循环平稳信号分析

假定此时变自相关函数具有周期性，并且周期为 T0 ，则可以用时间平均将相关函数写成
N 1 Rx (t; ) lim x(t nT0 ) x (t nT0 ) N N (2 N 1) n
(4.2.9)
取 m / T0 ，相关函数的傅里叶展开为
Rx (t; )
（4.2.11）
将式（4.2.9）代入式（4.2.11）得
1 Rx ( ) T0

N 1 lim x(t nT0 ) x* (t nT0 )e j 2 t dt T0 / 2 N 2N 1 nN T0 / 2
将上式改写成

1 lim N (2 N 1)T 0
m


Rx ( e j (2 / T0 ) mt
m


Rx ( e j 2t
(4.2.10)
二阶循环统计量—循环自相关函数
式（4.2.10）中的傅里叶系数称为循环自相关函数
1 R () T0
x

T0 / 2
T0 / 2
Rx (t; )e j 2t dt
i 1 i 1
n / T0
循环频率从物理意义上讲，与傅里叶变换中的频率一样， 都表示信号的频率
4.2.2 一阶循环统计量—循环均值
循环平稳过程的一阶循环统计量是指信号的均值是 时间的周期函数。
x(t ) x0 cos(2 f0t ) n(t ) 的统计平均
(4.2.2)
mx (t ) E x(t ) E x0 cos(2 f0t ) E n(t ) x0 cos(2 f0t ) (4.2.3)
多载波调幅信号的解调
多载波调幅信号的解调
4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息 和混频信息的规律
(1) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相 应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两 边均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率） 具有载波频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中 所对应的边频带频率信息就是调制频率信息。 (2) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有相等的关系，则说明此循环 频率是单独的频率分量。在表示频率域信息的切片图中， 一般情况下，可以清楚地看到此单独的频率信息，没有调 制边频带出现。一般在表示循环频率域信息的切片图中， 可以看到边频带现象，这是低频信号对高频信号所产生的 混频效应。 (3) 如果循环频率高频段循环谱切片图的循环频率与该图片 所反映的频率信息没有以上对应关系，则说明此循环频率 是混频信息。
4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直 接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量， 并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号， 抽取信号时变统计量中的周期信息。 循环统计量的一般表达式为
Cx ( )k lim

T
1 T

T
0
cx (t , )k e
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析
4.3.1 调频信号的解调分析
4.3.2 多载波调频信号的解调
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳信 号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。 对上述循环平稳信号以T0为周期进行采样，则这样 的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均 来估计其均值
N 1 M x (t ) lim N x(t nT0 ) N 2 N 1 n
j 2 t
dt (4.2.1)
一阶循环统计量
对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率 （包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个， 所有循环频率的总体构成循环频率集 循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应 信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循 环平稳特性。 循环基频 N N p ( x, ti ) p ( x, ti nT0 )
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
4.2 信号的循环统计量
4.2.1 一阶循环统计量
4.2.2 一阶循环统计量—循环均值
4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数 4.2.4 功率谱密度函数
t
二阶循环统计量—循环自相关函数
幅值调制信号为例对循环自相关函数的性能作仿真 分析
x(t ) (1 A cos(2 f0t ))cos(2 fc t )
1 A2 cos(2 f c ) 1 cos(2 f 0 ) 2 2 A cos(2 f c ) cos(2 f 0 ) 2 A2 cos(2 f c ) 2 Rx () 2 1 e j 2 1 A cos(2 f ) c 4 2 A j 2 cos(2 f 0 ) 4 e 2 A e j 2 16 =0; = f0 ; = 2 f0 ; = 2 fc ; = (2 f c f 0 ); = (2 f c 2 f 0 );
S ( f ) Rx ()e j 2 f d x
（4.2.17）
功率谱密度函数
为了更加清楚的说明循环谱密度的特性，取信号模 型
x(t ) a(t )cos(2 f0t )
其中， a(t)为零均值的平稳随机信号，满足条件
a(t ) t 0 a (t / 2)a (t / 2) a (t )e j 2t
西安交通大学机械工程学院研究生学位课程
现代信号处理技术及应用
第四章 循环平稳信号分析
2013-11-18
机械工程及自动化研究所
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
引言
在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用， 最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数 与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、 四阶等高阶统计量。 在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量 随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循 环平稳信号。 具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环 平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。 雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。
4.1 循环平稳信号的定义
具有周期变化的统计量称为循环统计量。 循环统计理论的研究迅速发展是在20世纪80年代 中期。 对二阶循环统计量研究最有影响的是 W.A.Gardner，他提出的谱相关理论和冗余概念。 近几年，随着高阶循环统计量这一数学工具诞生， 循环平稳信号的研究也从二阶发展到了高阶。 陈进、姜鸣等分析了高阶循环统计量理论在谐波恢 复、系统辨识、特征提取等中的应用，指出将高阶 循环统计量理论应用于机械设备的状态监测和故障 诊断领域具有重要意义
(4.2.4)
一阶循环统计量—循环均值
可以看出式(4.2.4)是T0的周期函数,
傅里叶展开 其中
M x (t )
m


M x e j 2t
(4.2.5) (4.2.6)
1 M T0
x

T0 / 2
T0 / 2
M x (t )e j 2t dt
将式（4.2.4）代入式（4.2.6）中， N T0 / 2 1 M x lim x(t nT0 )e j 2t dt N T0 / 2 N (2 N 1)T 0 n
n N

N
T0 / 2
T0 / 2
x(t nT0 ) x* (t nT0 )e j 2 t dt
（4.2.12） （4.2.13）
1 T2 Rx ( ) lim x(t ) x* (t )e j 2 t dt T T T 2 x(t ) x* (t )e j 2 t
t t
0
0
t
a (t / 2)a (t / 2)e jt
0
0
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
1 1 Sa ( f f 0 ) Sa ( f f 0 ) 4 4 1 S x ( f ) e j 2 S a ( f ) 4 0 =0; = 2f 0 ; 其它
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
4.1 循环平稳信号的定义
严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期 时变的联合概率密度函数
N N
p ( x, t ) p ( x, t
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
功率谱密度函数
循环谱切片图
功率谱密度函数
循环谱密度函在频率域内的信息和循环频率域内的 信息具有谱相关特性。 对于调幅信号，载波信息在频率域内的值与其自身 相等，而在循环频率域内的频率信息是其载波频率 的2倍。 而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。 利用循环频率与频率之间的相关特性，用切片图可 以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。
lim
1 x(t )e j 2t dt x(t )e j 2t t T T T / 2
T /2
(4.2.7)
一阶循环统计量—循环均值
4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数
对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以 写成
Rx (t; ) E{x(t ) x (t
多载波调频信号的解调
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x(t ) 1 cos 2 f01t cos 2 f02t cos 2 fct
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x(t ) [1 cos(2 f0t )]cos(2 fc1t ) [1 1.5cos(2 f0t )]cos(2 fc 2t ) n(t )
i 1 i i 1
i
nT0 )
(4.1.1)
N统计阶数，T0是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数
循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即 N N
E{ x (ti )} E{ x (ti nT0 )}
i 1 i 1
(4.1.2)
阶循环平稳过程的定义： 若随机过程 从一阶到 阶的各阶时变统计量都存 在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的 循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同）， 则称该随机过程为 阶循环平稳过程。
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：

(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。 (3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。


因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
4.3.4 多载波调幅信号的解调
4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息和混频信
息的规律
4.3.1调频信号的解调分析
x(t ) A cos[2f z t sin(2f n t )]
4.3.2 多载波调频信号的解调
x(t ) cos(2 fc1t sin(2 f0t )) cos(2 fc 2t sin(2 f0t ))
Fra Baidu bibliotek
（4.2.14）
二阶循环统计量—循环自相关函数
二阶循环统计量—循环自相关函数
循环自相关函数三维图及其切片图
4.2.4 功率谱密度函数
对于平稳的随机信号来说，其自相关函数与功率谱 密度函数是一对傅里叶变换对，通过功率谱密度函 数可以描述信号二阶统计量的数字特征。 同样，对于循环平稳信号，其循环自相关函数与循 环谱密度函数也是一对傅里叶变换对。 根据维纳-辛钦关系，循环谱密度（Cyclic Spectrum Density，简写CSD）如式（4.2.17） 所示。