(如图)，图中空白处理框中是用n的表达式对Tn 赋值，则空白处理框中应填入：Tn＝________．答案n2－9n＋40解析由流程图可知该等差数列的通项公式是an ＝2n－10或an＝－2n＋10.不妨令an＝2n－10，则当n≥6时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an＝20＋（n－5）（2＋2n－10）2＝n2－9n＋40.1．在等差数列{an }中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．答案20解析方法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.方法二：∵{an }为等差数列，∴3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.2．已知等差数列{an }的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1＝b1，a 4＝b4，a10＝b10，则a1和d的值分别为( )，32 B．－32，32 C．－32，－32 ，－32 答案D3．设数列{an }是公差不为0的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a 4a 1＝( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 答案 D解析 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即为(2a 1＋d)2＝a 1(4a 1＋6d)．又d≠0，故可化简为d ＝2a 1，所以a 4a 1＝a 1＋3×2a 1a 1＝7.4．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D 解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.联立⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4.当⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7q 3＝－7；当⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7. 数列大题专练1．(2016·湖北)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－3S n (n∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解析 (1)当n≥2时，由a n ＝2－3S n①， 得a n －1＝2－3S n －1②，①－②即得4a n ＝a n －1，而当n ＝1时，a 1＝2－3a 1，故a 1＝12.因而数列{a n }是首项为12，公比为14的等比数列，其通项公式为a n ＝12·(14)n －1＝(12)2n －1(n∈N *)．(2)由(1)得b n ＝log 2a n ＝1－2n(n∈N *)． 数列{a n ＋b n }的前n 项和T n ＝a 1＋b 1＋a 2＋b 2＋…＋a n ＋b n ＝(a 1＋…＋a n )＋(b 1＋…＋b n )＝12[1－（14）n ]1－14＋（－1＋1－2n ）n 2＝23－n 2－23×(14)n ，(n∈N *)．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{4a n （a n ＋2）}的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.解析 (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n≥2时，2S n －1＝na n －1， 两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11. 因为a 1＝2，所以a n ＝2n.(2)因为a n ＝2n ，令b n ＝4a n （a n ＋2），n ∈N *，所以b n ＝42n （2n ＋2）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1.因为f(n)＝1n ＋1在n∈N *上是递减函数，所以1－1n ＋1在n∈N *上是递增的， 所以当n ＝1时，T n 取最小值12. 所以12≤T n <1.3．(2016·长沙调研)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n∈N *)，且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是首项为a 1＝1，公差为6的等差数列．所以a n ＝6n －5(n∈N *)． (2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2(n∈N *)，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，所以当n ＝1，2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为(34，＋∞)．4．(2016·衡中一调)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解析 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)， 又因为q≠1，所以a 2＝a 3. 由a 3＝qa 1，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k(k∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1，n ∈N *. 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则 S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝120＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理，得S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.5．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a nn }是等比数列；(2)求通项公式a n 与前n 项的和S n ；(3)设b n ＝n(2－S n )，n ∈N *，若集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．解析 (1)因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n∈N *时，a n n ≠0.又因为a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n∈N *)为常数，所以{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12×(12)n －1＝(12)n . 所以a n ＝n×(12)n.由错位相减法得S n ＝2－(12)n －1－n(12)n .(3)因为b n ＝n(2－S n )(n∈N *)，所以b n ＝n(12)n －1＋n 2(12)n .因为b n ＋1－b n ＝(3－n 2)(12)n ＋1，所以b 2>b 1，b 2>b 3>b 4>….因为集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，且b 1＝b 4＝32，b 2＝2，b 3＝158，b 5＝3532，所以3532<λ≤32.数列专练(二)·1．(2017·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＋a 22＋…＋a nn ＝2n ＋1，(1)求{a n }的通项公式； (2)求{a n }的前n 项和．解析 (1)当n ＝1时，由题设知a 1＝4；当n≥2时，由题设a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n ＋1知a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝2n ，两式相减得a nn＝2n ＋1－2n ， 即a n ＝n×2n (n≥2)， 故{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，n ×2n （n≥2，n ∈N *）.(2)设{a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×22＋2×22＋…＋n×2n，2S n ＝1×23＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1，两式相减得S n ＝n×2n ＋1－(22＋23＋…＋2n )＝n×2n ＋1－4×(2n －1－1) ＝(n －1)×2n ＋1＋4.2．(2016·四川)已知等比数列{a n }的首项a 1＝13，前n 项和S n 满足S 1，2S 2，3S 3成等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2－(11＋a n ＋11－a n ＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <13. 解析 (1)因为S 1，2S 2，3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，当q ＝1时，不符合；当q≠1时，得4a 1（1－q 2）1－q ＝a 1＋3a 1（1－q 3）1－q ，故q ＝13或q ＝0(舍去)．综上可知，a n ＝(13)n .(2)由(1)知a n ＝(13)n ，所以b n ＝2－[11＋（13）n＋11－（13）n ＋1]＝2－11＋（13）n －11－（13）n ＋1＝1－11＋（13）n ＋1－11－（13）n ＋1＝(1－3n 3n ＋1)＋(1－3n ＋13n ＋1－1)＝13n ＋1－13n ＋1－1，由13n ＋1<13n ，13n ＋1－1>13n ＋1得13n ＋1－13n ＋1－1<13n －13n ＋1，所以b n <13n －13n ＋1， 从而T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <(13－132)＋(132－133)＋…＋(13n －13n ＋1)＝13－13n ＋1<13，因此T n <13.3．(2016·湖南)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝43，B ＝60°，且a 2＋c 2＝2b 2；等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n，n 为偶数，求数列{c n }的前2n ＋1项和P 2n ＋1.解析 (1)∵S＝12acsinB ＝43，∴ac ＝16，又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴b 2＝ac ＝16，∴b ＝4，从而(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64，a ＋c ＝8，∴a ＝c ＝4. 故可得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，∴a n ＝4n.∵T n －2b n ＋3＝0，∴当n ＝1时，b 1＝3， 当n≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n≥2)， ∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝3·2n －1. (2)依题意，c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数. P 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝[4＋4（2n ＋1）]·（n ＋1）2＋6（1－4n ）1－4＝22n ＋1＋4n 2＋8n ＋2.4．(2017·保定调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n≥2时，a n ＋1S n－1－a n S n ＝0.(1)求证：数列{S n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝9a n（a n ＋3）（a n ＋1＋3），记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解析 (1)当n≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝(S n ＋1－S n )S n －1－(S n －S n －1)S n ＝S n ＋1S n －1－S n 2＝0， ∴S n 2＝S n －1S n ＋1(n≥2)，又由S 1＝1≠0，S 2＝4≠0，可推知对一切正整数n 均有S n ≠0，则数列{S n }是等比数列，S n ＝4n －1. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×4n －2，又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1，（n ＝1），3×4n －2，（n≥2）. (2)当n≥2时，b n ＝9a n （a n ＋3）（a n ＋1＋3）＝9×3×4n －2（3×4n －2＋3）（3×4n －1＋3）＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1），又b 1＝38， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧38，（n ＝1），3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1），（n≥2），则T 1＝b 1＝38 当n≥2时，b n ＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1）＝14n －2＋1－14n －1＋1，则T n ＝38＋(142－2＋1－142－1＋1)＋…＋(14n －2＋1－14n －1＋1)＝78－14n －1＋1.综上：T n ＝78－14n －1＋1.5．(2016·河南联考)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的单调性；(3)当n≥2时，T 2n ＋1－T n <15－712log a (a －1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1. ∴数列{b n}的通项公式为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ，∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1.∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0.∴数列{c n }是递减数列．(3)由(2)知，当n≥2时，c 2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712log a (a －1)恒成立，即log a (a －1)<－1. 由真数a －1>0，得a>1，∴a －1<1a . 整理为a 2－a －1<0，解得1<a<5＋12.∴a 的取值范围是(1，5＋12)．。