1概率初步 - 拔高难度 - 讲义

概率初步

知识讲解

一、随机事件的概率

1.概率的统计定义

定义：在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附

近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记为． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：．当是必然事件时，，当是不可能事件时，．

2.互斥事件与事件的并

互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．

事件的并：由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或都发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作．若，则若发生，则、中至少有一个发生，事件是由事件或所包含的基本事件组成的集合．

3.互斥事件的概率加法公式：

若、是互斥事件，有 若

事

件

两两互斥（彼此互斥），有

．

事件“

”发生是指事件

中至少有一个发生．

4.互为对立事件

n A m

n n n A ()P A ()P A 0()1P A ≤≤A ()1P A =A ()0P A =A B A B A B ，

C A B C A B =U C A B =U C A B A B U A B A B ()()()P A B P A P B =+U 12n

A A A L ，，，1212()()()()

n n P A A A P A P A P A =+++U UL U L 12n

A A A U UL U 12n

A A A L ，，，

定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作

．有,．

二、古典概型与几何概型

1.基本事件的概念：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这样的随机事件称为基

本事件

2.基本事件的特点：

1）任何两个基本事件是互斥的． 2）任何事件都可以表示成基本事件的和．

3.古典概型

定义：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则具有这两个特点的概率模型称为古典概型． 特点：①有限性；②等可能性．

概率：，为随机事件中包含的基本事件的个数，为实验的所有基本事件的

个数．

注意：一般地，对于古典概型，如果实验的个基本事件

，

，

，，

，由于基

本事件是两两互斥的，所以又

，又因为每个基本事件发

生的可能性相等，所以

，

．

4.几何概型

定义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积或角度）成比例的概率模型．

特点：①有限性；②等可能性

A A ()1()P A P A =-()m

p A n =

m A n n 1

A 2

A 3

A L n

A 12()()()1

n P A P A P A +++=L 1()1

nP A =11()P A n =

概率：

，为构成事件的区域长度（面积或体积）；为实验全部结果构成的区

域长度（面积、体积或角度）．

()m

p A n

m A n

经典例题

一．解答题（共14小题）

1．（2017秋•雅安期末）已知集合Z={（x ，y ）|x ∈[0，2]，y ∈[﹣1，1]}． （1）若x ，y ∈Z ，求x +y ≥0的概率； （2）若x ，y ∈R ，求x +y ≥0的概率． 【

2．（2016秋•杜尔伯特县期末）某射击队的队员为在射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：

命中环数 10环 9环 8环 7环 概率

0.30

0.28

0.18

0.12

求该射击队员射击一次， （1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率．

3．（2017春•西宁期末）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从

中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是5

12

，得到黄球或绿

球的概率也是5

12

，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

4．（2014•吉州区校级模拟）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为a，b．

（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；

（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

5．（2014•芙蓉区校级模拟）袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：

（1）3只全是红球的概率；

（2）3只颜色全相同的概率；

（3）3只颜色不全相同的概率．

6．（2015秋•武汉期末）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、

黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是5

，得到黄球或绿球的

9

，试求：

概率是2

3

（Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

（Ⅰ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

7．（2016春•茂名校级期末）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽取2件产品．求

（1）第一次抽到次品的概率；

（2）第一次和第二次都抽到次品的概率．

8．（2016春•新余期末）某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：

（1）2件都是一级品的概率；

（2）至少有一件二级品的概率．