2014南京市、盐城市高三二模考试数学试题

南京市2014届数学二模

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．a(第3题图)5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲ ．6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．(第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或72312．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分因为AP/⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分因为AP⊂平面PAB，所以BC⊥PA．因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分因为BE⊂平面PBC，所以PA⊥BE．因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图)PC解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) (8)分＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分PNC在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ， AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x＝x 2＋(x 2－xy )4x＝2x －y4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12.2x －y 4－32.34y ＝x －2y 4． (8)分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎨⎧2c ＝2，a 2c＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值；（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求b a的取值范围．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝(2＋1x)e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x2e x ． …………………………………………2分令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －b x－2a )e x ，当a ＝1时，g (x )＝(x －b x－2)e x ．因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b ≤x 2－2x －xe x在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x ．当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在（1，＋∞）上是增函数．所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分②：因为g (x )＝(ax －b x－2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx－a )e x ．由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x－2a )e x ＋(bx2＋ax －b x－a )e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分因为a ＞0，所以b a＝2x 3－3x 22x －1．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1，所以b a＞－1，即b a的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n＜a 2a 1．解：（1）因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则a 3＝3－2d ，a 4＝3－d ．因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝(3－2d )23－d ． ………………3分因为a 2＝1，所以(3－2d )2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为a n ＞0，所以d ＝34．因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d )＝12．……………5分（2）证法一：因为a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列，所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2．②；所以a 22n －1＝a 2n －2a 2n ，n ≥2．③所以a 2n －2a 2n ＋a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ．因为a n ＞0，所以a 2n －2 ＋a 2n ＋2＝2a 2n ． …………7分即数列{a 2n }是等差数列．所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)．由a 1，a 2及a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1是等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2是等比数列，可得a 4＝(2a 2－a 1)2a 2．………………8分所以a 2n ＝a 2 ＋(n －1)(a 4－a 2)＝(a 2－a 1)n ＋a 1a 2．所以a 2n ＝[(a 2－a 1)n ＋a 1]2a 2．……………………10分所以a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]2a 2．从而a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2＝[(a 2－a 1)n ＋a 1][(a 2－a 1)(n ＋1)＋a 1]a 2．所以a 2n －1＝[(a 2－a 1)(n －1)＋a 1][(a 2－a 1)n ＋a 1]a 2．………………12分①当n ＝2m ，m ∈N *时，a n ＋1a n－a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1][(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1]a 2[(a 2－a 1)m ＋a 1]2a 2－a 2a 1＝(a 2－a 1)(m ＋1)＋a 1(a 2－a 1)m ＋a 1－a 2a 1＝－m (a 1－a 2)2a 1[(a 2－a 1)m ＋a 1]＜0． ……………14分②当n ＝2m －1，m ∈N *，m ≥2时，a n ＋1a n－a 2a 1＝[(a 2－a 1)m ＋a 1]2a 2[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1][(a 2－a 1)m ＋a 1]a 2－a 2a 1＝(a 2－a 1)m ＋a 1(a 2－a 1)(m －1)＋a 1－a 2a 1＝－(m －1)(a 1－a 2)2a 1[(a 2－a 1)(m －1)＋a 1]＜0．综上，对一切n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1a n＜a 2a 1． ………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝(2a n ＋1－a n )a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝－(a n ＋1－a n )2a n ＋1a n≤0，所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n．………………9分②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n．………11分由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *， a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n≤…≤a 3a 2．………13分又因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 12－a 22a 2a 1＝－(a 1－a 2)2a 2a 1，因为a 1＜a 2，所以－(a 1－a 2)2a 2a 1＜0，即a 3a 2＜a 2a 1．………15分综上，a n ＋1a n＜a 2a 1．…………16分．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分（2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB ·(EB ＋BD )，即62＝EB ·(EB ＋5)，解得BE ＝4．根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CFBF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21． AEBCFD第21题A 图（1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，求x ，y 的值．解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4． ………………………………………5分（2）解法一：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24，所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4， ………………………………………8分解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分解法二：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －1316 16． ………………………………………7分因为A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 1616⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01．所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y 2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心C (1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρR )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………10分解法二：设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ．………………………………………6分将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sin θ．所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．证：因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|． ………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )． 22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P (A )＝C 42×2234＝2481＝827．答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分（2）X 的所有可能值为1，2，3．P (X ＝1)＝334＝127， P (X ＝2)＝C 43×A 32＋3×A 3234＝4281＝1427，P (X ＝3)＝C 42×A 3334＝3681＝49．X 的概率分布列为：所以X 的数学期望E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分23．（本小题满分10分）设f (n )是定义在N *上的增函数，f (4)＝5，且满足：①任意n ∈N *，f (n )∈Z ；②任意m ，n ∈N *，有f (m )f (n )＝f (mn )＋f (m ＋n －1)．（1）求f (1)，f (2)，f (3)的值；（2）求f (n )的表达式．23．解：（1）因为f (1)f (4)＝f (4)＋f (4)，所以5 f (1)＝10，则f (1)＝2．……………………………………1分因为f (n )是单调增函数，所以2＝f (1)＜f (2)＜f (3)＜f (4)＝5．因为f (n )∈Z ，所以f (2)＝3，f (3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

江苏省南京市、盐城市高考二模数学试卷

专业资料整理字说明、证明过程或演算步骤．4 1[ 选修 - ：几何证明选讲 ]21A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段 AB 与圆O 交于点 M ．．如图，△ ABC 的顶点〔1〕假设BC 是圆O 的切线，且AB 8， BC 4 ，求线段AM 的长度；〔2〕假设线段BC 与圆O 交于另一点 N ，且 AB2 AC ，求证： BN 2MN ．[ 选修 4- 2：矩阵与变换]22 ．设a ，bR ．假设直线 l: ax y- 7 0在矩阵 A3 0对应的变换作用下，得到的直线为1 bl ：9x y ﹣91 0 ．XX 数 a ， b 的值．[ 选修 4- 4：坐标系与参数方程]x1 3 tx 4k223．在平面直角坐标系xOy 中，直线 l :5(t 为参数 ) ( k 为参数 ) 交于A ，B 两4，与曲线 C :4kyyt5点，求线段 AB 的长． [ 选修 4- 5：不等式选讲 ]2446a 2 b 24＞4ab 〔a 22． a b ，求证： ab b 〕[必做题 ]第25题、第 26 题，每题10 分，共计 20 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD - A 1B 1C 1 D 1中，底面四边形 ABCD 为菱形， A 1 AAB 2， ABCπ ， E ，3F 分别是BC ，AC 1的中点．〔1〕求异面直线EF ， AD 所成角的余弦值；〔2〕点M在线段 ADA 1M．假设CM //平面AEF ，XX 数的值．上， AD11-4-/ 526．现有n(n1)( n 2，n N*)个给定的不同的数随机排成一个以下图所示的三角形数阵：2设 M k是第 k 行中的最大数，其中 1 k n ， k N ．记 M 1＜M 2＜＜M n的概率为p n．（1〕求p2的值；（2〕证明：p n＞Cn2 1．(n 1)!-5-/ 5专业资料整理。

2014届参考答案淮安南京盐城二模答案

3 4 2 16．解：（1）解法一：因为 x1＝，y1＞0，所以 y1＝ 1－x1 ＝． 5 5 4 3 所以 sinα＝，cosα＝． 5 5 ………………………2 分 …………………………………
π π π 2 所以 x2＝cos(α＋ )＝cosαcos －sinαsin ＝－． 4 4 4 10 6分
8 8 3 ＝ [1－cos (2θ＋120° )]－ sin(2θ＋120° )＋4 3 3 8 20 ＝－ [ 3sin(2θ＋120° )＋cos (2θ＋120° )]＋ 3 3 ＝ 120° )． 20 3 － 16 3 sin(2θ ＋ 150° ) ， θ∈(0 ，
…………………………………………12 分
22 2 2 1 Fra bibliotek 2…………………………………………
y
C P
∵△MNP 为正三角形，且 MN＝2．∴PK＝ 3，PK⊥MN． → → MN顺时针方向旋转 60° 后得到MP． → → MP＝(x0－x1，y0)，MN＝(x2－x1， 3x2)． x A M B
1 2 ∴ 3 － 2
3 2 x2－x1 x0－x1 ＝，即 1 3x2 y0 2
2 2
＝
…………………………………………2 分
x1＋x2 2 3 ∴PK2＝(x0－ ) ＋(y0－ x2)2＝3， 2 2 3x2 x2－x1 3 x 2 2 x1＋x2 x0－ 2 y0－
kMN·kPK
＝
－
1
，
即
·
＝
－
1，
…………………………………………6 分
2 x1－x2 x1＋x2 x1＋x2 2 3 3 2 (x1－x2) ∴y0－ x2＝ (x0－ )，∴(y0－ x2) ＝ (x0－ ) 2 2 2 3x2 2 3x2 2

江苏省南京市、盐城市高三数学第二次模拟考试试题苏教版

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)a(第3题图)(第6题图)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ；（2）求证：BE ⊥平面PAC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． ………………………………………8分因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ．因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交PBCDEA(第15题图)于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35．所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)，因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 2 10． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α． (10)分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)(第16题图)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． (2)分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分A PMNBC第17题图 D APMNBC(第17题图)AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3．此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cos α＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ． (12)分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤2 3．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3， k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →．MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1， 3x 2)． ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分在△AMN 中，由正弦定理知：MNsin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．APMNBCFE由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 2 2．所以11(1)(2OP OQ ⋅=-⨯-=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ (2)当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。

南京市盐城市届高三模拟考试数学试题及答案(理)

江苏省南京市盐城市2014届高三二模数学（理）试题一、填空题1.函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为．2.已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为．3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有．【解析】4.盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．5.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d 的值为．6.执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为．7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为．8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为．9.表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为．10.已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为．11.在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为．12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为．考点：分段函数图像13.在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为．14.设函数f(x)＝ax＋sin x＋cos x．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．二、解答题15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．16.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．17.(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法五(变换法)：答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………14分考点：利用正余弦定理解三角形 18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ 的最大值．解法二：当PQ斜率不存在时，19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋bx e x ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值；（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．【解析】所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………8分记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． ………………………16分解法二：因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x ．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有a n＋1a n＜a2a1．a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列”运用有两个方向，决定本题有两个解题方法.一是等量代换，求出数列通项公式后，比较大小.二是放缩，直接比较大小.由2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①a 22n＋1＝a2n a2n＋2．②；所以a 22n－1＝又因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 12－a 22a 2a 1＝－(a 1－a 2)2a 2a 1，21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.21.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21．（1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x ，y 的值．【解析】21.C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．【解析】21. D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【答案】详见解析【解析】22.（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．情形.因为f (2) f (k ＋12)＝f (k ＋1)＋f (k ＋12＋2－1)＝f (k ＋1)＋f (k ＋32)，。

江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟试卷(带解析)

江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟试卷（带解析）1．某学习小组以“假如失去……”为主题展开讨论．同学们提出以下四种观点，你认为正确的是（）A ．假如物体间失去了摩擦力，任何运动物体的机械能一定守恒B ．假如磁体周围失去了磁场，其它形式的能将无法转化为电能C ．假如地球对月球失去了引力，月球就不会绕地球转动D ．假如导体失去了电阻，所有用电器都不能正常工作【答案】C 【解析】试题分析：若物体间失去了摩擦力，还可能由电场力等其他的力做功，故机械能不一定守恒，所以A 错误；失去磁场还可以通过摩擦等方式是物体带电，把其他形式的能转化为电能，故B 错误；月球绕地球做圆周运动，地球对月球的引力提供向心力，故若地球对月球失去了引力，月球就不会绕地球转动，所以C 正确；假如导体失去了电阻，非纯电阻电路仍能正常工作，比如电动机，所以D 错误。

考点：本题考查机械能、电能、天体运动、电路等2．设雨点下落过程中受到的空气阻力与雨点（可看成球形）的横截面积S 成正比，与下落速度v 的平方成正比，即f=kSv 2，其中k 为比例常数，且雨滴最终都做匀速运动．已知球体积公式：V=334r π（r 为半径），若两个雨滴的半径之比为1:2，则这两个雨点的落地速度之比为（）A ．1:2B ．1:2C ．1:4D ．1:8【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，雨滴最终都做匀速运动，根据平衡条件可得：mg=f= kSv 2，而质量V m ρ=，V=334r π联立可得：krv 342ρ=，两个雨滴的半径之比为1:2，故落地速度之比为1:2，所以A 正确。

考点：本题考查物体的平衡3．在地球大气层外有大量的太空垃圾．在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而开始向地面下落．大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害．太空垃圾下落的原因是（）A ．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致下落B ．太空垃圾在与大气摩擦燃烧过程中质量不断减小，进而导致下落C ．太空垃圾的上表面受到的大气压力大于其下表面受到的大气压力，这种压力差将它推向地面D ．太空垃圾在大气阻力作用下速度减小，运动所需的向心力将小于万有引力，垃圾做趋向圆心的运动，落向地面【答案】D【解析】试题分析：由题意知，由于大气层的扩张，太空垃圾被太空垃圾包围后，在运动的过程中会受大气层的阻力作用，故速度减小，使所需向心力小于受到的万有引力，而做近心运动，所以A、B、C错误；D正确。

江苏省南京市盐城市高三数学二模试题文(含解析)苏教版

江苏省南京市盐城市2014届高三数学二模试题文（含解析）苏教版一、填空题1.【题文】函数f (x)＝lnx＋1－x的定义域为．【结束】2.【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有．【解析】【结束】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【结束】5.【题文】已知等差数列{an}的公差d 不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则a1d的值为．【结束】6.【题文】执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为．7.【题文】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(π3)的值为．考点：三角函数解析式【结束】8.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为．【结束】9.【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为．10.【题文】已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x2＋y2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为．【结束】12.【题文】已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x2，当x ＞0时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为．02)2(2=++-x k x ，因为相切，所以,08)2(2=-+=∆k 又,0>k 所以.222-=k考点：分段函数图像【结束】 13.【题文】在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为．【结束】 14.【题文】设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为．【结束】二、解答题15.【题文】(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB， BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．【结束】16.【题文】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝35，求x2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tan α的值．解得x2＝－210或7210，又x2＜0，所以x2＝－210．………………………6分【结束】17.【题文】(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．∴PK2＝(x0－x1＋x22)2＋(y0－32x2)2＝3，解法五(变换法)：【结束】18.【题文】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C∶x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F2三点的圆的方程；（3）若F1P →＝λQF1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ ⋅的最大值．试题解析：（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2，解得c ＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．【结束】19.【题文】(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax ＋b xex ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x ＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求b a的取值范围．当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．【结束】20.【题文】(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n ≥2，都有an ＋1an ＜a2a1．a2n －2a2n ，n ≥2．③得：a2n －2a2n ＋a2na2n ＋2＝2a2n ，即a2n －2 ＋a2n ＋2＝2a2n ．从而数列{a2n }是等差数列，所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)．由a4＝(2a2－a1)2a2，可得a2n ＝[(a2－a1)n ＋a1]2a2．代入②解得解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)＝(a2－a1)n ＋a1a2．。

数学_2014年江苏省南京市某校高考数学二模试卷(含答案)

2014年江苏省南京市某校高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 集合A ={x|0<x ≤3, x ∈R}，B ={x|−1≤x ≤2, x ∈R}，则A ∪B =________．2. 已知|a →|=3，|b →|=2．若a →⋅b →=−3，则a →与b →夹角的大小为________． 3. 设x ，y 为实数，且x 1−i+y 1−2i=51−3i，则x +y =________．4. 椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．5. 若θ∈(π4, π2)，sin2θ=116，则cosθ−sinθ的值是________．6. 已知Ω={(x, y)|x +y <6, x >0, y >0}，A ={(x, y)|x <4, y >0, x −2y >0}，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．7. 已知a ，b 是两条异面直线，直线c // a ，那么c 与b 的位置关系是________． 8. 一个算法的流程图如图所示，则输出S 的值为________．9. 将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是________．10. 某同学在借助题设给出的数据求方程lgx =2−x 的近似数（精确到0.1）时，设f(x)=lgx +x −2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为________． 11. 设OM →=(1, 12)，ON →=(0, 1)，O 为坐标原点，动点P(x, y)满足0≤OP →⋅OM →≤1，0≤OP →⋅ON →≤1，则z =y −x 的最小值是________．12. 设周期函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且满足f(1)>−2，f(2)＝m −3m ，则m 的取值范围是________．13. 等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式 d 2x 2+(a 1−d2)x +c ≥0的解集为[0, 22]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是________．14. 方程x 2+√2x −1=0的解可视为函数y =x +√2的图象与函数y =1x 的图象交点的横坐标．若x 4+ax −9=0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ，9x i)(i =1, 2,…,k)均在直线y =x 的同侧，则实数a 的取值范围是________．二、解答题共6小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)，x ∈R （其中A >0,ω>0,0<φ<π2）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，−2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]，求f(x)的值域．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC // AB ，∠BAD =90∘，且AB =2AD =2DC =2PD =4（单位：cm ），E 为PA 的中点．（1）证明：DE // 平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面PAB ．17. 一气球以V(m/s)的速度由地面上升，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45∘；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30∘方向T 处，其仰角为60∘（如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影）．求风向和风速（风速用V 表示）．18. 已知⊙C 过点P(1, 1)，且与⊙M ：(x +2)2+(y +2)2＝r 2(r >0)关于直线x +y +2＝0对称．(Ⅰ)求⊙C 的方程；(Ⅱ)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →⋅MQ →的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2−a n ，n ＝1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，且b n+1＝b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；（3）设c n ＝n(3−b n )，求数列{c n }的前n 项和为T n ．20. 已知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式f(kx)=k2+f(x)恒成立．（1）判断一次函数f(x)=ax +b(a ≠0)是否属于集合M ；（2）证明函数f(x)=log 2x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数f(x)=log a x( a >1)与y =x 的图象有公共点，证明f(x)=log a x ∈M ．附加题.选做题：在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．【选修4-1：几何证明选讲】21. 如图，已知AB ，CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线．若AB =6，CD =2√5，求线段AC 的长．【选修4-2：矩阵与变换】22. 已知二阶矩阵A 有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e 1=[11]和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e 2=[10]，试求矩阵A 及其逆矩阵A −1．【选修4-4：坐标系与参数方程】 23. 选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是{y =sinθ+1x =cosθ（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知关于x 的不等式|ax −1|+|ax −a|≥1(a >0)．（1）当a ＝1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．【必做题】25. 附加题：在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）． (1)小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？(2)小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．【必做题】26. 附加题：已知(x +1)n ＝a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+a 3(x −1)3+...+a n (x −1)n ，（其中n∈N∗）S n＝a1+a2+a3+...+a n．（1）求S n；（2）求证：当n≥4时，S n>(n−2)2n+2n2．2014年江苏省南京市某校高考数学二模试卷答案1. {x|−1≤x≤3}2. 23π3. 44. 145. −√1546. 297. 相交或异面8. 459. 810. 1.7511. −112. (−∞, −1)∪(0, 3)13. 1114. (−∞, −24)∪(24, +∞)15. 解：(1)由最低点为M(2π3，−2)得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T2=π2，即T=π，ω=2πT =2ππ=2，由点M(2π3，−2)在图象上的2sin(2×2π3+φ)=−2，即sin(4π3+φ)=−1，故4π3+φ=2kπ−π2，k∈Z，∴ φ=2kπ−11π6，又φ∈(0,π2)，∴ φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6).(2)∵ x∈[π12，π2]，∴ 2x +π6∈[π3,7π6].当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值2；当2x +π6=7π6，即x =π2时，f(x)取得最小值−1. 故f(x)的值域为[−1, 2].16. 解：（1）设PB 的中点为F ，连接EF 、CF ，EF // AB ，DC // AB ，所以EF // DC ，且EF =DC =12AB ，故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED // CF ．ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，故DE // 平面PBC ．（2）PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD ，又因为AB ⊥AD ，PD ∩AD =D ， AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ．ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ，又PD =AD ，E 为PA 之中点，故ED ⊥PA ；PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴ DE ⊥平面PAB ． 17. 风向为正南风，风速为√3V3m/s ． 18. （1）设圆心C(a, b)，则{a−22+b−22+2=0b+2a+2=1，解得{a =0b =0则圆C 的方程为x 2+y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2+y 2＝2（2）设Q(x, y)，则x 2+y 2＝2，PQ →⋅MQ →=(x −1,y −1)⋅(x +2,y +2) ＝x 2+y 2+x +y −4＝x +y −2，令x =√2cosθ，y =√2sinθ，∴ PQ →⋅MQ →=√2cosθ+√2sinθ−2＝2sin(θ+π4)−2，∴ (θ+π4)＝2kπ−π2时，2sin(θ+π4)＝−2，所以PQ →⋅MQ →的最小值为−2−2＝−4．(Ⅲ)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA:y −1＝k(x −1)，PB:y −1＝−k(x −1)，由{y −1=k(x −1)x 2+y 2=2 ，得(1+k 2)x 2+2k(1−k)x +(1−k)2−2＝0 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A =k 2−2k−11+k 2同理，x B =k 2+2k−11+k 2，所以k AB =y B −y A x B −x A=−k(x B −1)−k(x A −1)x B −x A=2k−k(x B +x A )x B −x A=1=k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行19. 因为n ＝1时，a 1+S 1＝a 1+a 1＝2，所以a 1＝1．因为S n ＝2−a n ，即a n +S n ＝2，所以a n+1+S n+1＝2．两式相减：a n+1−a n +S n+1−S n ＝0，即a n+1−a n +a n+1＝0，故有2a n+1＝a n ．因为a n ≠0，所以a n+1a n=12( n ∈N ∗)．所以数列{a n }是首项a 1＝1，公比为12的等比数列，a n =(12)n−1( n ∈N ∗)．因为b n+1＝b n +a n ( n ＝1, 2, 3,…)，所以b n+1−b n =(12)n−1．从而有b 2−b 1＝1，b 3−b 2=12，b 4−b 3=(12)2，…，b n −b n−1=(12)n−2( n ＝2, 3,…)．将这n −1个等式相加，得b n −b 1＝1+12+(12)2+⋯+(12)n−2=1−(12)n−11−12=2−2(12)n−1．又因为b 1＝1，所以b n ＝3−2(12)n−1( n ＝1, 2, 3,…)．因为c n ＝n (3−b n )=2n(12)n−1，所以T n =2[(12)0+2(12)+3(12)2+⋯+(n −1)(12)n−2+n(12)n−1]． ①12T n =2[(12)1+2(12)2+3(12)3+⋯+(n −1)(12)n−1+n(12)n ]． ②①-②，得12T n =2[(12)0+(12)+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n(12)n ．故T n =41−(12)n1−12−4n(12)n =8−82n −4n(12)n =8−(8+4n)12n ( n ＝1, 2, 3,…)．20. 解：（1）若f(x)=ax +b ∈M ，则存在非零常数k ，对任意x ∈D 均有f(kx)=akx +b =k2+f(x)，即a(k −1)x =k 2恒成立，得{k −1=0k =0无解，所以f(x)∉M ．（2）log 2(kx)=k 2+log 2x ，则log 2k =k2，k =4，k =2时等式恒成立，所以f(x)=log 2x ∈M ．（3）因为y =log a x( a >1)与y =x 有交点，由图象知，y =log a x 与y =x2必有交点．设log a k =k2，则f(kx)=log a (kx)=log a k +log a x =k2+f(x)，所以f(x)∈M ．21. 解：连结BC ，AB 、CD 相交于点E ，设AE =x∵ 直径AB 垂直于弦CD ，∴ CE =12CD =√5，且CE 2=AE ⋅BE ，可得x(6−x)=5解之得x =5∵ Rt △ACE 中，AE =5，CE =√5∴ 由勾股定理，得AC =√AE 2+CE 2=√30． 22. 解：设矩阵A =[abcd]，这里a ，b ，c ，d ∈R ，因为[11]是矩阵A 的属于λ1=1的特征向量，则有[1−a −b −c1−d ][11]=[00]①，又因为[10]是矩阵A 的属于λ2=2的特征向量，则有[2−a −b −c1−d ][1]=[00]②，根据①②，则有{1−a −b =0−c +1−d =02−a =0−c =0从而a =2，b =−1，c =0，d =1，因此A =[2−101]，根据题意[11]，[10]分别是矩阵A −1属于特征值1，12的特征向量，不妨设A −1=[ef gℎ]，则有[ef gℎ][2−101]=[−2e −e +f 2g −g +ℎ]=[1001]，则得{1−e −f =0−g +1−ℎ=012−e =0−g =0从而e =12，f =12，g =0，ℎ=1，因此A −1=[121201]． 23. 解：由{y =sinθ+1x =cosθ得{y −1=sinθx =cosθ，两式平方后相加得x 2+(y −1)2=1，…∴ 曲线C 是以(0, 1)为圆心，半径等于的圆．令x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入并整理得ρ=2sinθ．即曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ． … 24. 当a ＝1时，可得2|x −1|≥1，即|x −1|≥12，解得x ≥32x ≤12， ∴ 不等式的解集为(−∞,12]∪[32,+∞)．∵ |ax−1|+|ax−a|≥|a−1|，不等式|ax−1|+|ax−a|≥1解集为R，等价于|a−1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵ a>0，∴ a≥2．∴ 实数a的取值范围为[2, +∞)．25. 解：(1)若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；若三瓶口味一样，有8种．所以小明共有56+56+8=120种选择．(2)ξ的取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=C73+C71⋅6+7120=84120=710；P(ξ=1)=C72+7120=28120=730；P(ξ=2)=7120；P(ξ=3)=1120．所以ξ的分布列为其数学期望Eξ=0×710+1×730+2×7120+3×1120=38．26. 取x＝1，则a0＝2n；取x＝2，则a0+a1+a2+a3+...+a n＝3n，∴ S n＝a1+a2+a3+...+a n＝3n−2n；要证S n>(n−2)2n+2n2，只需证3n>(n−1)2n+2n2，①当n＝4时，81>80；②假设当n＝k(k≥4)时，结论成立，即3k>(k−1)2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1>3[(k−1)2k+2k2]＝k2k+1+2(k+1)2+[(k−3)2k+4k2−4k−2]而(k−3)2k+4k2−4k−2＝(k−3)2k+4(k2−k−2)+6＝(k−3)2k+4(k−2)(k+ 1)+6>0∴ 3k+1>((k+1)−1)2k+1+2(k+1)2，即n＝k+1时结论也成立，由①②可知，当n≥4时，3n>(n−1)2n+2n2成立．综上原不等式获证．。

南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学 2014.03 注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为 ▲ ．3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5．已知等差数列{an}的公差d 不为0，且a1，a3，a76．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x2＋y2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x2，当x ＞0时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．a (第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ；（2）求证：BE ⊥平面PAC ．16．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝35，求x2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图) P NC PB C DE A (第15题图)18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F2三点的圆的方程；（3）若F1P →＝λQF1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax ＋bxex ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x ＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n ∈N*，a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列， a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n ∈N*，且n ≥2，都有an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21．（1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ab ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n ∈N*，f(n)∈Z ；②任意m ，n ∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m ＋n －1)．A EBC F D第21题A 图（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题：15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． …………………………………………8分因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ．因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．解：（1）因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． …………………………………………2分所以x2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………………6分（2）S1＝12sin αcos α＝－14sin2α．因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S2＝－12sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．…………………………………………8分因为S1＝43S2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (10)分所以2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以t anα＝2． …………………………………………14分17．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos ∠MAN ，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy ＝4． …………………………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x2＋4－y22×2×x ＝x2＋(x2－xy)4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos ∠AMP ，即AP2＝x2＋4－2×2×x×x －2y4＝x2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x2＋y2－xy ＝4，4＋xy ＝x2＋y2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2，解得c ＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．所以椭圆的方程为x22＋y2＝1． …………………………………………2分（2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为kPF 1·kPF 2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分因为QF2的中点为(－16，－16)，QF2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x2＋y2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P →＝(x1＋1，y1)，QF1→＝(－1－x2，－y2)．因为F1P →＝λQF1→，所以⎩⎨⎧x1＋1＝λ(－1－x2)，y1＝－λy2，即⎩⎨⎧x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy 22＝－λ2x22－(1＋λ)x2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x)＝(2＋1x)ex ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x)＝(x ＋1)(2x －1)x2ex ． …………………………………………2分令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝12，列表由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e －1，f (x)的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x)＝(ax －a)ex －f (x)＝(ax －bx －2a)ex ，当a ＝1时，g (x)＝(x －bx－2)ex ．因为g (x)≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x －xex 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h(x)＝x2－2x －xex （x ＞0），则h ′(x)＝(x －1)(2ex ＋1)ex．当0＜x ＜1时，h ′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，h ′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．所以h(x)min ＝h(1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分 ② 因为g (x)＝(ax －b x －2a)ex ，所以g ′(x)＝(b x2＋ax －bx －a)ex ．由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax －b x －2a)ex ＋(b x2＋ax －bx－a)ex ＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分因为a ＞0，所以b a ＝2x3－3x22x －1．设u(x)＝2x3－3x22x －1（x ＞1），则u ′(x)＝8x[(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d ，则a3＝3－2d ，a4＝3－d ．因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝a 23a4＝(3－2d)23－d ． …………………………………………3分因为a2＝1，所以(3－2d)2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为an ＞0，所以d ＝34．因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝12．…………………………………5分（2）证法一：因为a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列，所以2a2n ＝a2n －1＋a2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a2na2n ＋2．② 所以a 2 2n －1＝a2n －2a2n ，n ≥2．③所以a2n －2a2n ＋a2na2n ＋2＝2a2n ．因为an ＞0，所以a2n －2 ＋a2n ＋2＝2a2n ． …………………………………………7分即数列{a2n }是等差数列．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)．由a1，a2及a2n －1，a2n ，a2n ＋1是等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2是等比数列，可得a4＝(2a2－a1)2a2．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)＝(a2－a1)n ＋a1a2．所以a2n ＝[(a2－a1)n ＋a1]2a2．所以a2n ＋2＝[(a2－a1)(n ＋1)＋a1]2a2． (10)分从而a2n ＋1＝a2na2n ＋2＝[(a2－a1)n ＋a1][(a2－a1)(n ＋1)＋a1]a2．所以a2n －1＝[(a2－a1)(n －1)＋a1][(a2－a1)n ＋a1]a2．①当n ＝2m ，m ∈N*时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1][(a2－a1)(m ＋1)＋a1]a2[(a2－a1)m ＋a1]2a2－a2a1＝(a2－a1)(m ＋1)＋a1(a2－a1)m ＋a1－a2a1＝－m(a1－a2)2a1[(a2－a1)m ＋a1]＜0． …………………………………………14分②当n ＝2m －1，m ∈N*，m ≥2时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1]2a2[(a2－a1)(m －1)＋a1][(a2－a1)m ＋a1]a2－a2a1＝(a2－a1)m ＋a1(a2－a1)(m －1)＋a1－a2a1＝－(m －1)(a1－a2)2a1[(a2－a1)(m －1)＋a1]＜0．综上，对一切n ∈N*，n ≥2，有an ＋1an ＜a2a1． …………………………………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则an ，an ＋1，an ＋2成等差数列．因为an ＋2an ＋1－an ＋1an ＝an ＋2an －a2n ＋1an ＋1an ＝(2an ＋1－an)an －a2n ＋1an ＋1an ＝－(an ＋1－an)2an ＋1an ≤0，所以an ＋2an ＋1≤an ＋1an ．②若n 为偶数且n ≥2时，则an ，an ＋1，an ＋2成等比数列，所以an ＋2an ＋1＝an ＋1an ．由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N*，an ＋2an ＋1≤an ＋1an ≤…≤a3a2．又因为a3a2－a2a1＝2a2－a1a2－a2a1＝2a2a1－a12－a22a2a1＝－(a1－a2)2a2a1，因为a1＜a2，所以－(a1－a2)2a2a1＜0，即a3a2＜a2a1．综上，an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分（2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4．根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎡⎦⎤1 a －1 b ⎣⎡⎦⎤21＝2⎣⎡⎦⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4． ………………………………………5分（2）解法一：A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，即⎣⎡⎦⎤1 2－1 4 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤24，所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1．………………………………………10分解法二：因为A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16． ………………………………………7分因为A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，所以⎣⎡⎦⎤x y ＝A －1⎣⎡⎦⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16 ⎣⎡⎦⎤24＝⎣⎡⎦⎤01．所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心C(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρR)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分解法二：设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ． ………………………………………6分将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sinθ．所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证：因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|． ………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y|≤1． ………………………………………10分22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C42×2234＝2481＝827．答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分（2）X 的所有可能值为1，2，3．P(X ＝1)＝334＝127， P(X ＝2)＝C43×A32＋3×A3234＝4281＝1427， P(X ＝3)＝C42×A3334＝3681＝49． X所以X 的数学期望E(X)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分 23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．因为f(n)∈Z ，所以f(2)＝3，f(3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z ，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n ＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分。

南京市、盐城市高三二模数学试题(解析版)

一、填空题1.【题文】函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为▲．【结束】2.【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为▲．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．【结束】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．【结束】5.【题文】已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲ ．【结束】6.【题文】执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．【结束】7.【题文】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．【结束】8.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．【结束】9.【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．【结束】10.【题文】已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．【结束】12.【题文】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．考点：分段函数图像【结束】13.【题文】在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．【结束】14.【题文】设函数f(x)＝ax＋sin x＋cos x．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．【结束】二、解答题15.【题文】(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．证PA⊥平面PBC．从而可得PA⊥BE．【结束】16.【题文】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．【结束】17.【题文】(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法二(构造直角三角形)：即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分 k M以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，【结束】18.【题文】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ u u u r u u u r 的最大值．因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．【结束】19.【题文】(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值；（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．①当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；②设g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求ba的取值范围．当a ＝1时，g (x )＝(x －bx －2)e x．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．【结束】20.【题文】(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有a n＋1a n＜a2a1．可得a 4＝(2a 2－a 1)2a 2．………………8分【结束】21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.【题文】A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.【结束】21.【题文】B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21．（1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x ，y 的值．21.【题文】C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．考点：极坐标与直接坐标互化【结束】21.【题文】D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【结束】22.【题文】（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．【结束】23.【题文】（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．考点：赋值法求函数值，数学归纳法【结束】。

2014届高三调研测试试卷南京、盐城卷数学答案

南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B =I .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Pr int S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅ 的最小值为 .12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间；（3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<< ，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.2014届高三调研测试试卷(一)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准试卷勘误：第16题第(1)小题“求证：BF ∥平面A 1EC 1”更正为“求证：BF ∥平面A 1EC ”．1. {1，2}2. －33. 234. 555. 2656. y ＝±3x7. 68. 33 9. 必要不充分10. x ＋y －3＝0 11. －23 12. ⎣⎡⎦⎤1e ，e 13. {10} 14. 5972 15. 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.(2分)因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(7分)(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.(10分)当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.(13分)所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.(14分)16. 证明：(1) 连AC 1交A 1C 于点O ，连结OE 、OF ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1. 因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1，且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE.(4分) 又BF 平面A 1EC ，OE 平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC.(7分)(2) 由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC.(9分)因为AA 1⊥底面ABC ，而BF 底面ABC ，所以AA 1⊥BF.由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1、AC 平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1.(12分)因为OE 平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.(14分) 17. 解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，(4分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.所以x 的取值范围是[9，15]．(7分)(2) 记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y ＝a ×π×⎝⎛⎭⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a11×⎣⎡⎦⎤104－π×⎝⎛⎭⎫15x 22－πx 2 ＝a 11⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，(10分) 令f(x)＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f′(x)＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝⎛⎭⎫125x 2－x ＋6.由f′(x)＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15，(12分) 列表如下：x 9 (9，10) 10 (10，15) 15 f′(x) －0 ＋ 0 f(x)极小值所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．(14分) 18. 解：(1) 由题意，得2a ＝（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a＝2.(2分)又c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 因为B ⎝⎛⎭⎫85，335，所以P ⎝⎛⎭⎫－85，－335.又F(1，0)，所以k AB ＝3，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．(7分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3（x －1），解得A(0，－3)．(9分)所以直线PA 的方程为y ＝－34x －3，即3x ＋4y ＋43＝0.(10分) (3) 当直线AB 斜率k 不存在时，易得y M y N ＝－9.当直线AB 斜率k 存在时，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P(－x 2，－y 2)，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得（x 2＋x 1）（x 2－x 1）4＝－（y 2＋y 1）（y 2－y 1）3，所以（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－34＝k PA k ，所以k PA ＝－34k .(12分)所以直线PA 方程为y ＋y 2＝－34k(x ＋x 2)，所以y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2＝－3（x 2＋4）（x 2－1）4y 2－y 2.因为直线PB 方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.(14分)所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）x 2－4y 22x 2.因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22，所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.(16分)19. 解：(1) 因为f′(x)＝e x ，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(2分) 因为g′(x)＝2ax ＋b ，所以g′(0)＝b.又g(0)＝1，所以y ＝g(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1.所以当a ≠0且b ＝1时，曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在x ＝0处总有相同的切线．(4分) (2) 由a ＝1，h(x)＝x 2＋bx ＋1e x，所以h′(x)＝－x 2＋（2－b ）x ＋b －1e x ＝－（x －1）[x －（1－b ）]e x.(7分)由h′(x)＝0，得x ＝1或x ＝1－b.所以当b>0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，1－b)，(1，＋∞)；当b ＝0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，＋∞)；当b<0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)．(10分) (3) 由a ＝0，则φ(x)＝f(x)－g(x)＝e x －bx －1，所以φ′(x)＝e x －b. ① 当b ≤0时，φ′>0，函数φ(x)在R 上单调递增．又φ(0)＝0，所以x ∈(－∞，0)时，φ(x)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．(12分) ② 当b>0时，由φ′(x)>0，得x>lnb ；由φ′(x)<0，得x<lnb ，所以函数φ(x)在(－∞，lnb)上单调递减，在(lnb ，＋∞)上单调递增．当0<b<1时，所以lnb<0，又φ(0)＝0，所以φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；当b ＝1时，lnb ＝0，所以函数φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以φ(x)≥φ(0)＝0，故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}．(16分)20. 解：(1) 设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，因为a 1＝2，解得d ＝23.(2分)所以S n ＝n （n ＋5）3.(4分)(2) ① 因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{ak n }的公比q>1. 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝a 2a 1＝43，此时ak 3＝2·⎝⎛⎭⎫432＝329.由329＝23(n ＋2)，解得n ＝103 N *，所以k 2>2.同理k 2>3.(6分)若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时ak n ＝2n .因为ak n ＝23(k n ＋2)，所以23(k n ＋2)＝2n ，即k n ＝3×2n －1－2.所以对任何正整数n ，ak n 是数列{a n }的第3·2n －1－2项，所以最小的公比q ＝2，所以k n ＝3·2n －1－2.(10分)② 因为ak n ＝2k n ＋43＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q>1)．所以当q>1且q ∈N 时，所有的k n ＝3q n －1－2均为正整数，适合题意；当q>2且q N 时，k n ＝3q n －1－2∈N 不全是正整数，不合题意，所以q 为正整数．而6S n >k n ＋1有解，所以2n （n ＋5）＋23q n>1有解．经检验，当q ＝2，q ＝3，q ＝4时，n ＝1都是2n （n ＋5）＋23q n >1的解，适合题意．(12分)下证当q ≥5时，2n （n ＋5）＋23q n >1无解，设b n ＝2n （n ＋5）＋23q n，则b n ＋1－b n ＝2[（1－q ）n 2＋（7－5q ）n ＋7－q]3q n ＋1，因为5q －72－2q <0，所以f(n)＝2[(1－q)n 2＋(7－5q)n ＋7－q]在n ∈N *上单调递减．因为f(1)<0，所以f(n)<0恒成立，所以b n ＋1－b n <0，所以b n ≤b 1恒成立．因为当q ≥5时，b 1<1，所以当q ≥5时，6S n >k n ＋1无解．(15分) 综上所述，q 的取值为2，3，4.(16分)2014届高三调研测试试卷(一)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A ．解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.(5分) 因为PC·PD ＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.(10分)B. 解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y.(5分) 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x′y′＝x ＋y 2·y －x2＝1，所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2.(10分)C. 解：直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝a 2，(5分)依题意，得|4a －2|42＋（－3）2＝|a|，解得a ＝－2或29.(10分)D. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.(10分)22. 解：(1) 由点A(1，2)在抛物线上，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x.(3分)设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(7分)(2) 另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.(10分) 23. 解：(1) 因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1，则(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)，共有2种情况，所以(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )共有2m 种不同的选择，所以A ＝2m .(5分)(2) 当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由(1)知有2m －1，所以共有2C 1m 2m －1种；当存在两个k 时，因为条件对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有≤4成立得这两组共有2C 2m 种，其余的由(1)知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种；…，依次类推得：B＝2C1m2m－1＋2C2m2m－2＋…＋2C m m＝2(3m－2m)．(10分)。

江苏省2014届高三高考模拟专家卷数学(2) Word版含答案

（2）假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？
23．已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明．
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(0，1]2．33．84．72%5．
20．（本题满分16分）
已知数列满足（n∈N*），且a2=6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设（n∈N*，c为非零常数），若数列{bn}是等差数列，记cn＝，Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求Sn．
数学附加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半径．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0, 2)，B(1，1)，C(1，3)．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1，其中B(1，1)在变换T作用下变为点B1(1，－1)．
化简，得a2＋c2－b2＝ac．
18．（本题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为－．
（1）求椭圆C的方程；高考资源网
（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．

江苏省淮安、南京、盐城市2014届高三第二次模拟考试数学试题(纯WORD版)

江苏省南京、盐城、淮安市2014届高三第二次模拟考试数学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ；（2）求证：BE ⊥平面P AC ．(第7题图)PBCDEA(第15题图)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．(第16题图) APMNBC(第17题图)已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值；（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．（1）若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；（2）设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21．（1）求矩阵A ；（2）若A⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．A EBC F D第21题A 图23．（本小题满分10分）设f (n )是定义在N *上的增函数，f (4)＝5，且满足：①任意n ∈N *，f (n )∈Z ；②任意m ，n ∈N *，有f (m )f (n )＝f (mn )＋f (m ＋n －1)．（1）求f (1)，f (2)，f (3)的值；（2）求f (n )的表达式．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分（2）因为平面P AB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面P AB ． ………………………………………8分因为AP ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A ．因为PB ⊥P A ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以P A ⊥平面PBC ． …………………………………………12分因为BE ⊂平面PBC ，所以P A ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ．因为PA ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)，因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17、解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AM sin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠P AB ＝30° …………………………14分解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤23．A PMNBC第17题图D当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分 MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2 ∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22． ∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1，3x 2)．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即 x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分在△AMN 中，由正弦定理知：MN sin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分 ∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18、（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c＝2，a 2c ＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分APMNBCF E因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 22．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+-=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。