2020年中考数学专题：函数中线段最值问题 练习题(无答案)

专题：函数中的线段问题(含最值问题)

1. 如图，抛物线y ＝－

39x 2＋233

x ＋33与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC ，B C.点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ .过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，与BC 交于点E .连接PD ，与BC 交于点F .设点P 的运动时间为t 秒(t ＞0)．

(1)求直线BC 的函数表达式；

(2)①直接写出P ，D 两点的坐标(用含t 的代数式表示，结果需化简)； ②在点P ，Q 运动的过程中，当PQ ＝PD 时，求t 的值；

(3)试探究在点P ，Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F 为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t 的值与点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，B (5，0)两点，直线y ＝－3

4x ＋3

与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E .设点P 的横坐标为m .

(1)求抛物线的表达式； (2)若PE ＝5EF ，求m 的值；

(3)若点E ′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P ，使点E ′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于点A ，B(1，0)，与y 轴交于点C ，

直线y ＝

x －2经过点A 、C.抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l.

(1) 求抛物线的表达式、顶点D 的坐标及对称轴l ； (2) 设点E 为x 轴上一点，且AE ＝CE ，求点E 的坐标；

(3) 设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD ＋GB 的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；

(4) 在直线l 上是否存在一点F ，使得△BCF 的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF 周长的最小值；若不存在，请说明理由；

(5) 点S 为y 轴上任意一点，K 为直线AC 上一点，连接BS ，BK ，是否存在点S ，K 使得△BSK 的周长最小，若存在，求出S ，K 的坐标，并求出△BSK 周长的最小值；若不存在，请说明理由；

(6) 在y 轴上是否存在一点S ，使得SD －SB 的值最大，若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由；

(7) 若点H 是抛物线上位于AC 上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC 于点K ，设点H 的横坐标为h ，线段HK ＝d.

①求d 关于h 的函数关系式； ②求d 的最大值及此时H 点的坐标．

1

2

参考答案

1.解：(1)由y＝0，得－

3

9x2＋

23

3x＋33＝0，解得x1＝－3，x2＝9，

∴点B的坐标为(9，0)，

令x＝0，得y＝33，

∴点C的坐标为(0，33)，(2分)

设直线BC 的函数表达式为 y ＝kx ＋b (k ≠0)， 代入B ，C 两点的坐标得

⎩

⎨

⎧9k ＋b ＝0

b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－

33b ＝33

， ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－

3

3

x ＋33；(4分) (2)①P (t 2－3，32t )，D (9－2t ，－439t 2＋83

3

t )；(6分)

【解法提示】由(1)可知A (－3，0)，C (0，33)，∴∠CAO ＝60°，如解图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，∵AP ＝t ，∴AG ＝t 2，PG ＝32t ，∴P (t 2－3，3

2t )，∵BQ ＝2t ，B (9，0)，

∴OQ ＝9－2t ，∴点D 的横坐标为9－2t ，将x ＝9－2t 代入抛物线解析式得y ＝－439t 2＋

83

3t ，∴D (9－2t ，－439t 2＋83

3

t )．

②如解图，过点P 作PH ⊥QD 于点H ， ∵QD ⊥x 轴，PG ⊥x 轴， ∴四边形PGQH 是矩形， ∴HQ ＝PG ，(7分) ∵PQ ＝PD ，PH ⊥QD ， ∴DQ ＝2HQ ＝2PG ，(8分)

∵P ，D 两点的坐标分别为(t 2－3，32t )，(9－2t ，－439t 2＋83

3t )，

∴－439t 2＋833t ＝2×3

2t ，(9分)

解得t 1＝0(舍去)，t 2＝154

，

∴当PQ ＝PD 时，t 的值为15

4

；(10分)

(3)存在．当t ＝3时，F 为PD 的中点，此时F (34，113

4

)．(14分)

【解法提示】当F 为PD 中点时，∵P (t 2－3，32t )，D (9－2t ，－439t 2＋83

3t )，∴点

F (3－34t ，－239t 2＋193

12

t )，∵点F 在直线BC 上，

∴－239t 2＋19312t ＝－33(3－34t )＋33，整理得t 2－6t ＋9＝0，解得t ＝3，∵AC ＝

AO cos60°＝6，OB ＝9，∴0

4

)．

2. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧0＝－（－1）2－b ＋c

0＝－52＋5b ＋c ， 解得⎩

⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝5，

∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(3分) (2)设点P 的横坐标为m ，

则P (m ，－m 2＋4m ＋5)，E (m ，－3

4m ＋3)，F (m ，0)．

又∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，点P 应在y 轴右侧， ∴0

∴PE ＝－m 2＋4m ＋5－(－34m ＋3)＝－m 2＋19

4

m ＋2.(5分)