二阶系统的阶跃响应

第3章 辅导
控制系统典型的输入信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
⎩⎨⎧=<>0
,00
,)(t t A r t x
式中A 为常数。

A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。

它表示为
x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)
单位阶跃函数的拉氏变换为
X r (s)=L[1(t)]=1/s
在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。

2. 斜坡函数
这种函数的定义是
⎪⎩⎪⎨
⎧<>=0
,00
, )(t t t A t x r 式中A 为常数。

该函数的拉氏变换是
X r (s)=L[At]=A/s 2
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。

当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。

3. 抛物线函数
如图 所示，这种函数的定义是
⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00
, t )(2
t t A t x r
式中A 为常数。

这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。

抛物线函数的拉氏变换是
X r (s)=L[At 2]=2A/s 3
当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。

4. 脉冲函数
这种函数的定义是
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt A
t t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。

脉冲函数的拉氏变换是
A A L s X r =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
=→εεlim 0)(
当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。

单位脉冲函数的面积等于l ，即
⎰
∞
∞
-=1)(dt t δ
在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件
幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。

单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即
反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。

控制系统的时域性能指标
对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。

工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。

1 动态性能指标
动态性能指标通常有如下几项：
延迟时间d t 阶跃响应第一次达到终值)(∞h 的50％所需的时间。

上升时间r t 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。

峰值时间p t 阶跃响应越过稳态值)(∞h 达到第一个峰值所需的时间。

调节时间s t 阶跃响到达并保持在终值)(∞h 5±％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的2±％误差带来定义调节时间。

超调量σ％ 峰值)(p t h 超出终值)(∞h 的百分比，即 σ％100)
()()(⨯∞∞-=
h h t h p ％
在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间s t （描述“快”），超调量σ％（描述“匀”）以及峰值时间p t 。

2 稳态性能指标
稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。

稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。

一阶系统的阶跃响应
一. 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。

一些控制元部件及简单系统如RC 网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。

因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为
1
1111)()()(+-
=•+=
•Φ=Ts T
s s Ts s R s s C 取C(s)的拉氏反变换得
t T
e
c(t)11--=
或写成
tt ss c c c(t)+=
式中，c ss =1，代表稳态分量；t T
tt
e
c 1--=代表暂态分量。

当时间t 趋于无穷，暂态分
量衰减为零。

显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。

响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

一阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：
()()()v m v m v m v K s s T K s T s K s T s K s R s C s ++=+++==Φ2)1(/1)1(/2
22
2n
n n
s s ωζωω++= 式中
K v --开环增益；
ωn --无阻尼自然频率或固有频率，m
v
n T K =ω； ζ--阻尼比，m
n T ωζ21
=。

二阶系统的闭环特征方程为 s 2+2ζωn s+ω2n =0
其特征根为
n s ωζζ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±-=122,1
1. 临界阻尼(ζ=1)
其时域响应为
())1(1t e
t c n t
n ωω+-=-
上式包含一个衰减指数项。

c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b 所示。

(a) (b) (c)
ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应
2. 过阻尼(ζ＞1)
具有两个不同负实根])1(,[221n s s ωζζ-±
-=的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换
式。

其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。

图为其特征根分布图。

3. 欠阻尼（0<ζ＜1）
图3-9 0<ζ＜1时二阶系统特征根的分布 图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应
4. 无阻尼(ζ＝0)
())
(22
2n
n
s s s C ωω+=
其时域响应为
()t t c n ωcos 1-=
在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，
图ζ＝0时特征根的分布 图ζ＝0时二阶系统的阶跃响应
5. 负阻尼（ζ＜0）
当ζ＜0时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的e 的指数将是正的时间函数，因而t
n e ζω-为发散的，系统是不稳定的。

显然，ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的，而在ζ≥1时，系统动态响应的速度又太慢，所以对二阶系统而言，欠阻尼情况是最有实际意义的。

下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。

欠阻尼二阶系统的动态性能指标
1. 上升时间t r
上升时间t r 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。

21ζ
ωθ
πωθπ--=
-=
n d r t 由此式可见，阻尼比ζ越小，上升时间t r 则越小；ζ越大则t r 越大。

固有频率ωn 越大，
t r 越小，反之则t r 越大。

2. 峰值时间t p 及最大超调量M p
2
1ζωπ
ωπ-=
=
n d p t
最大超调量 π
ζζ)1/(max 2)(--=∞-=e c c M p
最大超调百分数 %100.)
()
(%)1/
(max 2π
ζζδ--=∞∞-=
e c c c c
3. 调整时间t s
707.00 4
)]1ln(214[1
%)2( 707.00 3)]1ln(213[1
%)5(22<<≈--=<<≈--=
ζζωζζωζζωζζω，，n
n s n n s t t
图3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线 图3-14 调节时间和阻尼比的近似关系
根据以上分析，二阶振荡系统特征参数ζ和ωn 与瞬态性能指标(δ
4. 振荡次数μ
在调整时问t s 之内，输出c(t)波动的次数称为振荡次数μ，显然
f
s
t t =
μ 式中 2
122ζ
ωπ
ωπ
-=
=
n d
f t ，称为阻尼振荡的周期时间。

()1
221
2
2++=
TS S T s φ 这一系统的单位阶跃响应瞬态特性指标为： 最大超调百分数
%3.4%100)1/(%2=⨯=--π
ζζδe
上升时间
T t n r 7.412
=--=
ζ
ωθπ
调整时间
()T t s 43.8%2=(用近似式求得为8T) ()T t s 14.4%5=(用近似式求得为6T)
有一位置随动系统其中K k ＝4。

求该系统的(１)固有频率；(2)阻尼比；(3)超调量和调整时间；(4)如果要求实现工程最佳参数ζ＝l ／2，开环放大系数k k 值应是多少？
【解】系统的闭环传递函数为 ()k
k
K s s K s ++=2
φ 4=k K 与二阶系统标准形式的传递函数
()2
2
22n
n n
s s s ωζωωφ++= 对比得：(1) 固有频率
24===k n K ω
(2) 阻尼比 由12=n ζω得 25.021==n
ωζ
(3) 超调
()%47%100%)1/
(2=⨯=--n
e ζζδ
(4) 调整时间()s t n
s 63
%5=≈ξω
当要求2
1=
ζ时，由12=n ζω 得 5.0,2
12
===
n k n K ωω
可见该系统要满足工程最佳参数的要求，须降低开环放大系数k K 的值。

但是，降低k
K 值将增大系统的误差。

劳斯稳定判据
将系统的特征方程式写成如下标准式
012
2110=+++++---n n n n n a s a s
a s a s a 将各系数组成如下排列的劳斯表
1
112
124
3
21343212753116420g s f s e e s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s o
n n n n
---
表中的有关系数为
13
0211a a a a a b -=
1
5
0412a a a a a b -=
1
7
0613a a a a a b -=
系数i b 的计算，一直进行到其余的b 值全部等于零为止。

12
1311b b a a b c -=
1
3
1512b b a a b c -=
1
4
1713b b a a b c -=
这一计算过程，一直进行到 n 行为止。

为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。

(l) 第一列所有系数均不为零的情况 第一列所有系数均不为零时，劳斯判据指出，特征方程式的实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。

方程式的根全部在复平面的左半平面的充分必要条件是，方程式的各项系数全部为正值，并且劳斯表
的第一列都具有正号。

例如， 三阶系统的特征方程式为
0322130=+++a s a s a s a
列出劳斯表为
3
13
02113
1
2203a s a a a a a s a a s a a s -
则系统稳定的充分必要条件是
00>a ，01>a ，02>a ，03>a ，0)(3021>-a a a a
系统的特征方程为
054322
3
4
5
=+++++s s s s s 试用劳斯判据判断系统的稳定性。

解 计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表
5
320
590315324
110
12
345s s s
s s s -
由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9。

因此该系统有两个正实部的根，系统是不稳定的。

(2) 某行第一列的系数等于零而其余项中某些项不等于零的情况 在计算劳斯表中的各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。

如果零(ε)上面的系数符号与零(ε)下面的系数符号相反，则表明这里有一个符号变化。

例如，对于下列特征方程式
0122234=++++s s s s
劳斯表为
12
21
)0(0
221110
1234s
s s s s ε
ε-≈
现在观察第一列中的各项数值。

当ε趋近于零时，ε
2
2-
的值是一很大的负值，因此可
以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。

由此得出结论，该系统特征方程式有两个根具有正实部，系统是不稳定的。

如果零(ε)上面的系数符号与零(ε)下面的系数符号不变，则表示系统有纯虚根。

例如，
对下列特征方程式
02223=+++s s s
劳斯表为
2
2
2110
123s s s s ε
可以看出，第一列各项中ε的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。

将特征方程式分解，有
0)2)(1(2
=++s s 解得根为
12,1j p ±=-， 23-=-p
(3) 某行所有各项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项， 这表示在 s 平面内存在一些大小相等但符号相反的特征根。

在这种情况下，可利用全零行的上一行各系数构造一个辅助方程，式中s 均为偶次。

将辅助方程对s 求导，用所得的导数方程系数代替全零行，然后继续计算下去。

至于这些大小相等，符号相反的根，可以通过解辅助方程得到。

系统特征方程式为
0161620128223456=++++++s s s s s s
试用劳斯判据判断系统的稳定性。

解 劳斯表中的6s ～3
s 各项为
1620816
s
8610
161223
4
5s s
s 由上表可以看出，3
s 行的各项全部为零。

为了求出3
s -0
s 各项，将4
s 行的各项组成辅
助方程为
86)(24++=s s s A
将辅助方程)(s A 对s 求导数得
s s ds
s dA 124)
(3+= 用上式中的各项系数作为3
s 行的各项系数，并计算以下各行的各项系数，得劳斯表为
12
48
6
1
0161221620813
4
6s s
s s s
8
34
830
1
2
s s
s
从上表的第一列可以看出，各项符号没有改变，因此可以确定在右半平面没有特征方程式的根。

另外，由于3
s 行的各项皆为零，这表示有共轭虚根。

这些根可由辅助方程求出。

本例中的辅助方程式是
08624=++s s
由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为
22,1j p ±=-， 24,3j p ±=-， 216,5j p ±-=-
稳态误差及其计算
误差本身是时间t 的函数，在时域中以()t e 表示。

稳定系统误差的终值称为稳态误差ss e ，即为误差信号的稳态分量，则稳态误差为
)()(lim lim 0
s sE t e e s t ss →∞
→==
系统的误差传递函数
()())
()(11
s H s G s R s E += 故 ()())
()(1s H s G s R s E +=
将系统误差的拉氏变换E(s)代入(3-38)，得稳态误差的计算公式为 )()(1)
(lim 0
s H s G s sR e s ss +=
→ 控制系统的型别
控制系统的一般开环传递函数可以写成
∏∏-==++=
N
n j j N m
i i k s T s s T K s H s G 11
)
1()1()()(
式中k K 为开环放大系数或称为开环传递系数；i T 、j T 为时间常数；N 表示开环传递函数中串联的积分环节个数。

这是一个很重要的结构参数。

根据N 的数值，可将系统分为几种不同类型。

N ＝0的系统称为0型系统；N ＝1的系统称为I 型系统；N=2的系统称为II 型系统。

当N ＞2时，要使系统稳定是很困难的。

因此，一般采用的是0型、I 型和II 型系统。

典型输入下系统的稳态误差
对于不同输入函数，下面分析系统的稳态误差。

1. 单位阶跃输入下的稳态误差
单位阶跃输入(()s
s R 1
=
)下的系统稳态误差，由式(3-40)得 )()(1lim 0
s H s G s e s ss +=→)()(11
1s H s G s +=
定义
)()(lim 0
s H s G k s p →=
p k 称为位置误差系数，则
p
ss K e +=
11
0型系统的稳态误差为 k
ss K e +=
11
I 型或高于I 型的系统的位置稳态误差为
0=ss e
2. 单位斜坡输入下的稳态误差
单位斜坡输入(()2
1
s s R =
)的系统稳态误差 )
()(1
1
)
()(1lim lim 0
20s H s sG s s H s G s e s s ss →→=
•+=
定义
)()(lim 0
s H s sG K s →=ν
νK 称为速度误差系数。

则 ν
K e ss 1= 对于0型系统
0)
1()1(1010
lim
=++=∏∏==→n
j j m
i i k s s T s s T K k ν
所以 ∞=ss e 对于I 型系统
k n
j j m
i i k s K s T s s T K s
k =++=∏∏==→110
)
1()1(lim ν
所以 k
ss K k e 11==ν 对于II 型或更高型系统
∞=++=
∏∏==→n
j j m
i i k s s T s s T K s
k 1210
)
1()1(lim ν
所以 0=ss e
，0型系统不能跟踪斜坡输入；单位反馈的Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入，但总有一
定误差，
3. 单位抛物线输入下的稳态误差
定义
)()(20
lim s H s G s K s a →=
a K 称为加速度误差系数
则 a
ss K e 1=
对于0型系统 0)
1()1(101
20
lim =++=
∏∏==→n
j j m
i i k s a s T s s T K s k
所以 ∞=ss e 对于Ⅰ型系统
0)
1()1(1112
lim =++=∏∏==→n
j j m
i i k s a s T s s T K s k
所以 ∞=ss e 对于Ⅱ型系统
k n
j j m
i i k s a K s T s s T K s k =++=∏∏==→1112
)
1()1(lim
所以 k
ss k e 1=
由此可知，0型和Ⅰ型系统都不能跟踪抛物线输入，Ⅱ型系统能跟踪抛物线输入，但存在稳态误差。

典型输入信号作用下的稳态误差和误差系数。

减小稳态误差的方法
1. 引入给定量顺馈
2. 引入扰动量顺馈。