斐波那契数列
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a) - =( )(n>=1,n属于N)
b) = + (n属于N)
c) - = (n>=1,n属于N)
d) = + (n>=1,m,n属于N)
e) =1 (n>=1,n属于N)
f) - = (m>n>=1)
g) - =( )(n>=2)
h) }有极限且等于黄金分割率
四、斐波那契数列的应用
人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……这一切向我们展示了数学瑰丽的一面。对这些自然中的许多现象的解释，却都能归结到斐波那契数列上来。所以斐波那契数列在自然现象的研究中是不可忽略的，但是在数学理论上，斐波那契数列也有许多有趣的性质，长久地吸引着数学家们。以下介绍了斐波那契数列在自然和数学中的一些应用。
4.斐波那契数列与杨辉三角
若数列 为斐波那契数列，记 则有：
证明：如图1，是杨辉三角与斐波那契数列的关系；首先讨论是列的前8项，
则有：
……
由上面的等式可猜想：
下面我们用数学归纳法证明猜想成立。
当 是结论显然成立。
当 时结论成立。
首先我们讨论 为偶数的时候，由递推关系有：
这正好表明，当 为偶数时结论成立。
1.斐波那契数列与花朵的花瓣数
花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。
2.斐波那契数列与向日葵种子排列方式
向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数。
二、斐波那契数列的提出
意大利数学家斐波那契在《算盘全集》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同）每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。假定这些兔子都不死亡，那么从一对刚出生的兔子开始，一年只有会有多少对兔子呢？即：第一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2对兔子。第四个月：最初的一对兔子又生一堆兔子，共成为2+1=3对兔子。后人将这个兔子数列成为斐波那契数列，也就是把1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。
2)孙王杰;张若东;潘淑霞.生物学中的斐波那契数列[J].吉林医药学院学报,2006,01(27)：
3)曹汝成．组合数学第二版．广州：华南理工大学出版社．2012．7 ；
4)斐波那契．(美)西格尔英译．计算之书[M]．纪志刚，等译．北京：科学出版社．2007 ；
5)张维忠．数学课程与数学研究[M]．杭州：浙江大学出版社．2008．8；
3. 斐波那契数列与排列组合
只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5种方法，故F4=5以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……
三、斐波那契数列的定义和性质
1.斐波那契数列的定义
定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列。
表达式：F0=1,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2
通项公式：
2．斐波那契数列通项公式的证明
下面是其通项公式的几种证明方法：
方法一（利用特征方程）
斐波那契数列
姓名：李冬冬 学号：***********
摘要：自从斐波那契数列被发现以后，众多数学爱好者通过对它的定义和性质的研究,得出了一些有趣的性质和结论。本文主要介绍斐波那契数列的性质和在一些领域的应用，从而可以更深入地了解斐波那契数列。
关键词：斐波那契数列定义 性质 应用
正文：
一、斐波那契
数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契数列的发现者，籍贯大概是比萨。他于1202年，撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。据史料记载，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲在斐波那契小的时候被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻的地点相当于今日的阿尔及利亚地区，斐波那契因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
同理可以证明当 为奇数时结论成立。
结论：
斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的。它是一门科学，同时也是一种语言，一种艺术。总而言之，数学与自然、生活相伴相随。
参考源自文库献：
1)李美玲.趣谈斐波那契数列[J].科学与研究,2008,8：42；
线性递推数列的特征方程为：
解得： ，
则
∵
∴ 解得： ；
∴
方法二（黄金分割法）：
因为 , 是方程 的两根（其中 黄金分割比）。 得到 ,再左右同时乘以 即得到：
①
②
由①,②容易得到:
现在我们令 得：
当然斐波那契数列通项公式的证明有很多种，本文只是介绍了其中的三种。
3.斐波那契数列性质
在此简单列举了一些斐波那契数列的性质，不过应当重点注意斐波那契数列与黄金比例的关系。由本文所用的推导方法和所列举的性质而言，斐波那契数列与黄金分割实在有着紧密的联系。
b) = + (n属于N)
c) - = (n>=1,n属于N)
d) = + (n>=1,m,n属于N)
e) =1 (n>=1,n属于N)
f) - = (m>n>=1)
g) - =( )(n>=2)
h) }有极限且等于黄金分割率
四、斐波那契数列的应用
人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……这一切向我们展示了数学瑰丽的一面。对这些自然中的许多现象的解释，却都能归结到斐波那契数列上来。所以斐波那契数列在自然现象的研究中是不可忽略的，但是在数学理论上，斐波那契数列也有许多有趣的性质，长久地吸引着数学家们。以下介绍了斐波那契数列在自然和数学中的一些应用。
4.斐波那契数列与杨辉三角
若数列 为斐波那契数列，记 则有：
证明：如图1，是杨辉三角与斐波那契数列的关系；首先讨论是列的前8项，
则有：
……
由上面的等式可猜想：
下面我们用数学归纳法证明猜想成立。
当 是结论显然成立。
当 时结论成立。
首先我们讨论 为偶数的时候，由递推关系有：
这正好表明，当 为偶数时结论成立。
1.斐波那契数列与花朵的花瓣数
花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。
2.斐波那契数列与向日葵种子排列方式
向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数。
二、斐波那契数列的提出
意大利数学家斐波那契在《算盘全集》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同）每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。假定这些兔子都不死亡，那么从一对刚出生的兔子开始，一年只有会有多少对兔子呢？即：第一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2对兔子。第四个月：最初的一对兔子又生一堆兔子，共成为2+1=3对兔子。后人将这个兔子数列成为斐波那契数列，也就是把1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。
2)孙王杰;张若东;潘淑霞.生物学中的斐波那契数列[J].吉林医药学院学报,2006,01(27)：
3)曹汝成．组合数学第二版．广州：华南理工大学出版社．2012．7 ；
4)斐波那契．(美)西格尔英译．计算之书[M]．纪志刚，等译．北京：科学出版社．2007 ；
5)张维忠．数学课程与数学研究[M]．杭州：浙江大学出版社．2008．8；
3. 斐波那契数列与排列组合
只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5种方法，故F4=5以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……
三、斐波那契数列的定义和性质
1.斐波那契数列的定义
定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列。
表达式：F0=1,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2
通项公式：
2．斐波那契数列通项公式的证明
下面是其通项公式的几种证明方法：
方法一（利用特征方程）
斐波那契数列
姓名：李冬冬 学号：***********
摘要：自从斐波那契数列被发现以后，众多数学爱好者通过对它的定义和性质的研究,得出了一些有趣的性质和结论。本文主要介绍斐波那契数列的性质和在一些领域的应用，从而可以更深入地了解斐波那契数列。
关键词：斐波那契数列定义 性质 应用
正文：
一、斐波那契
数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契数列的发现者，籍贯大概是比萨。他于1202年，撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。据史料记载，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲在斐波那契小的时候被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻的地点相当于今日的阿尔及利亚地区，斐波那契因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
同理可以证明当 为奇数时结论成立。
结论：
斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的。它是一门科学，同时也是一种语言，一种艺术。总而言之，数学与自然、生活相伴相随。
参考源自文库献：
1)李美玲.趣谈斐波那契数列[J].科学与研究,2008,8：42；
线性递推数列的特征方程为：
解得： ，
则
∵
∴ 解得： ；
∴
方法二（黄金分割法）：
因为 , 是方程 的两根（其中 黄金分割比）。 得到 ,再左右同时乘以 即得到：
①
②
由①,②容易得到:
现在我们令 得：
当然斐波那契数列通项公式的证明有很多种，本文只是介绍了其中的三种。
3.斐波那契数列性质
在此简单列举了一些斐波那契数列的性质，不过应当重点注意斐波那契数列与黄金比例的关系。由本文所用的推导方法和所列举的性质而言，斐波那契数列与黄金分割实在有着紧密的联系。