效用函数

基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
从原点可引出任意多条直 线，因此同一偏好映照会 有多个不同的效用函数。 正是如此，如何保序的实 函数都可以是效用函数。
d3 d2 d1
L
例如，U=xy和U=100+xy都代表同一偏好映照。
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
b a I P x1 P x1 I , x1 1 1 a ab P 1 a b I P2 x2 P2 x2 I , x2 b a b P2
P x1 P2 x2 I 1
n
构造拉格朗日式 L U ( x1 , x2 ,..., xn ) ( I Pi xi )
i 1
L U Pi MU i Pi 0, (i 1,2,..., n) xi xi
n L I Pi xi 0 i 1
效用最大化条件的数学证明
Px 第二章中消费选择的最 优条件 MRSxy 可改写为 Py MU x Px MU x MU y ＝ ,或 MU y Py Px Py
这一结论可以推广到 n维消费空间 MU n MU1 MU 2 ＝ ＝ ＝ ...... P P2 Pn 1
边际效用和边际替代率
（The Marginal Utility and Marginal Rate of Substitution）
消费者花在各商品和服务上的最后一元
钱所得到的边际效用全部相等
这一结论可以推广到 n维消费空间 MU n MU1 MU 2 ＝ ＝ ＝ ...... P P2 Pn 1
效用最大化条件的数学证明
max U ( x1 , x2 ,..., xn ) s.t.
Px
i 1
n
i i
I , xi 0 (i 1,2,...,n )
量。 人与人之间的福利状态是很难精确比较

谁能说得清楚你比我快乐2倍究竟是什么意思？
经济学课效用是数学课效用的n倍是什么意思？
自己比也不容易

基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
20世纪初，经济学家发现：

效用的基数性是多余的，消费理论完全可以建 立在序数效用的基础上
MU i Pi dxn dU U dx1 U dx2 U dxn dx1 dx2 ... MU1 MU 2 ... MU n dI x1 dI x2 dI xn dI dI dI dI dxn dx1 dx2 P P2 ... Pn 1 dI dI dI P dx1 P2 dx2 ... Pn dxn ( 1 ) dI dI ( ) dI
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
d3 d2 d1
L
根据构造法，函数U保持 了所有消费组合的次序。
类似地，U( x i , y i )＝U( x j , y j ), 当且仅当( x i , y i )～( x j , y j )。 所以，所构造的效用函数与给定的偏好映照是等价的。
（The Marginal Utility and Marginal Rate of Substitution）

边 际 效 用 （ Marginal Utility）是指每增加一 单位某种商品的消费 所增加的满足程度 如果效用函数是可导 的
U MU x x U MU x x

边际效用和边际Fra Baidu bibliotek代率
第3章
效用函数
（Utility Function)
偏好理论的讨论比较抽象，效用理论是分
析偏好理论的一种简便方法
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
效用（Utility）是满意或幸福的同义词 19世纪经济学家认为


人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中 所获得的效用来度量 效用可以精确计量与加总 其大小可以用1,2,...表示
d3 d2 d1
L
从给定的偏好映照出发 构造一个效用函数。 从原点引一条直线 L与各无差异曲线相交， 这些交点到原点的距离 分别为 d1、d 2、d 3等等。
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
定义一个函数 U(x,y) ， 使 得第一象限上任意一点的 函数值等于其所在无差异 曲线与直线L的交点到原 点的距离。 例如，U(x1,y1)=d1
MU i Pi MU n MU1 MU 2 ... P P2 Pn 1
L U Pi MU i Pi 0, (i 1,2,..., n) xi xi
n L I Pi xi 0 i 1
效用最大化条件的数学证明
dU 是货币的边际效用，即 ＝ dI
d3 d2 d1
L
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
d3 d2 d1
L
根据构造法，函数U保持 了所有消费组合的次序。
具体来说， U ( xi , yi ) U ( x j , y j ),当且仅当 d i d j , 即( xi , yi )所在无差异曲线高于 ( x j , y j )所在无差异曲线， 即( xi , yi ) ( x j , y j )。
要证明序数效用函数与 偏好映照是描绘同一偏 好 不同表达形式，必须证 明 U ( x, y ) U ( x, y)，当且仅当 ( x, y ) ( x, y); U ( x, y ) U ( x, y)，当且仅当 ( x, y ) ( x, y) ～
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
从原点可引出任意多条直 线，因此同一偏好映照会 L d3 有多个不同的效用函数。 d2 序数效用函数可以看作为 正是如此，如何保序的实 d1 保持各无差异曲线排序不 函数都可以是效用函数。 变的指数值。 只要保持次序不变，指数 值的大小无关紧要。 例如，U=xy和U=100+xy都代表同一偏好映照。
效用最大化条件的数学证明
a 例子 已知某消费者的收入为: I，其效用函数为U x1 x b，其中 2
x1和x 2 是两种商品的消费量，a 0, b 0为常数。如果商品价格 分别为P1和P2，求该消费者对两种商品的需求函数。
根据最优化条件
b b ax1a 1 x2 bx1a x2 1 即aP2 x2 bP x1 1 P P2 1
可以证明两商品之间的边际替代率就是它
们的边际效用之比
dU MU x dx MU y dy 0 MU x dy MRS xy dx MU y
边际效用和边际替代率
（The Marginal Utility and Marginal Rate of Substitution）
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
用U ( x, y )表示某消费者的序数效 用函数 , 那么， 消费者认为消费组合 ( x, y )比( x, y)更好，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y); 消费者认为 ( x, y )与( x, y)不相上下，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y)
对满意程度的这种度量叫做基数效用论
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
基数效用论若站得住脚，许多重大经济问
题，特别是涉及福利和公平的问题，便迎
刃而解了
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
可惜，一个人消费某种商品的效用很难度
所谓序数效用是以效用的大小次序来表示
满意程度的高低，而效用值大小本身没有 任何意义


效用的差无意义 比较人与人之间的效用值无意义
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
序数效用与偏好映照是同等的概念
序数效用函数与偏好映照的对应关系：

给定偏好映照，构造序数效用函数 给定效用函数，也可以构造出偏好映照
（The Marginal Utility and Marginal Rate of Substitution）
边际效用递减规律

假定消费者对其他商品的消费保持不变，则消
费者从连续消费某一特定商品中所得到的满足
程度将随着这种商品消费量的增加而递减。
边际效用和边际替代率
（The Marginal Utility and Marginal Rate of Substitution）
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
给定一个效用函数， 也可以构造出相对 应的偏好映照。 以 U(x,y)=xy 为 例 ， 给定任何实数d>0， 我们总可以画出 xy=d 的 所 有 点 的 集 合，于是便得到一 个偏好映照。
xy=2 xy=1
边际效用和边际替代率