导数大题答题模板

1．设函数 f(x)＝ln x＋mx ，m∈R. (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－3x零点的个数． 解：(1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋ex， 定义域为(0，＋∞)，则 f′(x)＝x－x2 e， 由 f′(x)＝0，得 x＝e. 所以当 x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， 所以当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋ee＝2， 所以 f(x)的极小值为 2.
2.利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判 断零点个数或者通过零点个数求参数范围． (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出 草图数形结合确定其中参数的范围． (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函 数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与 0 的关系，从而求解． ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体 现转化与化归的思想方法.
令 φ(x)＝2lxn2 x，由 φ′(x)＝2x(1－x42ln x)易知，φ(x)在( 2， e)上为增函数，在( e，e)上为减函数，
则 φ(x)max＝φ( e)＝1e，
而 φ(e))＝e22－ln22＝4－2ee22ln
2＝ln
e4－ln 2e2
(2)若 f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求 a. 解：(1)证明：当 a＝1 时，f(x)≥1 等价于(x2＋1)e－x－1≤0. 设函数 g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则 g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.
当 x≠1 时，g′(x)<0，所以 g(x)在(0，＋∞)单调递减．
(2)由题设 g(x)＝f′(x)－3x＝1x－xm2－3x(x>0)， 令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x>0)． 设 φ(x)＝－13x3＋x(x>0)， 则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当 x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． 所以 x＝1 是 φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此 x＝1 也是 φ(x)的最大值点． 所以 φ(x)的最大值为 φ(1)＝23. 又 φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图象(如图)， 可知①当 m>23时，函数 g(x)无零点； ②当 m＝23时，函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当 m>23时，函数 g(x)无零点； 当 m＝23或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点． 2．已知 f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x. (1)讨论函数 F(x)＝f(x)－g(x)的单调性； (2)若方程 f(x)＝g(x)在区间[ 2，e]上有两个不相等的解，求 a 的取值范围． [解] (1)F(x)＝ax2－2ln x， 其定义域为(0，＋∞)， 所以 F′(x)＝2ax－2x＝2(axx2－1)(x>0)． ①当 a>0 时，由 ax2－1>0，得 x> 1 ；
当 x∈(0,2)时，h′(x)<0；当 x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0.
所以 h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．
故 h(2)＝1－4ea2 是 h(x)在(0，＋∞)的最小值．
2e2 ln <
81－ln 2e2
27<0，
所以 φ(e)<φ( 2)．
所以 φ(x)min＝φ(e)，
如图可知 φ(x)＝a 有两个不相等的解时，需ln22≤a<1e.
即 f(x)＝g(x)在[ 2，e]上有两个不相等的解时 a 的取值范围为ln22，1e.
3．已知函数 f(x)＝ex－ax2.
(1)若 a＝1，证明：当 x≥0 时，f(x)≥1；
而 g(0)＝0，故当 x≥0 时，g(x)≤0，即 f(x)≥1. (2)设函数 h(x)＝1－ax2e－x.
f(x)在(0，＋∞)只有一个零点等价于 h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．
(ⅰ)当 a≤0 时，h(x)>0，h(x)没有零点； (ⅱ)当 a>0 时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.
1.答题模板 （1）等价转化：把函数的零点、方程的根、两个函数图像的交点的问题相互转化 （2）构造新函数：构造新函数解决函数零点、方程的根两函数的交点问题 （3）判断新函数的单调性：利用导数研究新函数的单调性、进而研究函数的极值和最值等性质，有 时可以画出新函数的图像，有利于解题. （4）得出结论：利用新函数的极值和最值，结合图像得出正确结果.
利用导数研究函数的零点与不等式答题模板
函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点 与难点．常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)，求极值、最值、切线方程、函数的 零点或方程的根，求参数的范围及函数的零点、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类 讨论、数形结合、转化与化归等 一、利用导数研究函数的零点问题
a 由 ax2－1<0，得 0<x< 1 ，
a
故当 a>0 时，F(x)在区间 1a，＋∞上单调递增，在区间0， 1a上单调递减．
②当 a≤0 时，F′(x)<0(x>0)恒成立． 故当 a≤0 时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程 a＝2lxn2 x在区间[ 2，e]上有两个不等解．