41.勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理（基础）

撰稿：康红梅 责编：吴婷婷

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条

边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

【高清课堂 勾股定理 知识要点】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线

段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解

决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

222a c b =-，222b c a =-， ()2

22c a b ab =+-.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以. 要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2. 用于解决带有平方关系的证明问题；

3. 利用勾股定理，作出长为

的线段. 【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用

1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；

（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．

【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．

【答案与解析】

解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，

所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．

（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，

所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是

斜边，再决定用勾股原式还是变式．

举一反三：

【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；

（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．

【答案】

解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，

∴ 2222325a c b =-=-；

（2）设3a k =，5c k =．

∵ ∠C ＝90°，b ＝32，

∴ 222

a b c +=．

即222(3)32(5)k k +=．

解得k ＝8．

∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．

类型二、勾股定理的证明

2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，

试说明222AN BN AC -=．

【答案与解析】

解：因为MN ⊥AB ，所以222AN MN AM +=，222BN MN MB +=，

所以2222AN BN AM BM -=-．

因为AM 是中线，所以MC ＝MB ．

又因为∠C ＝90°，所以在Rt △AMC 中，222AM MC AC -=，

所以222AN BN AC -=．

【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若

没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明． 类型三、利用勾股定理作长度为n 的线段 3、作长为、、的线段. 【思路点拨】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是

，类似地可作.

【答案与解析】

作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；

（2）作以AB 为一条直角边，另一直角边为1的Rt

，斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、

的长度就是、、、.

【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一般习惯用国际标准的单位，如1cm 、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可. 类型四、利用勾股定理解决实际问题

4、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？

【答案与解析】

解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．

则在Rt △BCD 中，222BD DC BC =+， 所以2222161220BD DC BC =+=+=(cm )．

答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．

【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．

举一反三：

【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？

【答案】

解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，

∴ 22222

512169AB BC AC =+=+=．

∴ 16913AB ==(m )．

∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．

∴ 旗杆折断前的高度为18m ．

【高清课堂 勾股定理 例3】

5、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6