高考一轮复习专题三角函数(全)
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高考一轮复习专题——三角函数
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
基础梳理
1.任意角 (1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k ∈Z ). (3)弧度制
①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零, |α|=l r
,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径.
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值l
r 与所取的r 的大小无关,
仅与角的大小有关.
④弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ⑤弧长公式:l =|α|r ,
扇形面积公式:S 扇形=12lr =1
2|α|r 2.
2.任意角的三角函数定义
设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ,y ),它与原点的距离为r (r >0),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=y
r ,cos α=x r
,tan α=y x
,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点
P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M ,则点M 是点P 在x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P 的坐标为(cos_α,sin_α),即P (cos_α,sin_α),其中cos α
=OM ,sin α=MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ,则tan α=AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为余弦线
有向线段AT
为正切线
一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k ∈Z };终边落在y 轴上的角的集
合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππ
ββ;终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2π
ββ. 两个技巧
(1)在利用三角函数定义时,点P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP |=r 一定是正值.
(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意
(1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.
(2)角度制与弧度制可利用180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.
(3)注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)下列与9π
4
的终边相同的角的表达式是( ).
A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+9
4
π(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+5π
4
(k∈Z)
2.若α=k·180°+45°(k∈Z),则α在( ).
A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限3.若sin α<0且tan α>0,则α是( ).
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
4.已知角α的终边过点(-1,2),则cos α的值为( ).
A.-
5
5
B.
25
5
C.-
25
5
D.-
1
2
5.(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴非负半轴,若P(4,
y)是角θ终边上一点,且sin θ=-25
5
,则y=________.
考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y=3x上的角的集合;
(2)若角θ的终边与6π
7
角的终边相同,求在[0,2π)内终边与
θ
3
角的终边相同的
角;
(3)已知角α是第二象限角,试确定2α、α
2
所在的象限.
【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线,则( ).A.α=-β
B.α=180°+β
C.α=k·360°+β(k∈Z)
D .α=k ·360°±180°+β(k ∈Z )
考向二 三角函数的定义
【例2】►已知角θ的终边经过点P (-3,m )(m ≠0)且sin θ=2
4
m ,试判断角θ所在的象限,并求cos θ和tan θ的值.
【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=( ). A .-45 B .-35 C.35 D.45
考向三 弧度制的应用
【例3】►已知半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .
【训练3】已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?