(完整版)圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
圆锥曲线192条结论(清晰版本)
结论 13：点 M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
x
a
m
2
2
y
n2
b2
1上，过点 M
作椭圆的切线方程
为
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 14：点 M
（
x0
，
y
0
）在双曲线
x
a
m2
2
y
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
2
结论 15：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0 ny n px x0 2m．
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）外，过点 M
作椭圆的两条切
线，切点分别为
A，B
，则切点弦
AB
的直线方程为
x0 x a2
y0 y b2
a ）作
双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( a 2 ,0) ． m
结论 31：过抛物线 y 2 2 px（ p 0 ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，
B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．
第10讲：圆锥曲线的切线
第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。
（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。
（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。
②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。
A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。
高考数学二级结论总结
高考数学二级结论总结
以下是高考数学二级结论的总结，供参考：
1. 圆锥曲线的切线方程：若点P(x0,y0)在曲线y=f(x)上，则切线方程为y-
y0=f'(x0)(x-x0)。
2. 圆的切线判定定理：若直线上的任一点到圆心的距离等于半径，则直线是圆的切线。
3. 三角形的面积公式：若三角形ABC的面积为S，则S=1/2 absinC=1/2 acsinB=1/2 bcsinA。
4. 三角形的余弦定理：若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a^2=b^2+c^2-2bccosA。
5. 三角形的正弦定理：若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a/sinA=b/sinB=c/sinC。
6. 等差数列的通项公式：若等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式
为an=a1+(n-1)d。
7. 等差数列的求和公式：若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=n/2(a1+an)或Sn=na1+n(n-1)/2d。
8. 等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1，公比为q，则通项公式
为an=a1q^(n-1)。
9. 等比数列的求和公式：若等比数列的前n项和为Sn，则当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
希望这些总结能对您有所帮助。
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。
弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。
的切线方程为上一点：经过圆结论。
两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。
又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。
圆锥曲线中的切线问题
圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线的切线方程的推导过程
圆锥曲线的切线方程的推导过程圆锥曲线是双曲线的一类，可以分为直角双曲线和非直角双曲线。
关于圆锥曲线的切线方程推导过程，本文将具体讨论，以便让读者更好地了解圆锥曲线的切线方程的推导过程。
一、直角双曲线的切线方程的推导过程直角双曲线，是指双曲线的切线都是直线，其方程为$x^2-y^2=1$。
（1）求对称轴的斜率设直角双曲线的方程：$x^2-y^2=1$，因此其对称轴为$y=0$，因此其斜率为0。
（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$而根据文章开头给出的直角双曲线的对称轴斜率是0，因此直角双曲线的切线方程可以求得：$y-y_0=0(x-x_0)$即以 $P(x_0,y_0)$ 为切点的切线方程为 $y=y_0$二、非直角双曲线的切线方程的推导过程非直角双曲线是指双曲线的切线都是曲线，其方程为$x^2+y^2=1$。
（1）求对称轴的斜率设非直角双曲线的方程：$x^2+y^2=1$，因此其对称轴为$y=x$，因此其斜率为1。
（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$而根据文章开头给出的非直角双曲线的对称轴斜率是1，因此非直角双曲线的切线方程可以求得：$y-y_0=1(x-x_0)$即以 $P(x_0,y_0)$ 为切点的切线方程为 $y=x+y_0-x_0$三、推广上文分别讨论了直角双曲线和非直角双曲线的切线方程推导过程，针对更加一般的情况，即双曲线方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，其中$A,B,C,D,E,F$均为常数，圆锥曲线切线方程的推导过程如下：（1）求对称轴的斜率设双曲线的方程：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，因此其对称轴的斜率$m$可以求得：$m=frac{D}{2C}-frac{B}{2A}$（2）求双曲线的切线方程设双曲线$P(x_0,y_0)$，其切线斜率为$k$，那么其切线方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$联立以上两方程可以求得双曲线的切线方程：$y-y_0=left (frac{D}{2C}-frac{B}{2A} right )(x-x_0)$四、总结本文结合具体案例，详细讨论了圆锥曲线的切线方程推导过程。
圆锥曲线的切线方程求解方法总结
圆锥曲线的切线方程求解方法总结圆锥曲线是代数几何中的重要概念，指由一个平面与一个锥体相交而产生的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线，它们在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将总结圆锥曲线切线方程的求解方法，并以椭圆、抛物线和双曲线为例进行说明。
一、椭圆的切线方程求解方法椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状类似于椭圆形。
对于椭圆上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（其中a和b为椭圆的半长轴和半短轴），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对椭圆方程两边求导，得到2x/a^2 + 2y/b^2 * y' = 0。
然后将点P的坐标代入，得到x0/a^2 + y0/b^2 * y' = 0。
最后将此式变形为y' = -x0 * a^2 / (y0 * b^2)，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上的轨迹为OP。
设P点的坐标为(x0, y0)，则PF1和PF2的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。
又根据焦点和点到直线的距离公式，可得切线所在直线与轴的交点Q的坐标为(a^2/x0, b^2/y0)，进而得到切线方程的解析式。
二、抛物线的切线方程求解方法抛物线是一个平面上的开口曲线，其形状类似于抛物形。
对于抛物线上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解抛物线的切线方程。
设抛物线的标准方程为y^2 = 2px（其中p为抛物线的焦点到顶点的距离），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对抛物线方程两边求导，得到2yy' = 2p。
然后将点P的坐标代入，得到y0 * y' = p。
最后将此式变形为y' = p / y0，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解抛物线的切线方程。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线的切线与法线方程
圆锥曲线的切线与法线方程圆锥曲线是平面几何中的重要内容，其切线与法线方程的推导和应用也是数学学习中的重点之一。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
在圆锥曲线中，每一种曲线都有特定的切线与法线方程。
我们以圆锥曲线的切线与法线方程为例来详细讨论。
1. 圆的切线与法线方程对于圆而言，其切线与法线的性质具有特殊性。
以圆心为原点，半径为r的圆方程为$x^2+y^2=r^2$。
圆的切线与法线方程如下：（1）圆的切线方程：设切点坐标为$(x_0,y_0)$，切线斜率为k，则切线方程为$y=kx+b$，其中$b=y_0-kx_0$。
（2）圆的法线方程：切线斜率为k，法线斜率为$-\frac{1}{k}$，法线方程为$y=-\frac{1}{k}x+c$，其中$c=y_0+\frac{x_0}{k}$。
2. 椭圆的切线与法线方程椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的切线与法线方程与圆有所不同，需要根据椭圆的方程进行推导。
3. 双曲线的切线与法线方程双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的切线与法线方程也需要根据双曲线的方程进行推导。
4. 抛物线的切线与法线方程抛物线是平面上到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的轨迹。
抛物线的切线与法线方程与圆有所不同，同样需要根据抛物线的方程进行推导。
综上所述，圆锥曲线的切线与法线方程是平面几何中重要的内容，对于不同类型的曲线需要采用不同的方法进行推导。
熟练掌握圆锥曲线的切线与法线方程可以帮助我们更好地理解曲线的几何性质，为数学学习提供有效的帮助。
建议学生在学习中多进行练习，加深对圆锥曲线切线与法线方程的理解，提高解题能力。
有关一类圆锥曲线的切线和切点弦结论的推理和证明
知识导航圆锥曲线问题是高考考查的重点，其中有关圆锥曲线的切线和切点弦问题是比较常见的问题，此类问题主要考查直线与圆锥曲线相切的位置关系，与圆的切线问题较为相似.笔者总结了一些有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.结论1：若点P （x 0,y 0）在椭圆x 2a 2+y 2b2=1 上，则在点P 处的切线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1 .证明：因为点P 在椭圆上，所以x 02a 2+y 02b2=1 ，①则直线x 0x a 2+y 0yb2=1 必过点P ,所以直线x 0x a 2+y 0y b 2=1与椭圆x 2a 2+y 2b2=1 至少有一个公共点P ,假设直线l 与椭圆有不同于点P 的公共点Q (x 1,y 1)，则x 12a 2+y 12b2=1 ②，x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1 ③，由①②③得：(x 0-x 1)2a 2+(y 0-y 1)2b 2=0,当x 0=x 1,y 0=y 1,即点P 与点Q 重合时，直线l 与椭圆有唯一的公共点，此时直线l 是椭圆的切线，其方程为x 0x a 2+y 0y b2=1.这里采用了间接法，假设直线l 与椭圆还有其他的公共点，通过联立方程，从而证明出结论.此类问题具有普遍性，我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论2：若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，则在点P 处的切线的方程为x 0x 1a 2-y 0y1b2=1 .结论3：若点P (x 0,y 0)在抛物线y 2=2px 上，则在点P 处的切线的方程为y 0y =p (x +x 0).此类结论适用于解答有关圆锥曲线的切线问题，运用上述结论可以快速求出有关圆锥曲线的切线方程.相比较于常规方法：联立直线与圆锥曲线方程，通过判别式Δ判定直线与圆锥曲线相切，要简便很多.结论4：已知椭圆为x 2a 2+y 2b2=1，若点M （x 0,y 0）为椭圆外一点，由点M 引椭圆的两条切线，则切点弦直线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1.证明：设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)，因为点A ,B 在椭圆上，由结论1可得在A 点处的切线方程为x 1x a 2+y 1yb2=1，M 经过该切线，所以x 0x 1a 2+y 0y 1b2=1①，同理，在B 点处的切线为x 2x a 2+y 2yb2=1，所以x 0x 2a 2+y 0y 2b2=1②.由①②可得，过点A ，B 切点弦直线为x 0x a 2+y 0yb2=1.我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论5：若点M （x 0,y 0）为双曲线外一点，由点M 引双曲线的两条切线，则切点弦直线的方程为xx 0a 2-yy 0b2=1.结论6：若点M （x 0,y 0）为抛物线外一点，由M 点向抛物线引两条切线，则切点弦直线的方程为y 0y =p ()x +x 0.以上结论均可用证明椭圆的切点弦直线的方法来证明.例题：若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为F ()c ,0，点M 为直线x =a 2c上任意一点，由点M 向椭圆引两条切线，其切点为A ,B ，证明：直线AB 恒过焦点F .解：设点M æèçöø÷a 2c ,m ，由结论4可得切点弦直线AB的方程为x c +myb2=1，将F ()c ,0代入上述方程，满足方程，故AB 恒过焦点F .可见，运用有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论来解题，能简化解题的过程，有效提升解题的效率.高中数学题型多变，解法多样，同学们在日常学习中要注意总结解题的规律，将同类型的题目放在一起进行对比，归纳出一类问题的通性通法，这样当再次遇到同类问题的时候便能轻松应对.(作者单位:山东省淄博实验中学)张春宁35。
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文圆锥曲线是一类由一条直线和一个定点（焦点）生成的曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。
在数学和物理学中，圆锥曲线的切线方程和切点弦方程是非常重要的应用。
一、圆锥曲线的切线方程1.椭圆的切线方程椭圆是一个凹向两侧的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
如果椭圆上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$2.抛物线的切线方程抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若抛物线的标准方程是$y^2=4ax$其中a是抛物线的焦点到曲线的距离。
如果抛物线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{1}{2a}(x-x1)$3.双曲线的切线方程双曲线是一个开口向上和向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是双曲线的距焦点到曲线的距离。
如果双曲线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$二、圆锥曲线的切点弦方程1.椭圆的切点弦方程椭圆的切点弦方程表示的是通过椭圆上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果椭圆上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），椭圆的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$2.抛物线的切点弦方程抛物线的切点弦方程表示的是通过抛物线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果抛物线上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），抛物线的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$3.双曲线的切点弦方程双曲线的切点弦方程表示的是通过双曲线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程的证明
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
y0y = p(x + x0)
−
b2x0 a2y0
[2x
−
(x1
+
x2)]
化简后得
x0x a2
+
y0y b2
=
1
同理过双曲线外一点 P(x0, y0)向双曲线做两条切线 PA 和 PB，切
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
−
y0y b2
=
1
同理过抛物线外一点 P(x0, y0)向抛物线做两条切线 PA 和 PB，切
为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
+
y0y b2
=
1
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相减得
x(x1 − a2
x2
)
=
−
y(y1 − a2
y2)
−b2x a2y
=
(y1 (x1
− −
[2x
−
(x1
+
x2)]
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相加得
x(x1 + a2
x2)
=
y(y1 + a2
y2)
+
2
y1
+
圆锥曲线中两垂直切线的交点的轨迹方程.docx
圆锥曲线中两垂直切线的交点的轨迹方程圆锥曲线的两条垂直切线交点轨迹问题，有以下几个结论：结论1：椭圆x2a2+y2b2=1两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程是x2+y2=a2+b2证明：设M(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1①两条互相垂直的切线的交点，k为过M点所作这椭圆的切线的斜率，则切线的方程为y−y0=k(x−x0)②由①②可得b2x2+a2[k(x−x0)+y0]2−a2b2=0即(a2k2+b2)·x2+2a2k(y0−kx0)·x+a2[(y0−kx0)2−b2]=0③由题意可得：∆=0化简得：a2k2+b2−(y0−kx0)2=0整理得：(a2−x02)·k2+2x0y0·k+b2−y02=0当a2≠x02时，设此方程的二根为k1,k2，则k1·k2=−1，即b2−y02a2−x02=−1，故得x2+y2=a2+ b2.当a2=x02时，此时切线MT⊥x轴，切线MT′⊥y轴，即x0=a,y0=b，故点M的轨迹方程依然满足x2+y2=a2+b2综上所述，点M的轨迹是以原点为圆心，√a2+b2为半径的圆.结论2：双曲线x2a2−y2b2=1两条互相垂直的切线的交点的轨迹是x2+y2=a2−b2当a>b时，轨迹是以原点为圆心，√a2−b2为半径的圆；当a=b时，轨迹是原点（0，0）；当a<b时，轨迹不存在.证明：双曲线的两切线若垂直，则斜率必然存在，且不为零设M(x0,y0)为双曲线x2a2−y2b2=1①两条互相垂直的切线的交点，k为过M点所作这双曲线的切线的斜率，则切线的方程为y−y0=k(x−x0)②由①②可得b2x2−a2[k(x−x0)+y0]2−a2b2=0即(a2k2−b2)·x2+2a2k(y0−kx0)·x+a2[(y0−kx0)2+b2]=0③由题意可得：∆=0化简得：a2k2−b2−(y0−kx0)2=0整理得：(a2−x02)·k2+2x0y0·k−b2−y02=0设此方程的二根为k1,k2，则k1·k2=−1，即−b2−y02a2−x02=−1，故得x2+y2=a2−b2.当a>b时，轨迹是以原点为圆心，√a2−b2为半径的圆；当a=b时，轨迹是原点（0，0）；当a<b时，轨迹不存在.结论3：抛物线y2=2px两条互相垂直的切线的交点的轨迹是x=−p2.证明：抛物线的两切线若垂直，则斜率必然存在，且不为零设M(x0,y0)为双曲线y2=2px①两条互相垂直的切线的交点，1m为过M点所作这椭圆的切线的斜率，则切线的方程为x−x0=m(y−y0)②由①②可得y2−2pm·y+2p(my0−x0)=0由题意可得：∆=0化简得：4p2m2−4·2p(my0−x0)=0整理得：p2·m2−2py0·m+2px0=0设此方程的二根为1m1,1m2，则1m1·1m2=−1，即m1m2=−1∴2px0p2=−1，∴x0=−p22p=−p225届雅礼高三入学考试原题及解答：同类题及解答：。
圆锥曲线的切线方程讲义——以一道高考题为例(原创)
因为 P 是 PA, PB 的交点，故 ( x0 , y0 ) 满足：
x0x1 = 2 y1 + 2 y0 ………………① x0x2 = 2y2 + 2y0 ………………②
可知 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) 是方程： x0x = 2y + 2y0 的两组解
两边同时除以 a2b2 ：
yy0 b2
+
xx0 a2
=
y02 b2
+
x02 a2
因为点 ( x0 , y0 ) 在椭圆上，故
y02 b2
+
x02 a2
=1
所以： xx0 + yy0 = 1. a2 b2
三、应用
（2021 年全国高考乙卷数学（理））已知抛物线 C : x2 = 2 py ( p 0) 的焦点为 F ，且 F 与圆
简单规律： x2 → xx0 ， 2 px → px + px → px + px0 （特别注意： ( x0 , y0 ) 为切点）。
二、证明（以椭圆为例）
证明：椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 在 ( x0 ,
y0 ) 的切线方程为
xx0 a2
+
yy0 b2
=1.
证明： 方法、求导法（需要二元求导）
显然 y0 [−5, −3]
P 点在圆上得出
−( y0 + 6)2 + 21 −(−5 + 6)2 + 21 = 20
即： S
(完整版)圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
运用联想探究圆锥曲线的切线方程现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+。
那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点),(00y x M 切线方程为12020=+by y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆12222=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+byy a x x证明：（1）22221x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b'+=，得0202x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为200020()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。
（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b yy a x x 、12222=+b yy a x x 。
又因),(00y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、1202202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+byy a x x 。
评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a bya x 上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程12020=+byy a x x 表示直线的几何意义亦不同。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
(完整word版)圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用张生引例 给定圆222)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明：（1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--；（2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--。
高考链接3。
（2011江西）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是【答案】22154x y += （2013山东）过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 （ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=【答案】A过点)4,3(P 作圆1:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上,则ba 21+的最小值为 。
6411+过椭圆14922=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ∆的面积的最小值为 。
32已知椭圆)1(12222>>=+b a b y a x ，圆222:b y x O =+,过椭圆上任一与顶点不重合的点P 引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 与x 轴y 轴分别交于点N M ,，则=+2222||||OM b ON a 。
22b a 探究1 给定椭圆12222=+by a x 和点),(00y x P ，证明:（1）若点P 在椭圆上，则过点P 椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ； 别为B A ,，（2）若点P 在椭圆外，设过点P 所作椭圆的两条切线的切点分则直线AB 的方程为12020=+byy a x x 。
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运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2
22r y x =+上
一点),(00y x M 的切线方程为2
00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2
00r y y x x =+。
那么，在圆锥曲线中，又
将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点),(00y x M 切线方程为
1202
0=+b
y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122
22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b
y
y a x x
证明：（1）2222
1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b
'
+=，得020
2
x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20
0020
()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。
（2）设过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别
为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y
y a x x 、
12222=+b y
y a x x 。
又因),(0
0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120
2202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b
y
y a x x 。
评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b
y
a x 上的位置（在椭圆上或椭圆
外）的不同，同一方程12020=+b
y
y a x x 表示直线的几何意义亦不同。
联想二：（1）过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点),(00y x M 切线方程为
1202
0=-b
y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122
22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b
y
y a x x 。
（证明同上）
联想三：（1）过圆锥曲线2
2
0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点
),(00y x M 的切线方程为00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=；（2）当
),(00y x M 在圆锥曲线220Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）的外部时，过M
引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++= 证明：（1）两边对x 求导，得220Ax Cyy D Ey ''+++=
得0
0022x x Ax D y Cy E
=+'
=-
+，由点斜式得切线方程为00002()2Ax D
y y x x Cy E +-=-
-+ 化简得22
00000022220Cy y Cy Ey Ey Ax x Dx Ax Dx -+-++--=………………….① 因为22
00000Ax Cy Dx Ey F ++++=………………………………………………… ②
由①－②×2可求得切线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D E F ++++++= （2）同联想一（2）可证。
结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点),(00y x M 的切线方程为：把原方程中的2
x 用0x x 代换，2
y 用0y y 代换。
若原方程中含有x 或y 的一次项，把x 用
02x x +代换，y 用0
2
y y +代换，得到的方程即为过该点的切线方程。
当点),(00y x M 在曲线外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++= 通过以上联想可得出以下几个推论：
推论1：（1）过抛物线)0(22
>=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为)(00x x p y y +=；（2）过抛物线)0(22>=p px y 的外部一点),(00y x M 引两条切
线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +=
推论2：（1）过抛物线)0(22
>-=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为)(00x x p y y +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p px y 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +-=。
推论3：（1）过抛物线)0(22
>=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。
推论4：（1）过抛物线)0(22
>-=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。
在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。