1.1.1集合的概念

（二）“元素”与“集合”：
1. 集合通常用大写英语字母A，B，C，…来表示，元素 通常用小写英语字母a，b，c，…来表示；
2.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作∉ 要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
跟踪练习4 用符号∈或∉填空：
(1)1____Z,0____Z3____Z,0.5____Z，
3.空集
考虑方程x+1=x+2的解的全体构成的集合.显然这个 集合不含任何元素.
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ф
❖ 元素与集合的关系
❖ 例2已知集合A由a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3 三个元素构成，且1∈A，求实数a的值．
❖ [分析] 由于1∈A，故应分a＋2＝1，(a＋1)2 ＝1，a2＋3a＋3＝1三种情况讨论，且在求 得a的值之后，应验证是否满足集合中元素的 互异性．
❖ [答案] (1)(2)
❖ [解析] 集合中的元素具有确定性．(1)中对 于任意一个学生可以明确地判断出是不是该 校2015级新生；(2)为空集；(3)、(4)中的对 象不确定，故(1)、(2)能构成集合，(3)、(4) 不能构成集合．
集合举例
（1）方程 x2 1 的解的全体构成一个集合，其中每一
集合中的元素是没有顺序的
（三）集合中元素的特性 （1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的
元素是确定的了. 思考：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 思考：在一个给定的集合中能否有相同的元素？
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
❖ 集合中元素的特性
跟踪练习3
❖ 若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC 的三边长，则△ABC一定不是( )
❖ A．锐角三角形
B．等腰三角形
❖ C．钝角三角形 D．直角三角形
❖ [答案] B
❖ [解析] 根据集合中元素的互异性，可知三角 形的三边长互不相等，故选B．
（四）、集合分类及数集
1.分类： （1）含有有限个元素的集合叫做有限集 （2）含有无穷个元素的集合叫做无限集 （3）空集
❖ 例3. 集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1 的集合，求实数a的取值范围．
❖ [分析] 根据集合中元素的互异性，得a－ 3≠2a－1，可求出实数a的取值范围．
❖ [解析] 根据题意可知A中有两个元素，由集 合中元素的互异性，可得a－3≠2a－1，所以 a≠－2.
❖ 即实数a的取值范围为a∈R，a≠－2.
个解Leabharlann Baidu是这个集合的元素；
（2）平行四边形的全体构成一个集合，其中每一个平行 四边形都是这个集合的一个元素；
（3）平面上与一个定点O的距离等于定长r的点的全体构
成一个集合，这个集合是以O为圆心、半径为r的圆.圆上
的每个点都是这个集合的元素
问题：
上述每个集合我们都用自然语言来描述，怎样用集合语言 描述集合呢？
判断能否构成集合．
[解析] (2)中的“篮球打得好”， (4)中的“高个子”标准不明确，即 对象不确定，所以不能构成集合． 对于(1)、(3)，其中的对象都是确定 的，所以能构成集合．
跟踪练习1
❖ 有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小 于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的 数．其中能构成集合的是________．
新课引入
军训前学校通知：9月1日8点，高一年 级学生到操场集合进行军训．试问这个 通知的对象是全体的高一学生还是个别 学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语， 我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体，而 不是个别的对象，为此，我们将学习一 个新的概念——集合．
（一）集合的概念：
各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看
作对象。一般地，把一些能够确定的不同的
对象看成一个整体，就说这个整体是有这些对
象的全体构成的集合（或集）。构成集合的 每个对象叫做这个集合的元素（或成员）
如：小于10的自然数 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 构成了一个集合
❖ 对集合概念的理解 ❖ 例1.判断下列各组对象能否组成集合： ❖ (1)9以内的正偶数； ❖ (2)篮球打得好的人； ❖ (3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员； ❖ (4)高一(1)班所有高个子同学． ❖ [分析] 判断各组对象是否满足确定性，进而
3－2 2
知识探究
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元 素有什么特征？
思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由 此说明什么？
集合中的元素必须是确定的
思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此 说明什么？
集合中的元素是不重复出现的
思考3：15班的全体同学组成一个集合，调整座位后这 个集合有没有变化？由此说明什么？
2.常用数集及 自然数集（非负整数集）：记作 N
正整数集记作 N＋或
N*
整数集：记作 Z
有理数集：记作 Q
实数集：记作 R
例4 用符号∈或∉填空： (1)－1________N；(2)－2________Q； (3) 2________Z. [答案] (1)∉ (2)∈ (3)∉
[解析] －1 不是自然数，故－1∉N；－2 是有理数，故－2 ∈Q； 2不是整数，故 2∉Z.
❖ 综上所述，实数a的值为0.
跟踪练习2
如果具有下述性质的 x 都是集合 M 中的元素，其中 x＝a
＋b 2(a、b 为有理数)，则下列元素中，不属于集合 M 的元素
的有( )
①x＝0；②x＝
2；③x＝3－2
2π；④x＝3－12
； 2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
❖ [答案] A
[解析] ①0＝0＋0× 2；② 2＝0＋1× 2；③2π 不是有 理数；④ 1 ＝3＋2 2；
❖ [解析] ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中 有1,0,1，不符合要求；
❖ ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2.当a＝0时，A 中有2,1,3，符合要求；当a＝－2时，A中有 0,1,1，不符合要求；
❖ ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2.当a＝－ 1时，A中有1,0,1，不符合要求；当a＝－2时， A中有0,1,1，不符合要求．