(合集)西南交通大学2005-2013研究生数值分析试题

0.1 1.004837 1.000000 0.004837
0.2 1.018731 1.010000 0.008731
0.3 1.070818 1.029000 0.041818
0.4 1.070320 1.056100 0.014220
0.5 1.106531 1.090490 0.016041
0
1
7
1 1 0 1
h
,
计算 A 1 , A 2 , A

,cond1(A)
2 ' [ f（ 0） f ' (h)] 当 a 取何
(3) 数值求积公式:
0 f ( x)dx h[ f (0) f (h)] / 2 ah
值时代数精度最高?是多少次?
1 a a (4) 设 A= a 1 a ,计算:使线性方程组 AX=b 的 Jacobi 迭代法收敛的 a 范围. a a 1
要求: (1)写出 L 阵及 D 阵 (2)写出解方程的顺推及逆推的表达式及计算结果. 4．(10 分) 用 Romberg 公式计算积分：
0 sin x
1
2
dx ,要求误差小于 0.00005。
n y' y 0 2h 5. (10 分)用梯形方法解初值问题 。证明其近似解为 y n ，并证明 2h y (0) 1
5 3

__Hale Waihona Puke Baidu__.
, f [ 3, 2, 1,1, 2,3]
.
4. 为使求积公式

1
1
f ( x)dx A1 f (
3 3 ) A2 f (0) A3 f ( ) 的代数精度尽量高，应使 3 3
，此时公式具有 次的代数精度。 .
A1
5.
， A2
， A3
n 阶方阵 A 的谱半径 ( A) 与它的任意一种范数 A 的关系是
（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的； （2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算 x1 , x2 , 计算结果 2. 取到小数点后 4 位） 。 给定线性方程组
x1 0.4 x2 0.4 x3 1 0.4 x1 x2 0.8 x3 2 0.4 x 0.8 x x 3 1 2 3
当 h 0 时,它收敛于原初值问题的准确解 y e
x
。
6． (10 分)设 f ( x) C[ a, b], 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是区间[a,b]上的线性无关的连续函数, Ф=span{ 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) },证明: f ( x) 在Ф中的最佳平方逼近函数存 在且唯一. 7. (10 分) 设 A 为严格对角占优阵,求证解 Ax=b 的 SOR 迭代法收敛. 8. (10 分) 设有序列 x k , x k x , 存在 c, c 1 ,满足 x k 1 x c k x k x ,而且
2． (10 分) 用 Newton 法求方程:
e x 10 x 2 0 的根,要求误差不超过
10 5
2 1 1 x1 4 3. (10 分)用改进平方根法求解线性方程组 1 2 3 x 2 5 1 3 1 x3 6
* * *


k
lim k 0 ,则由 x k
2 xk xk 2 xk 1 确定的 x k 对充分大的 k 都存在,且有 x k 2 2 x k 1 x k
k
lim
xk x * xk x *
0
期末考试试卷（A 卷）
2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析
4 2 ，则 2 1
L _______________， U ______________；若使用克劳特消元法解 AX B ，则 u11 ____；若使用平方根方法解 AX B ，则 l11 与 u11 的大小关系为_____（选填：>，
<，=，不一定） 。 8. 以步长为 1 的二阶泰勒级数法求解初值问题 ___________________________.
2． (10 分) 用 Newton 法求方程:
e x 10 x 2 0 的根,要求误差不超过
10 5
2 1 1 x1 4 3. (10 分)用改进平方根法求解线性方程组 1 2 3 x 2 5 1 3 1 x3 6
6. (10 分)设 f(x)＝lnx,x∈[1,2]，试求出 f 在Φ=span{1,x}中的最佳平方逼近多项式 * P1 .
6 2 1 7. (10 分) 用反幂法求矩阵 2 3 1 的最接近于 6 的特征值及对应的特征向量(只要求 1 1 1
写出求解的步骤,不用具体计算数值).
（1） 分别写出用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式； （2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。 3. 已知函数 y f ( x ) 在如下节点处的函数值
x y
-1 1
0 4
1 3
2 0
（1） 建立以上数据的差分表； （2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式 P2 ( x ) ，并计算 y(1.1) 的近似值； （3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数） 。 4. 已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。 x -1 0 1 2 y 1 2 5 0
考试时间：120 分钟
学号
题号 得分 一 二
姓名
三 1 2 3
年级专业
4 5 6 四 总分
评阅人
一、判断题（每小题 2 分，共 10 分）
1000
1.
用计算机求
n
n 1
1
1000
时， 应按照 n 从小到大的顺序相加。
（
）
2. 3. 4. 5.
为了减少误差,应将表达式 2001 1999 改写为
y x y 的数值解，其迭代公式为 y(0) 1
三、计算题（第 1～3、6 小题每题 8 分，第 4、5 小题每题 7 分，共 46 分） 1. 以 x0 2 为初值用牛顿迭代法求方程 f ( x) x 3 x 1 0 在区间 (1, 2) 内的根，要求
3
n y' y 0 2h 8. (10 分)用梯形方法解初值问题 。证明其近似解为 y n ，并证明 2h y (0) 1
当 h 0 时,它收敛于原初值问题的准确解 y e
x
。
(B) ⒈ (30 分)简算：
7 4
B
0 1 7
⑴ 设 f(x)= x x 3 x 1 ，计算：f[0,1],f[ 2 ,2 , ,2 ] ⑵ 设A为
西南交通大学 2005-2006 学年(一)学期考试试卷 课程 数值分析 学号 班级 姓名 成绩
(注:力学系做 A 套,数学系做 B 套) （A） (30 分)简算：
⒈
A
⑴ 设 f(x)= x x 3 x 1 ，计算：f[0,1],f[ 2 ,2 , ,2 ] ⑵ 设A为
7
4
(5) 用 Euler 法求下述初值问题在区间[0，0.5]上的数值解见下表 (取步长 h=0.1)，
dy y x 1 dx y(0) 1
这里为 y k 数值解， y( x k ) 为准确解，问第三次迭代时局部截断误差和整体截断 误差的为何？
xk y( x k ) yk y( x k ) y k
1 0 1 0 2. 设 A 0 2 1 , x 5 , 则 A 1 _____， x 2 ______， Ax 1 3 0 1
3. 已知 f ( x) 2 x 4 x 5 x, 则 f [ 1,1, 0]
0.1 1.004837 1.000000 0.004837
0.2 1.018731 1.010000 0.008731
0.3 1.070818 1.029000 0.041818
0.4 1.070320 1.056100 0.014220
0.5 1.106531 1.090490 0.016041
( k 1)
6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X 生的向量序列 X
MX ( k ) N (k 0,1, 2,) 产
.

(k )
收敛的充分必要条件是
7. 使用消元法解线性方程组 AX B 时， 系数矩阵 A 可以分解为下三角矩阵 L 和上三角矩 阵 U 的乘积，即 A LU . 若采用高斯消元法解 AX B ，其中 A
2 进行计算。 （ 2001 1999
）
用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高， 数值解越精确。 （ ） 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有 关， 与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空 2 分，共 36 分） 1. 已知数 a 的有效数为 0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.
1 1 0 1
h
,
计算 A 1 , A 2 , A

,cond1(A)
2 ' [ f（ 0） f ' (h)] 当 a 取何
(3) 数值求积公式:
0 f ( x)dx h[ f (0) f (h)] / 2 ah
值时代数精度最高?是多少次?
1 a a (5) 设 A= a 1 a ,计算:使线性方程组 AX=b 的 Jacobi 迭代法收敛的 a 范围. a a 1
(0 x 1, h 0.2)
四、 （8 分）已知 n+1 个数据点 ( xi , yi )(i 0,1, 2, , n) ，请用多种方法建立这些数据点之间 的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
期末考试答案及评分标准（A 卷）
2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析
一、判断题： （每小题 2 分，共 10 分） 1. × 2. √ 3. × 4. × 二、填空题： （每空 2 分，共 36 分） 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5. ×
0.005 或 0.5 102 ， 0.5
5, 26,15 0, 2 1, 0,1,3
( A) A (M ) 1
1 0 1 , 4 2 , 1, 1 0 2 2
(5) 用 Euler 法求下述初值问题在区间[0，0.5]上的数值解见下表 (取步长 h=0.1)，
dy y x 1 dx y(0) 1
这里为 y k 数值解， y( x k ) 为准确解，问第三次迭代时局部截断误差和整体截断 误差的为何？
xk y( x k ) yk y( x k ) y k
要求: (1)写出 L 阵及 D 阵 (2)写出解方程的顺推及逆推的表达式及计算结果. 4．(10 分) 用 Romberg 公式计算积分：
0 sin x
1
2
dx ,要求误差小于 0.00005。
5. (10 分) 利用下述正弦积分数据表，计算：当 Si(x)=0.45 时，x 的值。 X Si(x) 0 0 0.2 0.19956 0.4 0.39646 0.6 0.58813
5.
已知函数 y f ( x ) 在以下节点处的函数值，利用差商表求 f (3) 和 f (3) 的近似值。 x y 1 2 3 1 4 8
6.
写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列 常微分方程的数值解。
y x 2 y 2 y(0) 0