最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
最优估计之线性离散系统卡尔曼滤波
T E~ xk|k 1vk 0， Evk ~ xkT|k 1 0
T E~ xk | k ~ xkT|k [ I K k H k ]Pk |k 1[ I K k H k ]T K k Rk K k
6.2 直观推导法
推导基本步骤：预测，校正。
•
预测/时间更新(利用系统方程对状态及观测做一步预测)：
ˆk |k 1 k ,k 1 x ˆk 1|k 1 E[ wk 1 ] 0 x
KF公式1： 状态预测 KF公式2： 观测预测
E[vk ] 0
ˆ k |k 1 ˆk |k 1 H k x z
T T E{[I K k H k ]~ xk |k 1 ~ xkT|k 1[ I K k H k ]T K k vk vk Kk K v ~ x T [ I K H ]T [ I K H ]~ x vT K T } k k k |k 1 k k k k k |k 1 k k
最优估计
第6章 线性离散系统卡尔曼滤波
线性离散系统卡尔曼滤波器的推导 带有控制项和测量系统偏差时的卡尔曼滤波器 系统干扰和测量噪声相关时的卡尔曼滤波器 有色噪声下的卡尔曼滤波器 卡尔曼滤波器稳定性和鲁棒性 线性离散系统的最优预测与平滑
6.1 引 言
•
•
维纳滤波的不足： (1) 要求随机过程是平稳的，要求太强； (2) 以单入单出系统推导出的，难以推广到高维的情况； (3) 维纳-霍夫方程很难求解，在工程上难以实现； (4) 是批处理方法，不能满足在线快速处理大量数据的需要。 1960年卡尔曼（Kalman）将状态空间分析方法引入滤波 理论，得到时域上的递推滤波算法，即卡尔曼滤波。 而且可以递推实现。
最佳估计理论之卡尔曼滤波
管理系统分析专题报告最佳状态估计理论——卡尔曼滤波方法研究摘要：在任何系统中，为了对系统形成有效的控制，系统状态的准确把握显得尤为重要。
我们可以通过一系列的手段对特定系统进行观测，以估计出系统的过去、现在、未来的状态，具体应用可分别表现为对过去状况的评估、当前状态的实时控制、趋势的准确预测等等。
最优估计出系统状态过程中，实际的量测往往是存在诸如来自系统自身、测量工具等所带来的干扰，控制论中将这种干扰定义为噪声。
如何去寻求滤除这种噪声干扰，便成为最佳系统状态估计首先必须解决的问题。
Kalman滤波等一些滤波算法便因此应运而生，其作为一种最优估计理论与方法，由于它的实时递推、存储量小和简单易行的特点，在工程应用中受到了重视，广泛应用于信号处理、控制、通信、航天、制导、目标跟踪、石油勘探、故障诊断、卫星测控、GPS定位、检测与估计及机器人等等领域。
卡尔曼滤波随时间及研究的发展，已形成了多种多样的理论和应用的形式。
本次的学习带着了解认识该滤波算法思想和数学思维的目的，只对一般卡尔曼滤波问题（最优预测与最优滤波）进行了基本的研究。
据此本文主要内容安排包括：1、卡尔曼滤波的理论背景；2、理论基础（选取离散系统的最优预测问题作为代表）阐述；3、工程扩展应用状况；4、理论局限性等方面。
关键字：卡尔曼滤波；最优估计；状态估计；控制目录1绪论 (4)1.1卡尔曼滤波理论研究及应用概述 (4)1.2维纳滤波简述 (5)1.３卡尔曼滤波理论概述 (7)2卡尔曼滤波理论基础 (9)2.1卡尔曼滤波问题的提法 (9)2.2离散系统卡尔曼最优预测基本方程的推导（举例） (12)2.2.1求解基本过程推演 (13)2.2.2卡尔曼预测估计递推方程的计算步骤 (19)2.2.3应用算例 (20)3工程扩展应用举例 (22)3.1卡尔曼滤波在飞机控制中的应用 (22)3.2基于卡尔曼滤波方法的时用水量预测（定量描述略） (26)4卡尔曼滤波局限性分析 (28)4.1稳定性定理 (28)4.2滤波的发散问题 (28)4.3卡尔曼滤波理论的进一步发展 (29)参考文献 (30)1绪论1.1卡尔曼滤波理论研究及应用概述在自动控制、航空与航天、通讯、导航和工业生产等领域中，越来越多地遇到“估计”问题。
卡尔曼滤波最优温度估计
卡尔曼滤波最优温度估计一、卡尔曼滤波的原理概述卡尔曼滤波是一种递归的状态估计方法，它通过系统模型和测量值来更新状态的最优估计。
我们先来了解一下卡尔曼滤波的基本原理。
1. 假设条件卡尔曼滤波的基本假设如下：线性动态模型：系统的状态转移和观测模型是线性的。
即：其中x表示状态向量，z表示观测向量，F、H是状态转移矩阵和观测矩阵，B是控制矩阵，u是控制向量，w和v是系统和观测噪声。
高斯分布噪声：系统噪声和观测噪声都是高斯分布的，并且彼此之间相互独立。
2. 卡尔曼滤波的步骤卡尔曼滤波主要分为两个步骤：预测和更新。
(1) 预测步骤：在预测步骤中，我们利用系统的状态转移方程来预测下一个时刻的状态和协方差矩阵。
具体的计算公式如下：预测状态估计：预测误差协方差：(2) 更新步骤：在更新步骤中，我们将系统的测量值与预测的状态进行比较，从而校正状态估计值和协方差矩阵。
具体的计算公式如下：①预测观测值：②预测观测误差：③卡尔曼增益：④更新状态估计：⑤更新误差协方差：这些公式是卡尔曼滤波中关键的计算步骤，通过它们可以将预测的状态估计与实际观测值结合起来，从而更新并优化状态的估计值。
二、卡尔曼滤波常见应用：1. 航空航天与导航定位：在航空航天领域，卡尔曼滤波在导航定位系统中起着至关重要的作用。
它可以利用传感器的测量信息，如GPS、陀螺仪、加速度计等，提供准确的位置和姿态估计。
通过对机体状态的优化估计，可以处理传感器的测量误差、不确定性和噪声。
2.自动驾驶和机器人技术：在自动驾驶车辆和机器人技术中，卡尔曼滤波被用于实时的环境感知与动态路径规划。
通过结合传感器数据，如激光雷达、摄像头和惯性测量单元（IMU），可以对目标位置、速度和方向进行估计，并实现高精度的导航和运动控制。
3.金融领域：卡尔曼滤波在金融领域中也有广泛应用。
例如，用于股票价格和市场波动的预测，可以基于历史数据和实时市场数据进行状态估计和预测。
此外，卡尔曼滤波还用于对金融市场中的投资组合进行优化调整和风险管理。
卡尔曼滤波简介和实例讲解
卡尔曼，美国数学家和电气工程师。
1930年5月 19日生于匈牙利首都布达佩斯。
1953年在美国麻省理工学院毕业获理学士学位,1954年获理学硕士学位,1957年在哥伦比亚大学获科学博士学位。
1957～1958年在国际商业机器公司(IBM)研究大系统计算机控制的数学问题。
1958～1964年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。
1964～1971年到斯坦福大学任教授。
1971年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任，并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。
1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。
卡尔曼滤波器在随机序列估计、空间技术、工程系统辨识和经济系统建模等方面有许多重要应用。
1960年卡尔曼还提出能控性的概念。
能控性是控制系统的研究和实现的根本概念，在最优控制理论、稳定性理论和网络理论中起着重要作用。
卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念，并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。
为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖──荣誉奖章。
卡尔曼著有《数学系统概论》(1968)等书。
什么是卡尔曼滤波最优线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。
从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。
为了克制这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼1 / 17滤波理论。
卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最优准如此，来寻求一套递推估计的算法，其根本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。
它适合于实时处理和计算机运算。
卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。
它以“预测—实测—修正〞的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波原理是一种用于估计系统状态的线性动态系统的思想，它通过考虑系统的动态特性和观测数据的误差来不断更新状态的估计值，以提高状态估计的精确度。
卡尔曼滤波广泛应用于导航、信号处理、控制系统等领域，其核心思想是利用系统的模型和观测数据的融合来估计系统的状态。
卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波的基本原理可以简单概括为以下几个步骤：1.系统建模：首先对系统进行建模，包括系统的状态方程和观测方程。
状态方程描述系统状态之间的演变规律，观测方程描述系统状态与观测数据之间的关系。
2.预测步骤：利用系统的状态方程和上一时刻的状态估计值进行预测，得到当前时刻的状态的预测值和预测误差协方差矩阵。
3.更新步骤：根据当前时刻的观测数据和预测值，利用贝叶斯准则进行状态的更新，得到当前时刻的状态估计值和状态估计误差协方差矩阵。
4.循环迭代：不断重复预测和更新步骤，直到达到收敛条件为止。
卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在实际应用中有着广泛的应用，特别是在导航、控制系统等领域中发挥着重要作用。
以下是一些典型的应用场景：•导航系统：卡尔曼滤波可以用于优化GPS信号的定位精度，通过融合惯性导航和GPS数据，提高导航系统的精确度和鲁棒性。
•目标跟踪：在目标跟踪系统中，卡尔曼滤波可以有效地估计目标的运动状态，提高目标跟踪系统的性能。
•飞行控制系统：在飞行控制系统中，卡尔曼滤波可以用于估计飞行器的位置、速度等状态，提高控制系统的稳定性和精度。
卡尔曼滤波的优缺点卡尔曼滤波作为一种经典的状态估计方法，具有以下优点：•高效性：卡尔曼滤波是一种递归算法，计算效率高，适用于实时性要求较高的系统。
•精确性：通过融合系统模型和观测数据，卡尔曼滤波可以提高状态估计的精确性。
然而，卡尔曼滤波也有一些局限性：•线性假设：卡尔曼滤波基于线性动态系统假设，对于非线性系统可能存在较大误差。
•观测误差假设：卡尔曼滤波假设观测数据服从高斯分布，对于非高斯噪声的情况效果可能不佳。
最优估计之卡尔曼滤波器的发散抑制方法
k 1(cd) 1
2
k
k
vi
i1
E[~xk|k
~xkT|k
]
(k
1)2 4
(c
d)2
2
k
当k 时，仍有E[~xk|k~xkT|k ]
发散的直接原因k： 的随 增着 长Pk， |k 趋于零的速度过而快 使增益系Kk数 随着k的增长而迅速减新小数，据使对滤波的 作用越来越小，去直作至用失，使滤波分与离测，量最终导
xk xk1 c x0 kc zk xk vk
式中， vk ~ N(0,2)，且与x0 无关。
若建立系统模型时忽略了常数 c，即： xk xk1•
无验前知识， xˆ0|0取 0， 初 P0|0值 ，由滤波基本方 xˆk1|k xˆk|k xˆk|k Pk1|k Pk|kT Qk Pk|k
Pk|k [Pk|k11 H T Rk1H ]1
判据：
k Tkt{ E rkk T }( 1 ， k z k z ˆ k |k 1 )
当此式不成立时，滤波发散。
kzkzˆk|k1
H kxkvkH kx ˆk|k1 H k~ xk|k1vk
Ek k TH kP k|k1H k TRk
判k T 据 kt： { H rkP k|k 1 H k T R k}
N 1
C i
E [vN (k) ]0 ,E { vN (k)v [N (l)T ] } R kei k kl
N 1
C i E [xN(0) ]x ˆ(0)V , [a xN r(0) ]P (0)ei0
对模•202型1/6/(77.4.6)在N时刻以后滤波，得
•18
滤波方程组：
x ˆN (kk) (k,k 1 )x ˆN (k 1k 1 )K N (k) [z(k)H (k) (k,k 1 )x ˆN (k 1k 1 )]
经典卡尔曼滤波算法公式
经典卡尔曼滤波算法公式卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的递归滤波器，被广泛应用于控制系统、定位导航等领域。
本文将介绍卡尔曼滤波算法的经典公式及其推导过程。
1.卡尔曼滤波算法介绍卡尔曼滤波算法以观测数据和系统模型为输入，通过递归地计算系统状态的最优估计值，并通过观测数据进行修正，得到真实状态的估计。
卡尔曼滤波算法基于以下两个假设：1)系统模型是线性的；2)系统噪声和观测噪声均为高斯分布。
2.卡尔曼滤波的数学模型假设我们的系统模型可以用如下状态方程表示：x(t+1)=A*x(t)+B*u(t)+w(t)---(1)其中，x(t)表示系统状态向量，u(t)表示控制输入向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，w(t)是状态噪声。
观测模型可以表示为：z(t)=H*x(t)+v(t)---(2)其中，z(t)是观测向量，H是观测矩阵，v(t)是观测噪声。
3.卡尔曼滤波算法的预测步骤预测步骤用于根据上一时刻的状态估计和控制输入，预测当前时刻系统的状态估计和协方差估计。
预测状态估计：x^(t)=A*x(t-1)+B*u(t-1)---(3)预测协方差估计：P^(t)=A*P(t-1)*A'+Q---(4)其中，x^(t)是预测的状态估计值，P^(t)是预测的协方差估计矩阵，Q是系统噪声的协方差矩阵。
4.卡尔曼滤波算法的更新步骤更新步骤利用观测数据来修正预测得到的状态估计。
计算卡尔曼增益：K(t)=P^(t)*H'*(H*P^(t)*H'+R)^(-1)---(5)其中，K(t)是卡尔曼增益，R是观测噪声的协方差矩阵。
更新状态估计：x(t)=x^(t)+K(t)*(z(t)-H*x^(t))---(6)更新协方差估计：P(t)=(I-K(t)*H)*P^(t)---(7)其中，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波算法的核心思想在于将多个时刻的信息进行融合，利用过去的状态估计和当前的观测数据来最优估计当前时刻的系统状态。
状态最优估计的Kalman滤波算法
状态最优估计的Kalman 滤波算法摘要：Kalman 滤波器的提出，是为了解决最优控制无法实现全部状态均用于反馈。
对于那些无法反馈的状态，则需要根据测量到的信号对其进行估计，再作为反馈。
Kalman 滤波器的突破点在于采用状态空间，把信号作为白噪声作用的线性输出，并且是将概率论与数理统计的新成果引用与问题的求解。
本文中详细论述了Kalman 滤波器的推导过程和其增益计算公式，以及对其增益计算过程进行了仿真。
关键词：状态估计，Kalman 滤波器，最优控制一、引言在一定条件下，最优控制保证系统是渐近稳定的，而且具有令人满意的性能。
但是它要求全部状态均可用于反馈，这在实际上是难以做到的。
实际上常常只能测量系统的一部分状态，而且在测量到的信号中还可能包含有测量噪声。
因此需首先根据量测到的信号估计出全部状态，然后按照最优控制规律反馈估计的状态。
对于最优估计，Kalman 给出了适合计算机计算的状态最优估计递推算法，即Kalman 滤波器。
针对连续系统和离散系统，Kalman 滤波问题又有着连续和离散Kalman 滤波器的提法[1]，本文将主要讨论离散模型。
二、离散系统的Kalman 滤波问题设控制对象的离散模型[2]为：(1)()()()()()()x k Fx k Gu k v k y k Cx k w k +=++⎧⎨=+⎩ (1) 其中x (k )为n 维状态向量，u (k )为m 维控制向量，y (k )为r 维输出向量，v (k )为n 维过程干扰向量，w (k )为r 维测量噪声向量。
假设v (k )和w (k )均为离散的高斯白噪声序列，且有T T ()0,()()()0,()()kj kj Ev k Ev k v j V Ew k Ew k w j W δδ==== (2) 其中：10kj k j k j δ=⎧=⎨≠⎩ (3) 同时设V 为非负定对称阵，W 为正定对称阵，并设v (k )和w (k )不相关。
卡尔曼滤波平滑时间序列-概述说明以及解释
卡尔曼滤波平滑时间序列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的最优滤波器，它基于对过去和当前观测数据的加权处理，能够有效地估计出系统的未知状态。
在时间序列分析中，卡尔曼滤波也被广泛应用于平滑时间序列数据。
本文将探讨卡尔曼滤波在平滑时间序列中的应用。
首先，我们将介绍卡尔曼滤波的基本原理，包括状态预测和更新步骤，并解释其在时间序列平滑中的作用。
随后，我们将详细探讨卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用。
通过对观测数据和系统模型的建立，卡尔曼滤波可以根据过去观测值和当前观测值，通过加权计算得出对未来状态的最优估计。
这种基于历史数据和当前数据的综合分析，使得卡尔曼滤波能够准确地平滑时间序列数据。
最后，我们将讨论卡尔曼滤波平滑时间序列的优势。
相比其他平滑方法，卡尔曼滤波具有许多优点，例如能够处理非线性和非高斯系统、能够自适应地更新参数以适应不同的观测环境等。
这些特点使得卡尔曼滤波成为平滑时间序列的一种重要工具。
综上所述，本文将详细介绍卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用，并探讨其优势。
通过对卡尔曼滤波原理和应用的深入了解，我们可以更好地利用卡尔曼滤波技术来处理平滑时间序列数据，提高数据分析的准确性和效率。
1.2文章结构文章结构的内容应该包括以下几个方面：1. 引言：介绍卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用，并解释为什么选择这个主题进行研究。
同时简述该篇文章的结构和内容。
2. 卡尔曼滤波的基本原理：对卡尔曼滤波算法的原理进行详细介绍，包括状态估计、观测模型、系统动力学方程等基本概念。
3. 卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用：具体说明卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用场景，例如股票市场、气象预测等，以及其在这些领域中的具体方法和实现。
4. 卡尔曼滤波平滑时间序列的优势：对比卡尔曼滤波与其他平滑方法，分析和阐述其优势所在，包括精度、计算效率等方面，同时讨论可能的改进空间。
5. 总结卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用：总结卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用情况，对其优缺点进行分析，以便读者能够更好地理解该方法的适用范围和局限性。
最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波PPT文档共40页
最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波
t
•
步骤2：对上述函数关于时间求导
ˆ (t ) E[ x(t )~ x z T (t )]R 1 (t )~ z (t ) (t )~ E{x z T ( )}R 1 ( )~ z ( )d
t0
t ~ K (t ) z (t ) A(t ) E[ x(t )~ z T ( )]R 1 ( )~ z ( )d t0
若对任意初始时刻成立使得对所有的进稳定即存在且在大范围内一致渐最优滤波一致渐进稳定致完全能控和一致完全如果线性连续系统为一稳定性定理表明当测量时间足够长滤波系统的最优滤波值最终与初始状态如何选取无关
最优估计
第8章 线性连续系统 卡尔曼滤波
离散系统取极限的推导方法 卡尔曼滤波方程新息推导法 线性连续系统滤波器的一般形式 滤波的稳定性及误差分析
推导方法步骤：
• • •
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程
当 t 0 时 对离散卡尔曼滤波公式取极限 步骤3：
4
•
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 由 5.3 知，等效模型： x(t t ) (t t , t ) x(t ) (t t , t ) wn (t )
线性连续系统 (t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t ) 框图如下：
x (t0 )
w(t )
G (t )
v (t ) x (t )
H (t )
+
+ +
1 s
A(t )
+
z (t )
卡尔曼滤波(Kalman Filter)原理与公式推导
一、背景---卡尔曼滤波的意义随着传感技术、机器人、自动驾驶以及航空航天等技术的不断发展，对控制系统的精度及稳定性的要求也越来越高。
卡尔曼滤波作为一种状态最优估计的方法，其应用也越来越普遍，如在无人机、机器人等领域均得到了广泛应用。
对于Kalman Filter的理解，用过的都知道“黄金五条”公式，且通过“预测”与“更新”两个过程来对系统的状态进行最优估计，但完整的推导过程却不一定能写出来，希望通过此文能对卡尔曼滤波的原理及状态估计算法有更一步的理解。
二、卡尔曼滤波的基本模型假设一离散线性动态系统的模型如下所示：x_{k} = A*x_{k-1} + B*u_{k} + w_{k-1}-------(1)z_{k} = H*x_{k} + v_{k} --------------------(2)其中，各变量表征的意义为：———————————————————————————x_{k}\Rightarrow 系统状态矩阵，-------， z_{k}\Rightarrow 状态阵的观测量（实测）A\Rightarrow 状态转移矩阵，-------， B\Rightarrow 控制输入矩阵H\Rightarrow 状态观测矩阵w_{k-1}\Rightarrow 过程噪声，-------，v_{k}\Rightarrow 测量噪声———————————————————————————如果大家学过《现代控制理论》的话，对上述模型的描述形式一定不会陌生，只是多了变量 w_{k-1} 与 v_{k} 。
其中，随机变量w_{k-1} 代表过程噪声（process noise）， v_{k} 代表测量噪声（measurement noise），且为高斯白噪声，协方差分别为 Q 和 R ，即 p(w) \in N(0,Q) ， p(v) \in N(0,R) 。
为什么要引入这两个变量呢？对于大多数实际的控制系统（如倒立摆系统）而言，它并不是一个严格的线性时变系统(Linear Time System)，亦或系统结构参数的不确定性，导致估计的状态值x_{k} 存在偏差，而这个偏差值由过程噪声 w_{k} 来表征。
《卡尔曼滤波方法》课件
优缺点
优点
缺点
• 适用于线性和非线性系统 • 高效且准确的状态估计 • 鲁棒性强，对观测数据的噪声具有较高的容忍度
• 对系统模型和噪声模型的要求较为严格 • 对于非高斯特性的数据，估计结果可能失真
结论
1 总结
卡尔曼滤波方法是一种重要的估计和预测算 法，广泛应用于各个领域。
2 展望
随着人工智能的发展，卡尔曼滤波方法有望 在更多应用场景中发挥重要作用。
《卡尔曼滤波方法》PPT 课件
本课件介绍卡尔曼滤波方法，包括其历史背景、模型、算法以及在人工智能 中的应用。通过本课件，您将了解卡尔曼滤波的优缺点，并展望其未来发展。
什么是卡尔曼滤波方法
卡尔曼滤波方法是一种用于估计和预测系统状态的数学算法。它结合了系统 模型和实时观测数据，通过动态调整权重来获取最优的估计结果。
3
应用场景
卡尔曼滤波算法可以应用于各种场景， 如目标跟踪、导航系统和信号处理。
卡尔曼滤波在人工智能中的应用
机器人定位与导航
卡尔曼滤波可用于准确估计机器人的位置和姿态，实现精确的定位和导航。
航迹预测
通过卡尔曼滤波，可以对目标的运动轨迹进行预测，用于交通流量管理和行车安全。
语音识别
卡尔曼滤波可以应用于语音信号处理，提高语音识别的准确性和鲁棒性。
参考文献
张三, 李四. 卡尔曼滤波理论与应用. 北京：电子工业出版社, 2018.
卡尔曼滤波模型
状态方程
描述系统状态的动态变化，通常使用线性模型。
观测方程
将真实状态映射到观测空间，可以是线性Байду номын сангаас非线性模型。
噪声模型
描述系统和观测中的噪声特性，通常假设为高斯分布。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman ）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。
这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。
卡尔曼滤波的基本概念一个实际的系统可用如下形式表示：设向量非平稳序列1-k x 和1-k y 用下面的动态方程描述：)0(111,≥⎩⎨⎧+=+Φ=---k v x C y w x x kk k k k k k k k （1—1）k x 是状态向量，k y 是观测向量，k w 是输入噪声，k v 是观测噪声，1,-Φk k 是从1-k 时刻到k 时刻的状态转移阵。
上述动态方程可由系统的机理推导得来或由实验数据辨识得到。
现假设已知。
有如下假设：1）k w 和k v 为零均值白噪声即：()[]0,[,][]0,[,]()Tk k j k j k kj T k k j k j k kjE w Cov w w E w w Q E v Cov v v E v v R δδ⎧===⎪⎨===⎪⎩其中k Q 对称半正定k R 对称正定，均为已知。
2）k w 和k v 不相关即()[,]0(,)T k j kjC o v w v E w vk j==∀ 3）初始状态0x 是随机向量，且与k w 、k v 不相关，即000000[,][()]0[,][()]0Tk k Tk kCov x w E x Ex w Cov x v E x Ex v ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 卡尔曼滤波：——状态估计在已知动态方程（1—1）（状态和观测方程）和样本观测数据k y ，1-k y ，…情况下，求随机序列样本——状态k x 的估计值k xˆ。
卡尔曼通过对下一步预测观测误差——新息的修正加之最小均方误差调整准则很好地解决了带有噪声的状态估计问题。
卡尔曼的递推思想与新息：递推计算和新息是卡尔曼滤波的基本思想，请看如：)(11111211k k k k k y y k y k y y y y -++=++++=+++平均计算变成一种递推计算，大大减少了计算量，把1+k 估计看成是在k 基础上的修正，修正项11()1k k y y k +-+。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的数学方法，它以其优秀的性能在航空航天、导航、自动控制等领域得到了广泛的应用。
卡尔曼滤波的基本原理是利用系统的动态模型和观测数据，通过递归的方式对系统状态进行估计，从而得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和观测数据进行状态估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个多维的随机变量，其动态模型和观测模型可以用线性方程组表示。
通过对系统状态的预测和观测数据的更新，可以得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波包括两个主要的步骤，预测和更新。
在预测步骤中，利用系统的动态模型对系统状态进行预测；在更新步骤中，利用观测数据对系统状态进行修正。
通过不断地进行预测和更新，可以逐步地逼近系统的真实状态，从而得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波的优势在于其对噪声的处理能力。
在实际应用中，系统状态和观测数据往往都会受到各种噪声的影响，而卡尔曼滤波能够通过对噪声的建模和处理，得到对系统状态的精确估计。
因此，卡尔曼滤波在实际应用中往往能够取得比较好的效果。
除了基本的卡尔曼滤波算法，还有一些对其进行改进和扩展的方法。
例如，扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）等方法，它们在处理非线性系统和非高斯噪声时表现出更好的性能。
这些改进和扩展的方法使得卡尔曼滤波在更广泛的应用领域中得到了应用。
总之，卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的优秀方法，它以其对噪声的处理能力和对系统状态的最优估计而在航空航天、导航、自动控制等领域得到了广泛的应用。
通过对系统的动态模型和观测数据进行预测和更新，卡尔曼滤波能够得到对系统状态的最优估计，从而为实际应用提供了可靠的支持。
卡尔曼滤波的使用条件
卡尔曼滤波的使用条件卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于估计系统状态的数学方法。
它基于线性动态系统模型和高斯分布假设，通过对测量数据和预测值的加权处理，提供对系统状态的最优估计。
为了利用卡尔曼滤波，下面给出了以下使用条件：1.系统模型：卡尔曼滤波要求所要估计的系统必须能够用线性动态系统模型来描述。
这意味着系统的状态转移方程和观测方程必须是线性的。
2.观测误差和系统噪声：卡尔曼滤波假设系统的观测误差和系统噪声都服从高斯分布。
观测误差是指从传感器或测量装置中获取到的测量值与真实值之间的差异。
系统噪声是指系统状态的真实变化与状态转移方程的预测值之间的差异。
3.初始估计和初始协方差矩阵：卡尔曼滤波需要提供一个初始状态的估计值和相应的协方差矩阵。
初始估计值可以通过先验知识或者历史数据估计得到。
协方差矩阵反映了对初始估计值的不确定性程度。
4.状态转移方程和观测方程：在卡尔曼滤波中，需要明确定义系统的状态转移方程和观测方程。
状态转移方程描述了系统状态的演化过程，观测方程描述了系统状态与测量值之间的关系。
5.协方差矩阵和卡尔曼增益：卡尔曼滤波通过计算协方差矩阵和卡尔曼增益来更新估计值。
协方差矩阵用于表示当前估计值的不确定性程度，而卡尔曼增益用于根据当前测量值对估计值进行调整。
6.迭代更新：卡尔曼滤波是一种迭代过程，每次根据新的测量值和系统模型更新估计值和协方差矩阵。
迭代过程将逐步提高估计的精确性。
补充说明：以上内容仅是描述卡尔曼滤波的基本使用条件，实际应用中还需要根据具体问题进行调整和优化。
使用卡尔曼滤波时，还需要考虑数据采集频率、噪声特性等因素，并进行参数调整和模型验证。
最优估计第四章kalman滤波_1_
si (k ) vi (k ) yi (k ) xi ( k ) s ，i=1,2 ， vi ( k ) i ( k ) ， yi ( k ) i (k ) zi ( k ) s1 (k ) 源自(1.3.2) (1.3.3)
s (k ) 由机动加速度 u (k ) 和随机加速度 w(k ) 合成，即 而加速度
s (k ) u (k ) w(k )
2
(1.3.4)
其中 u ( k ) 为船舶动力系统的控制信号，它是人为给出的已知的机动信号，w(k ) 是由海风和 海浪等引起的随机加速度，假设它是均值为零方差为 w 的独立于 v(k ) 的白噪声。则由 (1.3.2)(1.3.4)得，
0.5T02 s (k 1) 1 T0 s (k ) 0.5T02 u (k ) w(k ) (k ) T0 s (k 1) 0 1 s T0
s(k ) v(k ) y (k ) 1 0 ( k ) s
2 (k )T0 0.5T02 ( s2 (k 1) s2 (k ) s s2 (k ) u2 (k )) 2 (k 1) s 2 (k ) T0 ( s s2 (k ) u2 (k )) s2 (k 1) s2 (k ) w2 (k ) 2 (k ) 2 (k ) y2 (k ) s2 (k ) v2 (k ) ， z2 (k ) s
, b R n 。现在已知随机变量 x R n 和 y R m ，求 A R nm , b R n ，使 x 的估 ˆ )T ( x x ˆ )] J E[( x x
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•
步骤3：确定增益阵 K(t)
K (t ) E[ x(t )~ z T (t )]R 1 (t )
ˆ (t )][ H (t ) ~ E{x(t )~ z T (t )} E{[~ x (t ) x x (t ) v(t )]T } ˆ (t ) ~ E{~ x (t ) ~ x T (t ) H T (t )} E{x x T (t ) H T (t )} P(t ) H T (t )
P(t ) H T (t ) R 1 (t ) H (t ) P(t )
注：连续系统的卡尔曼滤波估计问题归结为求解微分方程问题；
矩阵黎卡提微分方程很难求解。
11
线性连续系统卡尔曼滤波方程
12
两点说明：
ˆ (t ) 是 X (t ) 在 Z t Z ( ), t t 条件下的均值,即 1、X t0 0 ˆ (t | t ) E X (t ) | Z t X t0 是线性最小方差估计。
(8.1.1)
噪声统计特性： E[ w(t )] 0 E[ w(t ) wT ( )] Q(t ) (t ) E[v(t )] 0 E[v(t )vT ( )] R(t ) (t ) E[ w(t )vT ( )] 0，E[ x(t ) wT (t ) • ] 0，E[ x(t )vT (t ) • ] 0 t , t0 E[ x(t0 )] x (t0 )，Var[ x(t0 )] P x (t0 )
推导方法步骤：
• • •
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程
当 t 0 时 对离散卡尔曼滤波公式取极限 步骤3：
4
•
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 由 5.3 知，等效模型： x(t t ) (t t , t ) x(t ) (t t , t ) wn (t )
t 0 取极限
黎卡提微分方程：
t 0
lim P(t t, t ) P(t, t ) P(t )
(t ) A(t ) P(t ) P(t ) AT (t ) G(t )Q(t )G T (t ) P P(t ) H T (t ) R 1 (t ) H (t ) P(t )
T 1
t
P(t t , t ) H (t t ) H (t t ) P(t t , t ) H (t t )t R(t t )
T T
1
t 0
取极限
----------- 增益矩阵
K (t ) P(t ) H T (t ) R 1 (t )
z (t t ) H (t t ) x(t ) v n (t t )
其中，(t t , t ) I n A(t )t (t t , t ) G (t )t
Qk Cov[W (t ),W ( )] kj t Rk n n Cov[V (t ),V ( )] kj t
线性连续系统 (t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t ) 框图如下：
x (t0 )
w(t )
G (t )
v (t ) x (t )
H (t )
+
+ +
1 s
A(t )
+
z (t )
滤波方程： ˆ (t ) A(t ) x ˆ (t ) K (t )~ x z (t ) 可视为一个 K (t )~ z (t ) 作用下的线性系统，其 结构图如下：
方差估计， 定义 ~ ˆ (t ) z (t ) z (t ) H (t ) x 为新息过程。 新息中包含 z (t ) 的新成份。
•
新息的性质：新息是一个与测量噪声有相同统计值的白噪 声过程。
16
推导过程
•
步骤1：构造估计量的函数形式 ˆ (t ) 是 ~ 假定 x z (t ) 的线性函数：
将其代入• (8.16)，得：
P(t t , t t ) P(t , t ) [ A(t ) P(t , t ) P(t , t ) AT (t ) t K (t t ) H (t t ) P(t , t ) T G (t )Q(t )G (t )] t
•
问题： 给定测量 Z (t ) (t t )， 使 0 求式(8.1.1)状态估计 X (t )， ~ ~ Pt E[ X (t ) X T (t )]
最小的线性估计。
8.1 离散系统取极限的推导方法
推导方法思想：当采样稠密或采样间隔趋于零时，取离散系统
的极限，将离散系统的结果转化为连续系统的公式。
----------- 估计误差方差
线性连续系统卡尔曼滤波求解公式
最优滤波方程： ˆ(t ) A(t ) x ˆ(t ) K (t )[ z(t ) H (t ) x ˆ(t )] x
滤波增益方程：
K (t ) P(t ) H T (t ) R 1 (t )
滤波误差方差矩阵黎卡提方程： (t ) A(t ) P(t ) P(t ) AT (t ) F (t )Q(t ) F T (t ) P
t0
t
•
步骤2：对上述函数关于时间求导
ˆ (t ) E[ x(t )~ x z T (t )]R 1 (t )~ z (t ) (t )~ E{x z T ( )}R 1 ( )~ z ( )d
t0
t ~ K (t ) z (t ) A(t ) E[ x(t )~ z T ( )]R 1 ( )~ z ( )d t0
2、 由线性最小方差估计的 正交投影性质， 估计误差正交于测量量 ， 也正交于估计量， 即 ~ ~ ˆT T E[ X (t ) Z (t )] E[ X (t ) X (t )] 0 ~ ~ ˆT T E[ Z (t ) Z (t )] E[ Z (t ) Z (t )] 0
13
t 0 取极限
---(8.1.8) 最优滤波方程
ˆ(t ) A(t ) x ˆ(t ) K (t )[ z(t ) H (t ) x ˆ(t )] x
线性连续系统的卡曼滤波方程，是一个一阶微分方程。
K (t t ) K (t ) t R(t t ) T P(t t , t ) H (t t ) H (t t ) P(t t , t ) H (t t ) t
ˆ (t ) * (t , )~ x z ( )d
t0
t
选择 * (t , )， 以得到 x(t ) 的最小方差估计。
t T ~ ˆ (t ) z ( s)] * (t , )E[~ E[ x z ( )~ z T ( s)]d t0 t
* (t , )R( ) ( s )d
ˆ (t t ) [ I A(t )t ]x ˆ (t ) K (t t )z (t t ) x ˆ (t ) H (t t )[ I A(t )t ]x K (t ) ˆ (t )， 将上式两端同减x 并除以 t， 得：
ˆ (t t ) x ˆ (t ) x K (t t ) ˆ (t ) A(t ) x [ z (t t ) t t ˆ (t )] H (t t )[ I At ]x
得等效离散线性系统的卡尔曼滤波方程：
ˆ (t t ) (t t , t ) x ˆ (t ) K (t t )[ z (t t ) x ˆ (t )] H (t t )(t t , t ) x
(8.1.3)
K (t t ) P(t t , t ) H T (t t )[H (t t ) P(t t , t ) (8.1.4) R(t t ) 1 T H (t t ) ] t P(t t , t ) (t t , t ) P(t , t )T (t t , t ) Q(t ) T (t t , t ) (t t , t ) t
ˆ (t0 ) x
z (t )
+ +
K (t )
1 s
A(t )
ˆ (t ) x
ˆ (t ) z
H (t )
8.2 卡尔曼滤波方程新息推导法
•
系统模型：
(t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t )
•
新息：设 x ˆ (t ) 为由 z (t ) 在 t0 ~ t 区间的 Z tt0 得到的 X (t ) 最小
k , k 1 (t t , t ) k , k 1 (t t , t ) H k H (t t ) Pk |k P (t t , t t )
Pk 1|k 1 P (t t , t ), K k K (t t ) Q(t ) R (t t ) Qk 1 , Rk t t
n n
t t0 kt , t0 jt
•
步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程
利用离散线性系统卡尔曼滤波方程(132页)及下列等效关系：
xk x(t t ), z k z (t t ), xk 1 x(t ), Pk |k 1 P (t t , t ),
将 (t t , t ) I n A(t )t，(t t ) G(t )t 代入 (8.1.5) 式，得： Q (t ) T T P (t t , t ) [ I A(t )t ]P (t t , t )[ I A(t )t ] G (t )t G (t )t t P (t , t ) [ A(t ) P (t , t ) P (t , t ) AT (t ) G (t )Q (t )G T (t )]t