第28讲 梯形

图28－1
[解析] 过B作BE⊥CD，垂足为E，则DE＝AB＝1 cm， BE＝AD＝6 cm.在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝ 10 cm.
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考点2 等腰梯形的性质与判定
两个角 ①等腰梯形在同一底上的________相 性质 相等 等；②等腰梯形的对角线________． ①两腰相等的梯形；②在同一底上的 相等 判定 两个角________的梯形；③对角线 相等 ________的梯形． 证明等腰梯形常忽略先证明四边形是 易错点 梯形.
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图 28－5
[解析] (1)证明△ABD≌△BAE(ASA)． (2)∵△ABD≌△BAE，∴AD＝BE.(3)△DCE∽△ACB，利用
相似三角形面积比等于相似比的平方．
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解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AC＝BC， ∴∠BAD＝∠ABE. 又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)， ∴BD＝AE.又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB， ∴BD－OB＝AE－OA，即 OD＝OE. (2)证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE， 1 ∴∠OED＝ (180° －∠DOE)， 2 1 同理∠1＝ (180° －∠AOB)， 2 又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB. ∵AD、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD 与 BE 不平行，
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考点1 梯形的概念及其分类
平行 不平行 直角
相等
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1.下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是 等腰梯形；②等腰梯形上、下底中点的连线是它的对称轴； ③有两条边相等的梯形是等腰梯形；④等腰梯形中不可能有 直角．其中说法正确的有( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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3.[2010· 黄冈]如图28－2，在等腰梯形ABCD中AC⊥BD， 18 AC＝6 cm，则等腰梯形ABCD的面积为____cm2.
图28－2
[解析]过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，则△BDE 1 是等腰直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△BDE＝ ×6×6＝ 2 18(cm2)．
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梯形的两底平行，通过适当的辅助线把梯形转化为三角形与平 行四边形，或者三角形与矩形，三角形与三角形等．解决梯形问题 的基本方法是：(1)平移一腰；(2)过同一底上的两个点作高；(3) 平移对角线；(4)延长两腰；(5)遇三角形一边的中点，通常作平行 线，利用平行线分线段成比例定理或相似三角形对应边的比相等得 另一边的中点．
图28－7
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解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝60° . ∵四边形 ACDE 是等腰梯形，∠EAC＝60° ， ∴AE＝CD，∠ACD＝∠CAE＝60° ， ∴∠BACຫໍສະໝຸດ Baidu∠CAE＝120° ＝∠BCA＋∠ACD， 即∠BAE＝∠BCD.
∴△DCE≌△ABF(SAS)，∴DE＝AF.
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利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行， 而且可证明两边相 等或证明两个角相等．
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类型之三 等腰梯形的判定
命题角度： 1．定义法 2．从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形 3．从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形 [2011· 茂名] 如图 28－5，在等腰△ABC 中，点 D、E 分别是 两腰 AC、BC 上的点，连接 AE、BD 相交于点 O，∠1＝∠2. (1)求证：OD＝OE； (2)求证：四边形 ABED 是等腰梯形； (3)若 AB＝3DE，△DCE 的面积为 2，求四边形 ABED 的面积．
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4．[2010· 三明]如图28－3，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝ DC，∠ABC＝75° ，DE∥AB交BC于点E，将△DCE沿DE翻 折，得到△DFE，则∠EDF＝______度． 30
图28－3
[解析]由条件知梯形ABCD为等腰梯形，∠C＝∠ABC＝75° ， ∠CDA＝105° ，由DE∥AB 、AD∥BC知四边形ABED为平行四 边形，则∠ADE＝∠B＝75° ，所以∠EDC＝105° －75° ＝30° ，又 三角形DFE由三角形CED折叠得到，所以∠FDE＝∠EDC＝30° .
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∴四边形 ABED 是梯形，又由(1)知△ABD≌△BAE， ∴AD＝BE， ∴梯形 ABED 是等腰梯形． (3)由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB， △DCE的面积 DE2 ∴ ＝ ， △ACB的面积 AB
DE 2 1 2 ＝ ， 即 ＝ △ACB的面积 3DE 9
∴△ACB 的面积＝18， ∴四边形 ABED 的面积＝△ACB 的面积－△DCE 的面积＝18－2 ＝16.
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证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同 一底上的两角相等，或对角线相等即可．
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类型之四 梯形的综合应用
命题角度： 1．常用辅助线 2．动态几何问题 3．梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用 如图 28－6 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB ＝14 cm，AD＝18 cm，BC＝21 cm，点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度 移动，如果 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，设移动时间为 t 秒，求 t 为何值时，梯形 PQCD 是等腰梯形？
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[2011· 益阳] 图 28－7 是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为 2 的等边三角形， 四边形 ACDE 是等腰梯形， AC∥ED， ∠EAC ＝60° ，AE＝1. (1)证明：△ABE≌△CBD; (2)图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其 相似比(不添加辅助线，不找全等的相似三角形)； (3)小红发现 AM＝MN＝NC，请证明此结论； (4)求线段 BD 的长．
图28－3
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[解析] 过点A作AG∥DC，把梯形转化为平行四边形与三角形．
解：过点 A 作 AG∥DC，∵AD∥BC， ∴四边形 AGCD 是平行四边形，∴GC＝AD， ∴BG＝BC－AD＝4－1＝3. 在 Rt△ABG 中，AG＝ 2BG2＝3 2， EF BE 1 ∵EF∥DC∥AG，∴AG＝AB＝ ， 2 1 3 2 ∴EF＝ AG＝ . 2 2
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图 28－6
[解析] 如图，因为AD∥BC，等腰梯形是轴对称图形，要说明四边 形PQCD是等腰梯形，则可以从QN＝MC中得到解决．特别需要注意的是
P、Q的运动方向是相反的．
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解：设 P、Q 运动到如图位置时，梯形 PQCD 是等腰梯形，平 移 AB 到 PN、 DM 的位置， 由平移的性质， QN＝MC＝BC－BM 得 ＝BC－AD＝21－18＝3(cm)． 又 QN＝BN－BQ＝AP－BQ ＝t－(21－2t)＝3t－21，所以 3t－21＝3.即 t＝8. 所以 t＝8 时，梯形 PQCD 是等腰梯形．
图28－6
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类型之一 梯形的基本概念及性质
命题角度： 1．梯形的定义及分类 2．梯形的角度及面积的计算 [2011· 菏泽] 如图 28－3，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90° ，∠C＝45° ， AD＝1，BC＝4，E 为 AB 中点，EF∥DC 交 BC 于点 F，求 EF 的长．
AB＝CB， 在△ABE 和△CBD 中，∠BAE＝∠BCD， AE＝CD.
∴△ABE≌△CBD.
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(2)答案不唯一．如△ABN∽△CDN. 证明：∵∠BAN＝60° ＝∠DCN，∠ANB＝∠DNC， ∴△ANB∽△CND. AB 2 其相似比为：DC＝ ＝2. 1
[解析] ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能 是平行四边形，所以不正确；②连线是线段，而对称轴应 该是直线，所以不正确；③如果是相邻两边相等，则不是 等腰梯形．∴只有④正确．
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2．[2010· 怀化]如图28－1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥CD，AB＝1 cm, AD＝6 cm，CD＝9 cm，则BC＝ 10 ________cm.
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1 1 AN AB (3)由(2)得CN＝CD＝2，∴CN＝ AN＝ AC. 2 3 1 同理 AM＝ AC. 3 ∴AM＝MN＝NC. (4)作 DF⊥BC 交 BC 的延长线于 F， ∵∠BCD＝120° ，∴∠DCF＝60° . 1 1 在 Rt△CDF 中，∴∠CDF＝30° ，∴CF＝ CD＝ ， 2 2 ∴DF＝ CD －CF ＝
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类型之二 等腰梯形的性质
命题角度： 1．等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系 2．等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系 3．等腰梯形的对角线相等的关系 [2011· 南充] 如图 28－4， 四边形 ABCD 是等腰梯形， AD∥BC， 点 E、F 在 BC 上，且 BE＝CF，连接 DE、AF. 求证：DE＝AF.
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考点3 梯形常见辅助线
作高 平移一腰 延长两腰 平移对角线
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5.[2011· 临沂]如图28－4，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD， AD＝2，BC＝6，∠B＝60° ，则梯形ABCD的周长是( C ) A．12 B．14 C．16 D．18
图28－4
图28－4
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[解析] 由四边形 ABCD 是等腰梯形， AB＝DC， 得 ∠B＝∠C， 证明△DCE≌△ABF.
证明：∵BE＝FC，∴BE＋EF＝FC＋EF，即 BF＝CE. ∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB＝DC，∠B＝∠C. 在△DCE 和△ABF 中，
DC＝AB， ∠C＝∠B， CE＝BF，
[解析] 作AE∥DC，因为AD∥BC，所以四边形AECD是平行 四边形，所以CE＝AD＝2，由∠B＝60° 易得△ABE为等边三 角形，所以BE＝AB＝4，则梯形ABCD的周长是16.
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6．如图28－5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC⊥ 7 BD，AD＝6，BC＝8，则梯形的高为________．
图28－5
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7．如图28－6，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90° ，AD＝2， 4 BC＝5，tanC＝ . 3 (1)求点D到BC边的距离； (2)求点B到CD边的距离．
解： (1)作DE⊥BC于E，∵ AD∥BC，∠B＝90° ， ∴ ∠A＝90° .又∠DEB＝90° ，∴ 四边形ABED是矩形． ∴ BE＝AD＝2, ∴ EC＝BC－BE＝3. 4 在Rt△DEC中，DE＝EC· tanC＝3× ＝4. 3 (2)作BF⊥CD于F.在Rt△DEC中，∵ CD＝5，∴ BC＝DC. 又∠C＝∠C，∴ Rt△BFC≌Rt△DEC.∴ BF＝DE＝4.
2 2
1
2
1 －22＝
3 . 2
1 5 3 在 Rt△BDF 中，BF＝BC＋CF＝2＋ ＝ ，DF＝ ， 2 2 2 ∴BD＝ BF ＋DF ＝
2 2
5 2 ＋ 2
32 ＝ 7. 2
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动态几何开放性数学问题是近年兴起的一种新颖的题型，一般是 某一个点在某一个图形上的运动， 难度相对较大， 对考生的综合分析、 运用能力要求较高．主要形式有开放前提、开放结论两大类．解答此 类问题要注意全面、 整体的把握题目的意思， 尤其不能漏掉某些情况．