解三角形与数列

解三角形及其数列专练

1．(2016·吉林)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cosA ，3sinA)，

n ＝(2cosA ，－2cosA)，m ·n ＝－1. (1)若a ＝23，c ＝2，求△ABC

的面积； (2)求

b －2c

acos （π

3

＋C ）

的值．

解析 (1)因为m ·n ＝2cos 2A －3sin2A ＝cos2A －3sin2A ＋1＝2cos(2A ＋

π

3

)＋1＝－1，所以cos(2A ＋

π3)＝－1.又π3<2A ＋π3<2π＋π3，所以2A ＋π3＝π，A ＝π

3.由12＝4＋b 2－2×2×b×cos

π3，得b ＝4(舍负值)．所以△ABC 的面积为12×2×4×sin π

3

＝2 3. (2)

b －2

c acos （π3＋C ）＝sinB －2sinC sinAcos （π3＋C ）＝sin （A ＋C ）－2sinC

32cos （π

3＋C ）

＝32cosC －3

2

sinC 32cos （π3＋C ）＝3cos （π

3

＋C ）

32cos （π3＋C ）＝2.

2．(2016·福建)在△ABC 中，B ＝

π

3

，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC.

(1)若△BCD 的面积为3，求CD ； (2)若AC ＝3，求∠DCA.

解析 (1)因为S △BCD ＝3，即12BC ·BD · sinB ＝3，又B ＝π

3，BD ＝1，所以BC ＝4.

在△BDC 中，由余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC·BD·cosB ，

即CD 2

＝16＋1－2×4×1×1

2

＝13，解得CD ＝13.

(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC ＝3，由正弦定理，有AC sin2θ＝CD sin θ，所以CD ＝3

2cos θ.

在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π

3

－2θ，

由正弦定理得，CD sinB ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1

sin （2π

3－2θ）

，

化简得cos θ＝sin(2π3－2θ)，于是sin(π2－θ)＝sin(2π

3－2θ)．

因为0<θ<π2，所以0<π2－θ<π2，－π3<2π3－2θ<2π

3，

所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π

3－2θ＝π，

解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA＝π6或∠DCA＝π18

.

3．(2017·河北)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，a ＝1. (1)求角A 的大小；

(2)求△ABC 的周长的取值范围．

解析 (1)由(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，

即2cosCsinA ＝sinC ＋2sin(A ＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0. 因为sinC ≠0，所以cosA ＝－12，又A∈(0，π)，所以A ＝2π

3.

(2)因为A ＝

2π3，a ＝1，由正弦定理可得b ＝asinB sinA ＝233sinB ，c ＝23

3

sinC ， 所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋

233sinB ＋233sinC ＝1＋233[sinB ＋sin(π

3

－B)]＝1＋

23 3(

1

2

sinB＋

3

2

cosB)＝1＋

23

3

sin(B＋

π

3

)．

因为B∈(0，π

3

)，所以(B＋

π

3

)∈(

π

3

，

2π

3

)，则sin(B＋

π

3

)∈(

3

2

，1]，

则l＝a＋b＋c＝1＋23

3

sin(B＋

π

3

)∈(2，1＋

23

3

].

4．已知函数f(x)＝(3sinωx－cosωx)·cosωx＋1

2

(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离

最近的对称中心的距离为π4 .

(1)求y＝f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b－a)cosC＝c·cosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．

解析(1)f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx＋1

2＝

3

2

sin2ωx－

1

2

(2cos2ωx－1)

＝

3

2

sin2ωx－

1

2

cos2ωx＝sin(2ωx－

π

6

)．

因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4

，

所以T＝π，所以2π

2ω

＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝sin(2x－

π

6

)．

由－π

2

＋2kπ≤2x－

π

6

≤

π

2

＋2kπ(k∈Z)，得－

π

6

＋kπ≤x≤

π

3

＋kπ(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间为[－π

6

＋kπ，

π

3

＋kπ](k∈Z)．

(2)因为(2b－a)cosC＝c·cosA，

由正弦定理，得(2sinB－sinA)cosC＝sinC·cosA，

即2sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，

因为sinB≠0，所以cosC＝1

2，所以C＝

π

3

.

所以0

3

，0<2B<

4π

3

，－

π

6

<2B－

π

6

<

7π

6

.