1概率初步 - 拔高难度 - 讲义
概率初步
知识讲解
一、随机事件的概率
1.概率的统计定义
定义：在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附
近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记为． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：．当是必然事件时，，当是不可能事件时，．
2.互斥事件与事件的并
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
事件的并：由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或都发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作．若，则若发生，则、中至少有一个发生，事件是由事件或所包含的基本事件组成的集合．
3.互斥事件的概率加法公式：
若、是互斥事件，有 若
事
件
两两互斥（彼此互斥），有
．
事件“
”发生是指事件
中至少有一个发生．
4.互为对立事件
n A m
n n n A ()P A ()P A 0()1P A ≤≤A ()1P A =A ()0P A =A B A B A B ，
C A B C A B =U C A B =U C A B A B U A B A B ()()()P A B P A P B =+U 12n
A A A L ，，，1212()()()()
n n P A A A P A P A P A =+++U UL U L 12n
A A A U UL U 12n
A A A L ，，，
定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作
．有,．
二、古典概型与几何概型
1.基本事件的概念：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这样的随机事件称为基
本事件
2.基本事件的特点：
1）任何两个基本事件是互斥的． 2）任何事件都可以表示成基本事件的和．
3.古典概型
定义：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则具有这两个特点的概率模型称为古典概型． 特点：①有限性；②等可能性．
概率：，为随机事件中包含的基本事件的个数，为实验的所有基本事件的
个数．
注意：一般地，对于古典概型，如果实验的个基本事件
，
，
，，
，由于基
本事件是两两互斥的，所以又
，又因为每个基本事件发
生的可能性相等，所以
，
．
4.几何概型
定义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积或角度）成比例的概率模型．
特点：①有限性；②等可能性
A A ()1()P A P A =-()m
p A n =
m A n n 1
A 2
A 3
A L n
A 12()()()1
n P A P A P A +++=L 1()1
nP A =11()P A n =
概率：
，为构成事件的区域长度（面积或体积）；为实验全部结果构成的区
域长度（面积、体积或角度）．
()m
p A n
m A n
经典例题
一．解答题（共14小题）
1．（2017秋?雅安期末）已知集合Z={（x ，y ）|x ∈[0，2]，y ∈[﹣1，1]}． （1）若x ，y ∈Z ，求x +y ≥0的概率； （2）若x ，y ∈R ，求x +y ≥0的概率． 【
2．（2016秋?杜尔伯特县期末）某射击队的队员为在射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：
命中环数 10环 9环 8环 7环 概率
0.30
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次， （1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率．
3．（2017春?西宁期末）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从
中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是5
12
，得到黄球或绿
球的概率也是5
12
，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
4．（2014?吉州区校级模拟）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；
（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
5．（2014?芙蓉区校级模拟）袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：
（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率；
（3）3只颜色不全相同的概率．
6．（2015秋?武汉期末）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、
黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是5
，得到黄球或绿球的
9
，试求：
概率是2
3
（Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
（Ⅰ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
7．（2016春?茂名校级期末）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽取2件产品．求
（1）第一次抽到次品的概率；
（2）第一次和第二次都抽到次品的概率．
8．（2016春?新余期末）某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：
（1）2件都是一级品的概率；
（2）至少有一件二级品的概率．
9．（2015秋?宿迁期末）为了对某校高二年级学生参加社区服务次数进行估计，随机抽取1个容量为M的样本，根据样本作出了频率分布表如下：分组频数频率
[10，15）100.25
[15，20）25n
[20，25）m p
[25，30]20.05
合计M1
（1）求出表中m、n的值；
（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[20，25）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30]内的概率．
10．（2016春?邯郸校级期中）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？
（2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率． （3）求平均成绩．
11．（2016?漳州二模）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表
评估的平均得分
（0，6） （6，8）
（8，10）
全市的总体交通状况等级
不合格 合格
优秀
（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级； （2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，
它们的得分组成一个样本，
求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率．
12．（2011?遂宁校级模拟）春暖大地，万物复苏．目前已进入绿化造林的黄金季节，到处都能看到绿化工人（绿化员）和参加义务植树的百姓植树种草、绿化环境的身影．某8人（5男3女）绿化组，为了提高工作效率，开展小组间的比赛，现分成A、B两个小组，每个小组4人．
（1）求A组中恰有一名女绿化员的概率；
（2）求A组中至少有两名女绿化员的概率．
13．（2011?揭阳校级模拟）箱中装有9张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到9中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是n2﹣7n+12（卡片正反面用颜色区分）
（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率；
（2）如果同时取出两张卡片，试求它们反面数字相同的概率．
14．（2011春?宿迁校级期末）口袋里有分别标有数字1、2、3、4的4只白球和分别标有数字5、6的2只红球，这些球大小相同．某人从中随机取出一球，然后放回，再随机取出一球．
（Ⅰ）求两次取出的球上的数字之和大于8的概率；
（Ⅰ）求两次取出的球颜色不同的概率．