运筹学课程讲义

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第一部分 线性规划 第一章 线性规划的基本性质 1.1 线性规划的数学模型

一、 线性规划问题的特点

胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子售价30元/个。生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？

213050max x x z +=

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤+≤+0

,50212034212121x x x x x x 例：某工厂生产某一种型号的机床。每台机床上需要 2.9m 、2.1m 、1.5m 的轴，分别为1根、2根和1根。这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m 。如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？

二、 数学模型的标准型 1. 繁写形式 2. 缩写形式 3. 向量形式 4. 矩阵形式

三、 任一模型如何化为标准型？

1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？

2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？

3. 若原模型中变量x k 是自由变量，如何化为非负变量？

4. 若原模型中变量x j 有上下界，如何化为非负变量？

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤-=--≤+--≥-+----=无约束

3213213

21321321,0,0520

10651535765max x x x x x x x x x x x x x x x z 令''

'3'3''3'331'1,0,,,Z Z x x x x x x x =-≥-=-=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥-=+-++=+-+-=+-+-+--+-++-=0,,,,,,,520

1010651533507765min 7654''3'32'17'

'3'32'15'

'3'32'164'

'3'32'17

65'

'3'32'1'x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x x z 1. 2图解法

该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。

使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。 一、 图解法步骤

1. 由全部约束条件作图求出可行域

2. 作出一条目标函数的等值线

3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值

二、 从图解法看线性规划问题解的几种情况

1. 有唯一最优解

2. 有无穷多组最优解

3. 无可行解

4. 无有限最优解（无界解）

⎪

⎩⎪⎨⎧≥≥

+≥++=0

,23431246min 21212121x x x x x x x x z 最优解)0,2

1(，最优值3

直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；

2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。

1.3 线性规划的基本概念和基本定理

一、 线性规划问题的基与解 可行解 最优解 基 基向量 非基向量 基变量 非基变量 基本解

基本可行解 最优基本可行解 退化的基本解

二、 几何意义上的几个基本概念 1. 凸集 2. 凸组合 3. 顶点

三、 线性规划问题的基本定理

定理1：若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集。 引理1：线性规划问题的可行解T n x x x X ),,,(21 =为基本可行解的充要条件是X 的正分量对应的系数列向量是线性无关的。 定理2：线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点。 引理2：K 是有界凸集，则任何一点X ∈K 可表示为K 的顶点的凸组合。

定理3：如果线性规划问题有有限最优解，则其目标函数最优值一定可以在可行域的顶点上达到。 四、 求解线性规划问题的基本思路

在有限个基本可行解中寻找最优基本可行解。

找一个基本可行解（m 个线性无关的系数列向量），由其换到另一个

基本可行解。实质即为换基。前提是保证新的基本可行解的目标函数值比原来的更优而不是更劣。

第二章 单纯形法

它是求解线性规划最为成熟的算法。

胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌子和椅子需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？ 213050max x x z +=

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤+≤+0

,50212034212121x x x x x x 将其变形，得

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=++=++0,,,502120

344

321421321x x x x x x x x x x 将43,x x 对应的单位矩阵作为初始可行基。令43,x x 为基变量，21,x x 为非基变量。原模型变形为 213050max x x z +=

⎪⎩⎪

⎨⎧≥--=--=0,,,250341204

3212142

13x x x x x x x x x x 如果令非基变量21,x x 等于零，得一个基本可行解（0，0，120，50），对应的目标函数值z = 0

最优性检验：该解是否最优？显然不是。经济意义分析：21,x x 等于零意味着家具厂不开工生产，销售收入为零，资源未得到充分利用。 数学角度分析：非基变量21,x x 前的系数都为正，表明目标函数值有增