选修4-4极坐标课件
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1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ π 5π ，化简 sin ∠OPM sin ∠OMP sin 6－θ sin 6 1 1 得 ρ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin 6－θ sin 6－θ 1 答案： π sin 6－θ
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
点击进入 创新演练大冲关
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
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标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
人教版数学选修4-4课件1.3 简单曲线的极坐标方程
理得 sin
O∠MO AM＝sin
∠1 OMA，
即 sin
ρ
34π＝sin
1π4－θ，化简得 ρ(cos θ－sin
θ)＝1，
经检验，点 A(1,0)也适合上述方程．则直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
方法二 先求过点 A 且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为 y－0＝tan π4(x－1)，
【例题 2】 求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． 思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系 式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．
解析：方法一 由题意，设 M(ρ，θ)为直线上任意一点，则△OAM 中，由正弦定
的任意一点． • (2)由曲线上的点所合适的条件，列出曲线上
任意一点的极径ρ与极角θ之间的关系式． • (3)将(2)所得方程进行整理与化简，得出曲线
• 【例题4】 (202X·河南郑州高二检测)从极点 O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M， 在OM上任取一点P，使OM·OP＝12.
• (1)求点P的轨迹方程；
• (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； • (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线
C上． • 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对
应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程 的曲线．
•要点二 曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上 的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标满足方程f(ρ，θ)＝0的 点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲 线C的____极__坐_标__方_程______．
人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)
(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P
O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
选修4-4极坐标市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
9/18
（一）直线极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 射线极坐标
方程。
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为 方程。
4
直线极坐标
或 5
4
4
10/18
结论：直线极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
11/18
（一）直线坐标方程
O
X
叫做点M极角,
有序数对（,）就叫做M极 坐标。
3/18
二.极坐标系下点与极坐标对应情况
1.给定(,),就能够在极坐标 平面内确定唯一一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
没有数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有没有数个。
4/18
假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内点和极坐标 就能够一一对应了.
18/18
42
求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线
sin(
)
2 化为直角坐标方
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－ 2－1 ＝
2
2
2
16/18
练习：4 6、确定极坐标方程 4 sin( )与
3
3 cos sin 8 0所表示的曲线
及位置关系。
17/18
高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．
（一）直线极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 射线极坐标
方程。
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为 方程。
4
直线极坐标
或 5
4
4
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结论：直线极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
11/18
（一）直线坐标方程
O
X
叫做点M极角,
有序数对（,）就叫做M极 坐标。
3/18
二.极坐标系下点与极坐标对应情况
1.给定(,),就能够在极坐标 平面内确定唯一一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
没有数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有没有数个。
4/18
假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内点和极坐标 就能够一一对应了.
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42
求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线
sin(
)
2 化为直角坐标方
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－ 2－1 ＝
2
2
2
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练习：4 6、确定极坐标方程 4 sin( )与
3
3 cos sin 8 0所表示的曲线
及位置关系。
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高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
人教A版数学选修4-41.3.1圆的极坐标方程课件
( 0, 0 )
0
0
r
P(, )
ห้องสมุดไป่ตู้
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
归纳总结
（1）求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况一
样，就是找出动点M的坐标与之间的关系，然后列
出方程f (, )=0，再化简并检验特殊点．
（2）极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程
(x-3)2+y2=9
2、圆心（0，3）半径为3
极坐标系
极坐标图形
圆心（3，0）半径为3
=6cos
O
x
C(3,0)
圆心（3,／2)
C(3, ／2 )
x2+(y-3)2=9
=6sin
O
3、圆心（0，0）半径为3
x2+y2=9
x
圆心在极点，半径为3
=3
3
O
x
探究新知
中心在Ｃ(0,0 )，半径为r的圆的极坐标方程为
中 OM OA cos MOA即＝2a cos ...........(1)
A(6，0)
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标( , )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合
等式(1)的点都在这个圆上。
一般地，中心在Ｃ（a，０），半径为a的圆的极坐标
（5）化：检验并确认所得的方程即为所求。
探究新知
1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方程为
(x-3)2+y2=9
探究新知
1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方程为
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 2 4 y 2 x 2 8 x 16 3x 8 x 4 y 16
2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
人教新课标版数学高二选修4-4课件 第1课时 圆的极坐标方程
答案
当堂训练
1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3
B. 2
C.1
√D.
2 2
12345
答案
2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 C.x2＋y2＝0或x＝1
B.x＝1 √
D.y＝1
12345
答案
3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是
π 4
＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
∴ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，
∴化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
解答
(3)ρcos(θ＋π4)＝ 22； 解 ∵ρcos(θ＋4π)＝ 22， ∴ρ(cos θ·cos π4－sin θ·sin π4)＝ 22， ∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴x－y－1＝0.
解答
反思与感悟
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、 极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 0≤θ<2π范围内求值.
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y2＝4x； 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)x2＋y2－2x－1＝0. 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
当堂训练
1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3
B. 2
C.1
√D.
2 2
12345
答案
2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 C.x2＋y2＝0或x＝1
B.x＝1 √
D.y＝1
12345
答案
3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是
π 4
＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
∴ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，
∴化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
解答
(3)ρcos(θ＋π4)＝ 22； 解 ∵ρcos(θ＋4π)＝ 22， ∴ρ(cos θ·cos π4－sin θ·sin π4)＝ 22， ∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴x－y－1＝0.
解答
反思与感悟
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、 极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 0≤θ<2π范围内求值.
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y2＝4x； 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)x2＋y2－2x－1＝0. 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
选修4-4,极坐标与平面直角坐标的相互转化 (共22张PPT)
思考：
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
选修4-4.1.3.极坐标方程 课件
2019/5/23
v:pzyandong
2
复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
2019/5/23
v:pzyandong
3
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0) (a>0)，你能用一个等
式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
设圆和极轴的另一个交点是A,那么|OA|=2a,
v:pzyandong
10
高三数学 选修4-4
第一章 极坐标
一、复习已学知识
1、以极点O为圆心，r为半径的圆， 极坐标方程为:
r
M (, )
O rA x
2、以点C(a,0)为圆心，a为半径的圆，
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
3
5
6
O
x
(2)过点(2,
3
),并且和极轴垂直的直线:
cos 1
3
二、例题选讲
例3 设点P的极坐标为 (1,1),直线l过点P且与极轴所成的角为 ,
求直线l的极坐标方程 。
分析: 如图,设M (, )为直线l上除点
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
极坐标方程为:
2acos( )
c(a,)
O
Ax
2019/5/23
v:pzyandong
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
M ( , )
探 究
O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1) 2
＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
探 究
O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1) 2
＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标和直角坐标的互化课件
第一讲坐标系 二极坐标系
2.极坐标和直角 坐标的互化
人民教育出版社 高中 |选修4-4
基础知识：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
思考：
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老师点拨：
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老师点拨：
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人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
分析：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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2.极坐标和直角 坐标的互化
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基础知识：
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思考：
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老师点拨：
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老师点拨：
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
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学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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高中数学课件-选修4-4课件
2cos( )
=
6
2 cos ( ) 2
2，
2
6
由此得，当cos( ) 1时， 6
d 取得最小值，且最小值为 2 . 阅后报告：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识. 考查运算求解能力，考查化归与转化思想.
1．(2013·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线 方程分别为( )
1.在同一平面直角坐标系中，经过变换
x y
5x 3y
后，ห้องสมุดไป่ตู้线
C 变为2x2 8 y2 1，则曲线 C 的方程为 ( )
A. 50x2 72 y 2 1 B. 9x2 100 y2 1
C. 10x2 24 y2 1
D. 2x2 8y2 1
25 9
解析：
将
x
y
5x 3y
代入
3.极坐标与直角坐标的转化 设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x,y)，极坐标为
（p， ）.由图可知下面的关系式成立：
x
y
cos sin
或
，
2
tan
x2
y2
yx
x
顺便指出，
0.
上式对 p<0 也成立.这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
【思考探究】 2.极坐标与直角坐标有何不同？
解析：
伸缩变换
x
y
32xy，可以化为
x y
1 3 1 2
x, y
，
代入圆的方
程 x2 y2 1,得（1 x）2 （1 y）2 1，
3
2
即 x 2 y2 1,
94
所以经过伸缩变换
x
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(2)极坐标方程 sin cos表示 (3)极坐标方程＝cos( )表示
4
练习：
1.在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( B )
A.1，π2
B.1，－π2
C．(1,0)
D．(1，π)
练习习：：3 4、已知直线的极坐标方 程为 sin( ) 2
三.极坐标与直角坐标的互化
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
三.极坐标与直角坐标
点M 互化 公式
直角坐标(x，y) x＝ρcosθ y＝ρsinθ
极坐标(ρ，θ) ρ2＝x2＋y2
tanθ＝xy(x≠0)
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为 坐标方程。
4
的直线的极
或 5
4
4
结论：直线的极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝( R)表示极角为的一条直线。
（一）直线的极坐标方程
3.求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的
极坐标
极坐标系：
极点：如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点； 极轴：自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴； 单位：再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)
一.点的极坐标
对于平面上任意一点M,
M
用表示线段OM的长度, 叫
做点M的极径,
用表示从OX到OM 的角度, O
直线L的极坐标方程。
M
cos a
﹚ o Ax
（二）圆的极坐标方程
4(１:求)圆下心列在圆极的点极,坐半标径方为程r；＝r
(２)圆心在Ｃ(a,0),半径为a；＝2acos (３)圆心在(a,/2),半径为a；＝2asin
下列极坐标方程表示的曲线
（1）极坐标方程 ＝1表示
及位置关系。
高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．
我们约定,极点的极坐标是极径=0,极 角是任意角.
负极径的规定
（1）在极坐标系中,极径允许取负值, 极角也可以是任意的正角或负角；
（2）当 ＜0时,点M（，）位于极角终边的
反向延长线上,且OM= 。
（3）M（，）也可以表示为
(, 2k )或(, (2k 1) )
42
求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线
sin(
)
2 化为直角坐标方
ห้องสมุดไป่ตู้
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－ 2－1 ＝
2
2
2
练习：4 6、确定极坐标方程 4 sin( )与
3
3 cos sin 8 0所表示的曲线
X
叫做点M的极角,
有序数对（,）就叫做M的 极坐标。
二.极坐标系下点与极坐标的对应情况
1.给定(,),就可以在极坐标 平面内确定唯一的一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐 标 就可以一一对应了.
四.极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f (, ) 0 并且坐标适合方程f (, ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f (, ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
（一）直线的极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 的射线的极
坐标方程。
4
练习：
1.在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( B )
A.1，π2
B.1，－π2
C．(1,0)
D．(1，π)
练习习：：3 4、已知直线的极坐标方 程为 sin( ) 2
三.极坐标与直角坐标的互化
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
三.极坐标与直角坐标
点M 互化 公式
直角坐标(x，y) x＝ρcosθ y＝ρsinθ
极坐标(ρ，θ) ρ2＝x2＋y2
tanθ＝xy(x≠0)
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为 坐标方程。
4
的直线的极
或 5
4
4
结论：直线的极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝( R)表示极角为的一条直线。
（一）直线的极坐标方程
3.求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的
极坐标
极坐标系：
极点：如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点； 极轴：自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴； 单位：再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)
一.点的极坐标
对于平面上任意一点M,
M
用表示线段OM的长度, 叫
做点M的极径,
用表示从OX到OM 的角度, O
直线L的极坐标方程。
M
cos a
﹚ o Ax
（二）圆的极坐标方程
4(１:求)圆下心列在圆极的点极,坐半标径方为程r；＝r
(２)圆心在Ｃ(a,0),半径为a；＝2acos (３)圆心在(a,/2),半径为a；＝2asin
下列极坐标方程表示的曲线
（1）极坐标方程 ＝1表示
及位置关系。
高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．
我们约定,极点的极坐标是极径=0,极 角是任意角.
负极径的规定
（1）在极坐标系中,极径允许取负值, 极角也可以是任意的正角或负角；
（2）当 ＜0时,点M（，）位于极角终边的
反向延长线上,且OM= 。
（3）M（，）也可以表示为
(, 2k )或(, (2k 1) )
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求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线
sin(
)
2 化为直角坐标方
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42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－ 2－1 ＝
2
2
2
练习：4 6、确定极坐标方程 4 sin( )与
3
3 cos sin 8 0所表示的曲线
X
叫做点M的极角,
有序数对（,）就叫做M的 极坐标。
二.极坐标系下点与极坐标的对应情况
1.给定(,),就可以在极坐标 平面内确定唯一的一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐 标 就可以一一对应了.
四.极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f (, ) 0 并且坐标适合方程f (, ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f (, ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
（一）直线的极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 的射线的极
坐标方程。