2017年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年山东，理1，5分】设函数24x y -=的定义域为A ，函数)1ln(x y -=的定义域为B ，则A B （ ）（A ）()1,2 （B ）](1,2 （C ）()2,1- （D ）[2,1)- 【答案】D 【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，={|22}{|1}{|21}AB x x x x x x -≤≤<=-≤<，故选D ． （2）【2017年山东，理2，5分】已知R a ∈，i 是虚数单位，若3i z a =+，4z z ⋅=，则a =（ ） （A ）1或1- （B ）7或7- （C ）3- （D ）3 【答案】A【解析】由3i,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A ．（3）【2017年山东，理3，5分】已知命题p ：0x ∀>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） （A ）p q ∧ （B ）p q ∧ （C ）p q ∧ （D ）p q ∧ 【答案】B 【解析】由0x >时11,ln(1)x x +>+有意义，知p 是真命题，由222221,21;12,(1)(2)>>->--<-可知q 是假命题，即p ，q ⌝均是真命题，故选B ．（4）【2017年山东，理4，5分】已知x 、y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】由30+5030x y 3x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350++=x y 与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为 3245z =-+⨯=，故选C ．（5）【2017年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+，已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，4b =，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+=，故选C ． （6）【2017年山东，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（ ）（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0 【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>=；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，故选D ． （7）【2017年山东，理7，5分】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）（A ）21log ()2a b a a b b +<<+（B ）21log ()2a b a b a b<+<+（C ）21log ()2a b a a b b +<+<（D ）21log ()2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 21,2a ba b a b ab ><<∴<+>=12112log ()a b a a b a a b b b +>+>+⇒+>+，故选B ．（8）【2017年山东，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79【答案】C【解析】125425989C C =⨯，故选C ．（9）【2017年山东，理9，5分】在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A ．（10）【2017年山东，理10，5分】已知当[]0,1x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C ）()0,223,⎤⎡+∞⎦⎣ （D ）([)0,23,⎤+∞⎦ 【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥，2(1)y mx =-单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥，故选B ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2017年山东，理11，5分】已知(13)n x +的展开式中含有2x 的系数是54，则n = ． 【答案】4【解析】()1C 3C 3r r r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）【2017年山东，理12，5分】已知1e 、2e 是互相垂直的单位向量，若123e e -与12e e λ+的夹角为60︒，则实数λ的值是 ．【答案】33【解析】()()2212121121223333e e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-，()2121233e e e e -=-2211223232e e e e =-⋅+=，()222221212112221e e e e e e e e λλλλλ+=+=+⋅+=+，∴22321cos601λλλ-=⨯+⨯=+，解得：33λ=． （13）【2017年山东，理13，5分】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如 图，则该几何体的体积为 ． 【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+．（14）【2017年山东，理14，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支与焦点为F 的抛物线22x py =（0p >）交于A 、B 两点，若4AF BF OF ＋＝，则该双曲线的渐近线方程 为 ．【答案】22y x =±【解析】||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=，因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以2222A B pb y y p a b a+==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±．（15）【2017年山东，理15，5分】若函数()xe f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质。

下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ． ①()2x f x -= ②()3x f x -= ③3()f x x = ④2()2f x x =+ 【答案】①④【解析】①()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质；③()3x x e f x e x =⋅，令()3x g x e x =⋅，则()()32232x x x g x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2017年山东，理16，12分】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（1）求ω；（2）将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值． 解：（1）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以31()sin cos cos 22f x x x x ωωω=--33sin cos 22x x ωω=-133(sin cos )22x x ωω=-3(sin )3x πω=-，由题设知()06f π=，所以63k ωπππ==，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=． （2）由（1）得()3sin(2)3f x x π=-，所以()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-．因为3[,]44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-．（17）【2017年山东，理17，12分】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点．（1）设P 是GE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（2）当3AB ＝，2AD ＝时，求二面角E AG C --的大小． 解：（1）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，因此30CBP ∠=︒．（2）解法一：取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=．取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．EM AG ⊥，CM AG ⊥， EMC ∠为所求二面角的平面角．1AM =，13123EM CM ==-=． 在BEC ∆中，120EBC ∠=︒，由余弦定理22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=， 所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，(1,3,3)G ，(1,3,0)C -， 故(2,0,3)AE =-，(1,3,0)AG =，(2,0,3)CG =，设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量．由0m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111230,30,x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取12z =，得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)m -．设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．由0n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得222230,230,x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)n =--．所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅．因此所求的角为60︒． （18）【2017年山东，理18，12分】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；（2）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX ．解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ，则485105()18C P M C ==．（2）由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4．则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C ===14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为X0 1 2 3 4P142 521 1021 521 142X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==1510510123424221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（19）【2017年山东，理19，12分】已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()11,1P x ，()22,2P x ，…，()11,1n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T ．解：（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >．由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++……+n b 101325272-=⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯① 又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯② ①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2212n n n ---+-+⨯-，(21)212n n n T -⨯+∴=． （20）【2017年山东，理20，13分】已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数．（1）求曲线()f x 在点()(),f ππ处的切线方程；（2）令()()()h x g x af x =-（a R ∈），讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解：（1）由题意()22f ππ=-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--． （2）由题意得()()()22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增．所以当0x >时，()m x 单调递减，当0x >时，()0m x <1) 当0a ≤时，xe a -0>，当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--； 2) 当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--，由()0h x '=，得1ln xa =，2=0x ，①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x ae e h x '->>，()h x 单调递增．所以当ln x a =时()h x 取得极大值．极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，、()()0,h x h x '>单调递增；所以当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值．极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦．综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值， 极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦．（21）【2017年山东，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的离心率为22，焦距为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，动直线l：1y k x =E 于A 、B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =M 是线段OC 延长线上一点，且23MC AB ︰＝︰，⊙M 的半径为MC ，OS 、OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S 、T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．解：（1）由题意知c e a ==，22c =，所以1a b ==，因此椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y，联立方程2211,2xy y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且()12122111221x x x x k +=-+，所以121AB x =-=．由题意知12k k =，所以21k =，由此直线OC的方程为14y x k =．联立方程2211,2,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC == 由题意可知 1sin 21SOT rOC r OCr ∠==++，而1OC r令2112t k =+，则()11,0,1t t >∈，因此1OC r ===≥，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时12k =±，所以 1sin 22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤，所以SOT ∠最大值为3π． 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =．。