2015年理论力学竞赛试题参考答案

（2 分）
F Fs Fs max fFN fP
由题意得
（2）
（2 分）

r
先滚动。
f
（1 分）
比较（1） 、 （2 ） ，滑动时所需力 F 大于滚动时所需的力 F ，故轮子 （2 分）
2
三、 如图所示， 圆轮 O 在水平面上滚动而不滑动， 轮心以匀速 vO 0.2m/s 运动。 轮缘上固连套筒 B， 此套筒在摇杆 O1 A 上滑动， 并带动摇杆绕 O1 轴 转动。已知轮的半径 R 0.5m ，在图示位置时， O1 A 是轮的切线，摇杆 与水平面间的夹角为 60 。 求摇杆在该瞬时的角速度和角加速度。 （16 分）
（2 分）
即
3
t n a B a BO a BO a r aC 1 1
(*)
t n 2 2 a BO O1 B ， a BO O1 B O A 0.02 3m/s 1
1 1
aC 2 O1 A vr 0.12 m/s 2
将式（*）向方向投影得
A
va
ve
vr
A
ar
B
vO O
60

O1
vO
B a n aC B aBO 1
O
60
t aBO 1
xFra Baidu bibliotek

C
解： （1）计算角速度
C
O1
v B 3vO ， v r 0.3m/s
（3 分） （3 分）
O A
1
ve 0.2rad/s O1 B
（2）计算角加速度 取 O 为基点
M M max FN
（2 分）
r
O
P
F
F
x
0, F Fs 0
0, FN P 0
A
F
M
FN
（3 分）
y
M
0, M Fr 0
Fs
Fs F , FN P, M Fr
得到滚动临界状态时所需水平力
F
设轮子处于滑动临界状态时

r
FN

r
P
（1）
（2 分）
5
FT
3m1m2 g 2(3m1 m2 ) 3m1 2m2 g 2(3m1 m2 )
（2 分）
aC
（2）以圆柱 1 为研究对象，根据质心运动定理有
m1aO FT F 0 P 1 FN
因 FT FT ，有
（6） （7）
（2 分） （2 分）
m1aO FT F F m1 m2 g 2(3m1 m2 )
3 m1aO FT 2
将（4）代入（3）得
（4）
m2 (aC aO )
3 m1 aO 2
（5）
3 m2 aC ( m1 m2 )aO 2 将（4）和（5）代入（1）中 3 3 ( m1 m2 )aO m2 g m1 aO 2 2 解得 aO m2 g 3m1 m2
（1） （2 分） （2） （2 分）
m2 (aC aO ) FT
（3）
取圆柱 1 为研究对象，受力如图。对瞬心由动量矩定理有
( J O m1r 2 )1 FTr
因圆柱 1 只滚不滑，故有 1
aO 1 ，且 J O m1 r 2 ， FT FT 2 r
（2 分）
FN P 1 m1 g
欲要圆柱 1 只滚不滑，必须 F fFN ，所以
m1 m2 g fm1 g 2(3m1 m2 )
解得
f
m2 2(3m1 m2 )
（2 分）
6

（2 分） （2 分）
FB
列整体平衡方程
2 F sin M 5kN a
(向上)
FX 0, FAX F cos 0 FY 0, FAY FNB q a F sin 0 3 M A F 0, M A M 3FB a 4 Fa sin qa 2 0 2
（6 分）

将 F 10kN，M 20kN m，q 1kN / m，a 4m， 30 代 入 方 程，联立求解，可得
FAx 5 3kN (水平向左)
FAy 4kN
(铅直向上) (逆时针)
1
（2 分） （2 分） （2 分）
M A 24kN m
二、如图所示，半径为 r，重为 P 的均质圆轮，在轮心 O 上作用一水平 力 F。已知接触面间静滑动摩擦系数为 f；滚动摩擦系数为 。试证明轮 子先滚动。 （设 f 的范围为 0.1—0.3； / r 的范围为 0.02—0.05） （12 分） 证明：取轮子为研究对象，受力图如图所示。 设轮子处于滚动临界状态
aO
FT
FT
FN
解： （1）取圆柱 2 为研究对象，受力如图所示。由运动学可知
4
v C v O r 2 ， a C a O r 2
即
2
由平面运动方程式
vC vO a aO ， 2 C r r
m2 aC m2 g FT J C 2 FT r
将 J C m2 r 2 及 2 代入（2）得
湖南省第十一届大学生力学竞赛选拔赛暨湖南工程学院第六届力学竞赛
理论力学试题参考答案
1. 不计自重的组合梁由梁 AC 和梁 CD 铰接而成，所受载荷如图所示。 已知均布荷载 q=1kN/m，力偶矩 M=20kNm，集中荷载 F=10kN，a=4m， 试求 A、B 支座处的约束力。 （16 分）
解：分别取 CD 和整体为研究对象，列 CD 杆平衡方程 M C F 0, FB a M F sin 2a 0
（2 分）
0.08 0.5 3 0.12
解得
0.046188rad/s 2
（2 分）
四、如图所示，半径为 r 的两个圆柱 1、2，用不可伸长的绳子相连，绳 子一端与圆柱 1 的中心连接，另一端多圈缠绕在圆柱 2 上（绳与滑轮 A 的重量不计） 。1 为均质实心圆柱，其质量为 m1 ；2 为均质薄壁圆柱，质 量为 m2 。设圆柱 2 铅直下降，圆柱 1 沿水平面只滚不滑，且滚动摩擦不 计。试求： （1）两个圆柱质心的加速度； （10 分） （2）圆柱 1 沿水平面只滚不滑时，其与支承面之间的滑动摩擦系数 f 应 为多少？（6 分）
t n a B aO a BO a BO


（2 分）
t n 2 2 aO 0 ， a BO OB O 0 ， a BO R O 0.08m/s
得
a B 0.08m/s 2（为 B 点的绝对加速度）
再利用加速度合成法
（2 分）
aB ae ar aC