一次函数与三角形面积(基础)
考点08 一次函数的图象与性质【无答案】
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象1．下列函数：①y＝4x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣4x+1，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜14．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限B．图象与y轴的交点坐标为（1，0）C．y随x的增大而减小D．图象与坐标轴调成三角形的面积为5．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（）A．B．C．D．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2D．m的值不存在3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式．考向四：一次函数与方程不等式间的关系1．已知方程2x﹣1＝﹣3x+4的解是x＝1，则直线y＝2x﹣1和y＝﹣3x+4的交点坐标为（）A．（1，0）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）2．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为．3．如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A．B．C．D．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．16．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是，当y1＞y2时，x的取值范围是，当y1＜y2时，x的取值范围是．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝，n＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：．（3）当时，x的取值范围为．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数与三角形面积
一次函数与三角形面积作者：凌营来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第04期提到求三角形的面积，我们首先想到的会是直接使用面积公式：三角形面积=底×高÷2.但在函数问题中，经常会碰到一些底或高不容易求的三角形（这样的三角形我们不妨称之为“不规则三角形”），这时直接用面积公式并不会奏效，对此，我们要有意识地去运用一种新的求面积的方法——割补法.其实，不论是直接法（公式法）还是间接法（割补法），其中的关键都在于找出或构造出有关的三角形的底和高，一次函数与三角形的面积相结合，考查方式主要有以下两类.一、根据条件求不规则三角形的面积常用的解题方法是“割补法”，即先将所给的三角形分割成两个（或更多个）三角形，再利用公式分别求出小三角形的面积，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面补上一个特殊的几何图形，然后用该几何图形的面积减掉其他补出的小三角形的面积.规则三角形的面积可直接运用公式求出，我们不再赘述.例1 如图1，一次函数y=的图象过点A（4，3），且与x轴交于点B.设C（3，1），求△ABC的面积.分析：该三角形是不规则三角形，其面积用公式不好直接求，所以使用间接法，可将△ABC分割成两个三角形.如过点C作y轴的平行线，构造出同底的两个三角形，然后再结合A，B，C三点的横坐标即可求出面积，解：过点C作CD//y轴，交直线AB于点D，如图2.将A（4，3）代入一次函数解析式中，可解得点评：当然，也可以过C点作x轴的平行线，将△ABC分成上下两个三角形，如图3.这种割的方法与例1中的方法本质上是相同的，就是让分割出来的三角形的底和高与坐标轴平行，另外，我们也可以将该不规则三角形通过“补”的方法放在一个规则的几何图形中，然后用大几何图形减去多出的几个小几何图形来求出面积，如图4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D，所以三、根据三角形的面积求坐标或解析式在这种考查方式下，将面积表示出来是解题的关键.至于是用公式法还是用割补法，可根据条件具体分析.需要注意的是，所求点的坐标或直线的解析式往往不止一个，因此要有分类讨论的意识.例2 如图5，点A（1，6），B（m，1）在一次函数y=kx+7的图象上.AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C.在x轴上是否存在一点E.使△ABE的面积为57若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.分析：这类求点的坐标的题目，往往需要分类讨论，因为所求的点可能会不止一个.本题中，虽然点E在x轴上并且△ABE的面积一定，但是如果点E相对于其他已知点的位置不同，那么面积的表达形式就会不同，解：将A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.∴一次函数的解析式为y=-x+7.将B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.设E（n.0）.一次函数的图象与x轴交于M点，则M（7，0）.（1）当点E在点D，M之间时，如图6.解得n=5，故E（5，0）.（2）当点E在点D左侧时，如图7.解得n=5，故E（5，0）.但这与题设矛盾，故点E不可能在点D的左侧.（3）当点E在点M右侧时，如图8.解得n=9，故E（9，0）.综上，点E的坐标为（5，0）或（9，0）.点评：本题中△ABE的面积的表示，还是采用了间接法，只不过不是“割补法”，而是“大减小”，即利用现有图形，求出一个大图形的面积，然后减掉其他几个小图形的面积.这种解法同学们也一定要掌握，侧3 已知直线y=x+3与x轴和y轴交于A，B两点.直线2经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分.求直线f的解析式，解：由题意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.点评：当我们不能确定两个图形的面积谁大谁小时，一定要想到分类讨论.练习：1.一次函数y=x+3的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A.6B.3C.9D. 4.52.已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象交于点A，并与y轴交于点B（O，-4）.点O为坐标原点.若△AOB的面积为6.则一次函数的解析式为______.3.如图11所示.一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B.求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积.4.一次函数V=kx +b的图象经过A（2，3），B（-3，一2）两点.若P是y轴上的一点，且使△ABP的面积是5.求OP的长.5.一次函数v-kx-k的图象经过点A（2，2）.设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P点的坐标.参考答案：1.D2.y=-x-4或（提示：以OB为底，则高为3.点A的横坐标为±3）3.1（提示：先根据正比例函数的解析式确定出点B的坐标为（-1，1），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式）.4.1或3（提示：先求出一次函数的解析式，设该一次函数的图象与y轴的交点为C，将△ABP的面积分解为△ACP的面积与△BCP的面积之和，求出P点的坐标.注意分类讨论，还有一点需要注意，就是求出点P的坐标后，不要习惯性地以为就结束了，要写出OP的长才可以）.5.（3，0）或（-1，0）（提示：将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形进行计算）.。
一次函数基础训练题(后附答案)
一次函数基础训练题（后附答案）1、在函数① y=2x ②y=－3x+1 ③ y= x 2中， x 是自变量， y 是x 的函数， 一次函数有_______ 正比例函数有______,2.某函数具有下列两条性质（1）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；（2）y 的值随x 值的增大而增大。
请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）3、函数 432+=x y 的图像与x 轴交点坐标为________,与y 轴的交点坐标为____________。
4.函数y=2x-1与x 轴交点坐标为_______ ,与y 轴交点坐标为____,与两坐标轴围成的三角形面积是______.5、（1）对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___。
（2）对于函数 x y 3221-=, y 的值随x 值的____而增大。
6.若直线y=kx+b 和直线y=-x 平行,与y 轴交点的纵坐标为-2,则直线的解析式为_______. 7,如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么k 的值为________。
8.已知y-1与x 成正比例，且x=－2时，y=4，那么y 与x 之间的函数关系式为_________________。
9.直线y ＝kx+b 过点（1，3）和点（－1，1），则b k ＝__________。
10.若函数y ＝kx+b 的图像经过点（－3，－2）和（1，6）求k 、b 及函数关系式。
11、已知一次函数 y=（6+3m ）x+n-4，求:（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）n 为何值时，函数图象与y 轴交点在x 轴的下方？ （3）m, n 分别为何值时，函数图象经过 (0，0).12、在直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过三点A （2，0）、B （0，2）、C （m ，3），求这个函数的关系式，并求m 的值。
13、已知一次函数的图像经过点A （2，－1）和点B ，其中点B 是另一条直线321+-=x y 与y 轴的交点，求这个一次函数的表达式。
一次函数的图象与面积
练一练
已知直线y=kx+b过点A（－1，5）， 且平行于直线y=－x+2．
一．求直线y=kx+b的关系式； 若B（m，－5）在这条直线上，O为原点， 求m的值及S△AOB。
二、由面积关系求一次函数关系式
例题精讲
已知直线y=kx+b与x轴交于点(4，
y
分析：
o
x
y=–x+4
４. 如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数
y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是C（
）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
1 2x + 1 与 直 线 a 关 于 y 轴 对 称 ， 在 同
一
坐标系中画出它们的图象，并求
已
知 直 线 出 直 线 a 的 解 析 式 .
的△ABP的面积s关于时间t的函数图象
如图乙。若AB=6cm，试回答下列问题
A
F bs
6cm
D Ea
B2cm/Ps C
图甲
o 46 9 t 图乙
A
6cm
B2cm8m/Psc
F
D 6cmE 4cm
4b 22a 4
s
C
o 46
·M 9· N·t
问题： 图甲
图乙
（坐的（的（际7标函面123意564）））是数积义MP图否关是？点点甲乙可系怎ab在坐中的以式样整标BC值D的求呢变个DC是E是ab出？的化的的在否多？长的长移图可少M是？是动甲以？N多多过中求所少少程具出在？？中有？直什△N线A么点B实P
一次函数的图像和性质练习题(基础-有部分中等题)
一次函数的图像和性质练习题1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)， 点，(0) ，点。
2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。
与坐标轴围成的三角形的面积是 。
3.若一次函数(44)y mx m =--的图象过原点，则m 的值为 。
4.如果函数y x b =-的图象经过点(01)P ，，则它经过x 轴上的点的坐标为 。
5.一次函数3+-=x y 的图象经过点（ ，5）和（2， ）。
6.已知一次函数y=23x+m 和y=-21x+n 的图像都经过点A(-2,0), 且与y 轴分别交于B,C 两点,求△ABC 的面积。
7.某函数具有下面两条性质：（1）它的图象是经过原点的一条直线；（2）y 随x 的增大而减小．请你写出一个满足上述条件的函数 。
8.已知函数(3)2y m x =+-，要使函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） Ａ．3m -≥Ｂ．3m >-Ｃ．3m -≤Ｄ．3m <-9.一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的减小而减小，则m 的取值范围是（ ） Ａ．1m >-Ｂ．1m <-Ｃ．1m =-Ｄ．1m <10．已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y=21x+k(k 为常数)的图像上,则a 与b 的大小关系是a____b(填”<””=”或”>”)11．已知直线y kx b =+，经过点11()A x y ，和点22()B x y ，，若0k <，且12x x <，则1y 与2y 的大小关系是（ ） Ａ．12y y >Ｂ．12y y <Ｃ．12y y =Ｄ．不能确定12.在同一坐标系内函数y=2x 与y=2x+6的图象的位置关系是 。
13.若直线y=2x+6与直线y=mx+5平行,则m=____________。
一次函数与三角形面积(基础)
1、求函数与x 轴、y 轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积2、如图14-2-3所示，一个正比例函数图象与一个一次函数图象交于点A （3，4），且OA=OB ．求：(1)这两个函数的解析式；（2）△AOB 的面积．3、已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-32X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n 的值、如图，已知一次函数的图象经过A （-2，-1），B （1，3）两点．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．5、一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点,且一次函数的图象与y 轴相交于点(1)求这两个函数的解析式. (2)在同一坐标系内,分别画出这两个函数的图象.(3)求出的面积.6、已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．8、.如下图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．9、如图，已知直线：与直线：的图象的交点在第四象限，且点到轴的距离为。
（1）求直线的解析式。
（2）求的面积。
（3）在第一象限的角平分线上是否存在点，使得的面积是的面积的倍？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由。
10、如图，直线y=ax+b(a≠0)与y=x+1交于y轴上的点C，与x轴交于点B(2,0).(1)求a，b的值；(2)设直线y=x+1与x轴的交点A，求△ABC的面积.11、如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．（1）求直线A′B′的解析式；（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．13、如图,一次函数y=-x+m的图象和y轴交于点B,与正比例函数图象交于点P(2,n). (Ⅰ)求m和n的值； (Ⅱ)求的面积.13、正比例函数与一次函数的图象如图－7－2所示，它们的交点坐标为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.(1)求正比例函数与一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积.14、已知一次函数的图象经过、两点,且与x轴相交于C点.(1)求直线的解析式;(2)求的面积.16、某自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准.居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,其图象如图所示 (1)当时,y与x的函数解析式 (2)当时,y与x的函数解析式; (3)若某用户居民该月用水3.5吨,问应交水费多少元?若该月交水费9元,则用水多少吨?17、某地出租车计费方法如图，（）表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象解答下列问题。
用一次函数解三角形面积问题
可 设 ｙ ＝ ． 一４
９
．
４点的坐标 为 （ ３ ０ ． － ，）
＋６ ，
由ｙ－ － 一
当ｙ ＝０时 ，＝４ ｘ ，
・
． ．
Ｂ点 的坐标 为 （ ， ） ４０ ．
．
（ 由 ３ 一５ 一９ 可得ｙ ３ ２） ｙ ， ＝ ＋
维普资讯
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解㈩ ｝ 导 ： ＋，
当ｙ ＝０时 ， 一３， ：
・
。 ．
第一象 限内且在函数 图象上 ， Ｃ点坐标 为 （ ， 一２
０ ，求 ： ） △ Ｃ的面积 ５与 间 的函数关 系 之 式， 并指 出 自变量 的取值范围． 分析 ：首先要确定 直线 的解 析式 ， 然后利 用三角形 的面积公式可 以建 立 ．与 函数关 ｓ 的
对值 与三角形 的高相等 的关系不变 ， 而且 三角
形 的底 边 长为定 值 ， 这是 解题 的突破 口． 后 最 要 注意 自变量 的取值 范围．
习 （ 中版 ） 初
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图６
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２
点评 ：虽然 Ｐ点为动点 ， 其纵坐标 的绝 但
把 ，＝一４ ＝６Ｙ 代入 ， 可得 ＝一－ ４ ＿
．
同理 ， ３ ＋２ ＝１ ， 由 ｘ ｙ ２ 可得ｙ ＝一— ＋６ ．
・ ． ．
一次函数求坐标三角形面积问题
（0，8）
P
o
6
A
（8，0）x
能力训练
3、点P(x,y)在第一象限，且在直线y=8-x上， 点A(6，0)，设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式； （2）当点P横坐标为5时， 求△OPA的面积？ （3）当S=12时，求P点坐标?
考纲要求：C（掌握） 教学目标： 1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交 点坐标的求法，会求出两直线交点坐标， 进一步体会函数、坐标、几何图形之间的 相互转化，在解决函数相关问题中的重要 作用. 2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的 面积的计算方法，体会一次函数的有关面 积问题的解决思路.
1、一次函数的图象是一条直线, 如何画出一次函数的 图象? 两点作图法
直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积是__8___.
B (2)直线经过点P(3，a)，求△OAP的面积?
P（3，1）
如何求△OBP
A
的面积?
二、由面积关系求点坐标
例2.已知直线y=kx+b与y轴交于点A（0，4），与x轴交于 点B,且△OAB的面积为4，求B点坐标。
解:∵直线与y轴交于点A（0，4）
y=2x-4
DA
O
2
x
EC
-4 B
这节课你学到了什么？
1、由一次函数解析式求面积
函数解析式
与坐标轴的 交点坐标
2、由面积关系求点的坐标
线段长
三角形面积
三角形面积 底或高 的长度
与坐标轴的 交点坐标
3.要掌握分类讨论，数形结合，转化的数学思想。
一次函数求三角形面积
一次函数求三角形面积在初中数学中，我们学习了很多重要的数学知识，其中包括数学基础、代数等等。
除此之外，还有一个重要的内容——三角形面积的计算。
今天，我们将要介绍一个方法来求解一个特殊的三角形的面积，那就是一次函数法。
首先，让我们来回顾一下，什么是一次函数。
一次函数是一种很常见的函数，其表达式一般形如y=kx+b。
其中，k和b分别为常数，x和y为变量。
一次函数也可以被称为一元一次方程。
它的图像是一条直线，而且是斜的。
接下来，在此基础上，我们将介绍如何用一次函数法来求解三角形的面积。
假设有一个三角形，已知其底边长为b，高为h，斜边长度为a。
我们可以借助初中数学中的勾股定理，得到a、b、h之间的关系式——a^2=b^2+h^2。
那么，我们可以将它化简为h=a^2-b^2的1/2。
此时，我们需要使用一次函数法，来将它转换为y=kx+b的形式。
因为我们已知底边长b和高h，因此可以得到这样一个一次函数式：h=-b^2+ax这时，我们就可以根据一次函数的式子，计算出关于x轴，平行于底边的面积。
也就是说，这个三角形的面积应该是：S=1/2 * a *(-b^2+0*a^2)/1进一步化简，就能得到这个特殊三角形的面积公式为：S=1/2*a*b^2*(1-(b/a)^2)^1/2通过这个公式，就可以轻松地求解特殊三角形的面积了！当然，这个方法并不是所有三角形都可以适用。
对于复杂的三角形，我们还需要使用其他方法，比如海伦公式等等。
但是，一次函数法对于一些特殊的三角形，是一种快速，高效的计算方法，可以极大地简化计算过程。
最后，在这里提醒大家注意，数学知识的学习并不能仅凭通过公式的记忆来完成。
正确的学习方法应该是要掌握其数学本质，了解其应用场景，理清其推导过程，这样才能真正做到事半功倍，事半而效倍。
人教版数学八年级下册第19章一次函数一次函数与三角形面积教学设计
5.小组合作任务：
-以小组为单位，选择一个复杂的实际问题，共同讨论并建立一次函数模型，求解三角形面积。
-每个小组需要在下节课上展示解题过程和结果，并分享在解决问题过程中的经验和体会。
作业布置时，我会强调以下几点：
-作业的目的是帮助学生巩固所学知识，提高解题能力，鼓励学生主动思考和探索。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会与学生一起回顾本节课所学的一次函数与三角形面积的关系，强调关键点和注意事项。此外，我会引导学生反思学习过程，总结自己在解决问题时的成功经验和不足之处，以便在今后的学习中取得更好的效果。
五、作业布置
为了巩固学生对一次函数与三角形面积的理解，提高其解决实际问题的能力，我设计了以下几项作业：
“已知一个三角形的底边长为10米，底边上的高为5米，且这个三角形与一次函数y=2x+1有关。请同学们讨论并求解这个三角形的面积。”
在讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的思维过程和方法，适时给予提示和建议，帮助他们突破难点。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计不同难度层次的练习题，以便让学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。以下是一个练习题示例：
4.掌握利用一次函数求解三角形面积的各种方法，如底乘高除以二、海伦公式等；
5.能够通过具体案例，理解一次函数的单调性及其在几何中的应用。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式培养探究与解决问题的能力：
1.通过小组合作和讨论，探究一次函数的性质和它在几何中的应用；
2.利用数形结合的方法，观察一次函数图像与三角形面积的关系，从中发现规律；
（二）教学设想
1.教学方法：
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积(教案)
举例：在求解一个三角形面积的问题时，首先要根据已知条件列出一次函数表达式，然后运用面积公式进行计算。如，给定三角形的一边长为x，这边上的高为kx+b，要求解该三角形的面积。
2.教学难点
-理解一次函数与三角形底边、高的关系：学生需要理解一次函数在三角形中的应用，如何表示底边与高的关系。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数与三角形面积的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册19.2.3一次函数与三角形的面积：
1.理解一次函数与三角形面积的关系；
2.掌握利用一次函数求解三角形面积的方法；
3.应用一次函数与三角形面积的关系解决实际问题。
具体内容包括：
-利用一次函数表示三角形底边与高的关系；
-函数值与实际意义的对应：在应用一次函数求解三角形面积时，学生需要明白函数值在几何图形中代表的实际意义。
-实际问题的转化：将实际问题抽象成数学模型，特别是涉及一次函数与三角形面积结合的问题。
举例1：在三角形面积问题中，学生可能会对一次函数的斜率k和截距b在几何图形中代表的意义感到困惑。教师需要通过具体实例解释，如斜率k表示高的变化率，截距b表示高在y轴上的起点。
一次函数与三角形面积
知识技能：会在直角坐标系中利用一次函数的解析式解决与一次函 数相关的面积问题。 过程与方法：通过探索与一次函数相关的面积问题的解法，提升一 次函数的应用的能力，体会“数形结合”，“转化”的思想。 情感与态度价值观：在探究函数面积的活动中，通过一系列富有探 究性的问题，形成与他人交流、合作的意识和探究精神。
教学重难点
教学重点：利用一次函数的解析式解决与一次函数 相关的面积问题。
教学难点：在坐标系中用割补法求三角形面积
一次函数与三角形面积（1）
一. 温故知新
1、点A（5，-3）到x轴的距离为 3 ，到y轴的距离 为 5 .点P（x，y）到x轴的距离为 |y| ，到y轴的距离
为 |x| .
2、如图：直线AB的解析式为 y=x+3. 3、一次函数y=2x+4的图象与x轴的交点坐为 (-2,0)， 与y轴的交点坐标为 (0,4) . 4、直线y=2x+1与直线y=x-2 的交点坐标为(-3,-5.)
问题探究，总结方法
例1: 如图，直线 l1 : y 2x 6与x轴，y轴分别交于点 A和点B.
求AOB的面积
解：当x =0时，y =6, ∴直线y=2x+6与y轴交于点A(0,6). 当y=0时,2x+6=0，∴x =−3, ∴直线y=2x+6与x轴交于点B(−3,0). ∴OA=6,OB=3.
归纳总结1:
如果三角形有一边在坐标轴上，直接用面积公式求面积：
归纳总结2: 如果三角形任何一边都不在坐标轴上，通常可以利用割补法 转化为有一边在坐标轴上（或者一边平行坐标轴）的几个三 角形面积之和（或差）：分割求和，补形作差。
小试身手
1.若直线y x 4与x轴，y轴分别交于A, B两点. (1)求AOB面积 （2）若P（3，a）也在直线上，求OAP面积.
一次函数面积的常见求法
一次函数面积的常见求法讲我们以一次函数中的面积问题为切入点，来看看其背后蕴含的丰富解法．一．问题分析我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？本讲就主要研究后2类问题及其变式．二．实例感悟(1)两线与一轴即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．例1：已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．分析：显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y 轴围成的三角形．小结：我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．变式1：直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．解析：变式2：在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．解析：同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D 的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．变式3：直线y＝kx＋3(k＜0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，OB：OA＝3：4，点C 为直线上一动点，若△AOC面积为4，求点C坐标．分析：首先，可知点B坐标(0，3)，OB＝3，则OA＝4，再根据k＜0，确定图像经过一二四象限，A(4，0)，从而可求直线AB的解析式，画出图像，我们发现，△AOC 以AO为底，则高要用点C纵坐标的绝对值来表示．解答：(2)三线两相交即三条直线两两相交，求出三条直线围成的三角形面积．其实，这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的面积．由于此时的三角形的底边均为倾斜的，这就需要用到一种全新的方法——铅垂法，或称宽高法来求三角形的面积．例2：已知直线OA经过一三象限，A为第一象限内一定点，动点B不在直线OA上，且BA，BO不与y轴平行，求S△OAB分析：显然，这时候的三角形OAB的底并不在x轴，y轴上，即便求出底边长，高依旧是倾斜的，十分难算，因此，我们可以考虑割补法．如果采用补，补成一个矩形，减去周围三个小三角形的面积那也是可以的，但在今后，尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时，点的坐标不能确定，就无法适用，所以今天重点介绍铅锤法．什么是铅锤法呢，就以例2来说，我们可以过点B作一条铅锤线，即作BD⊥x 轴，与OA交于点C，则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差，此时，铅垂线BC反而转化为底边，再过点A作AE⊥x轴，则OA水平方向上的距离：即OE的长，可以看作OD与DE的和，或差，此时OD 反而看作△OBC的高，DE看作△ABC的高，则△OAB的面积即可看成是解答：为了让大家更直观的理解，将6种情况全部展示如下，后三种与前三种类似，故只给图，“无字证明”，可对照消化．以上几种情况，属于用多题一解进行验证，均选取OA水平方向的OE长为水平宽，过点B作铅锤线，以B点与OA交点C之间的距离作为铅锤高，从而得出了宽高公式，说的再透些，那么，这个公式能否通过一题多解来验证呢，答案当然是可以的，就以第一种情况为例．以上三图，O、A、B三点的位置均不变，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅锤高，则问题均可圆满解决．例2：已知A(－1，3)，B(1，1)，C(2，2)，求S△ABC解析：本题是最基本的练习，现用宽高法的三种不同形式都计算一遍来检验下．分析：本题解法较多，我们重点来研究铅锤法．显然，这样的点Q有2个，在射线AB 上，或者射线AC上．因为点A的坐标可以确定，那么OA的水平宽可以确定，又因为三角形面积确定，则铅锤高也确定，则问题最后转化为一个方程即可解决．解答：小结：从2种情况综合来看，我们不难发现，铅锤高的长度，就是两直线解析式的差的绝对值，这个结论在初三还会有更大作用．当然，本题还可以先求出△OAB的面积，从而求出OBQ1的面积，确定Q1的坐标，同理，求出△AOC的面积，从而求出△OCQ2的面积，确定Q2的坐标．最后，你发现Q1，Q2关于A对称了吗？Q1A＝Q2A，A是它们俩的中点哦．。
一次函数背景下三角形面积问题
《一次函数背景下三角形面积问题》基于课程标准的教学方案设计【课题】《一次函数背景下三角形面积问题》【教材来源】义务教育教科书北京师范大学出版社 2014年版【内容】八年级数学上册（北师大版）75-101页【授课对象】八年级学生【设计者】董贝贝/新郑市正商外国语中学【目标确定的依据】1.基于课程标准的思考《数学课程标准（2011年版）》有关本课的要求是：能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能用一次函数解决简单实际问题.2.基于教材理解一次函数是北师大版教科书八年级（上）第四章内容．本节课为本章的专题课，安排1个课时完成．具体内容是：学生通过观察图形，能观察一次函数图象与坐标轴形成的图形的特点，从而将不同三角形的图形归类：（1）有一边在坐标轴上的三角形；（2）有一边平行于坐标轴的三角形；（3）三边与坐标轴没有特殊联系的一般三角形；学生会一次函数形成的不同三角形的面积的计算方法.一次函数与三角形面积的专题是又一个体现数与形结合的内容，它是将三角形放在坐标系中，学生根据函数表达式和点的坐标来完成三角形面积的计算，对学生的数学思维有很大提高.3.基于学情分析通过本章的学习，学生已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念，从数与形两个角度去认识一次函数的三种表示方式及图像的性质．感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法，能灵活运用一次函数及其图象解决实际问题．学生已经具备利用一次函数的图象解决实际问题，进一步去体会数形结合的思想方法.【学习目标】1.在一次函数背景下能归纳出求三角形面积的一般方法，并会计算三角形面积.2.经历分析图形、转化图形面积的过程，积累图形分析经验，发展直观想象能力.【学习重点】在一次函数背景下能归纳出求三角形面积的一般方法，并会计算三角形面积.【学习难点】能够通过转化解决较复杂的一次函数围成的三角形面积问题.【评价任务】1.借助小组讨论交流，能够归纳出求三角形面积的一般方法.2.通过学生展示，演板，规范几何语言，完成学以致用实现目标2。
专题：一次函数与三角形的面积
专题：一次函数与三角形的面积编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（专题：一次函数与三角形的面积）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为专题：一次函数与三角形的面积的全部内容。
专题：一次函数与三角形的面积（一）一、 两条边在坐标轴上1、已知直线y=2x-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求△AOB 的面积.二、一条边做坐标轴上2、求直线y=2x —6和直线y =-2x +2与x 轴围成的三角形的面积.变式1：求直线y=2x —6和直线y =—2x +2与y 轴围成的三角形的面积.三、没有边坐标轴上3、如图,直线经过点A （-2，m ），B (1，3)．（1)求k ，m 的值:（2)求△AOB 的面积．4、如图，直线经过点A （1，m ）,B （4,n ），点C（2，5）,求△ABC 的面积．53y kx =+112y x =+四、求多边形的面积5、如图,直线y =kx —2与x 轴交于点B ，直线y =x +1与y 轴交于点C ，这两条直线交于点A （2，a ）,求四边形ABOC 的面积．综合运用1、若y=（m —2）+m —1是一次函数.求（1)m 的值(2)函数解析式（3）直线与两坐标围成的三角形面积2．如图，直线l 1：y =—2x +4与x 轴、y 轴分别交于A ，B两点，直线l 2:与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．（1)求四边形ABCD 的面积；（2）设直线l 1，l 2交于点P ，求△PAD 的面积．专题：一次函数与三角形的面积(二）一、求解析式1、一次函数y =k x +b 的图象过点A （3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9,求该一次函数的解析式.变式1：一次函数y =k x +b 的图象过点A （0，3)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式。
初二数学,如何求一次函数与坐标轴围成的三角形面积,值得收藏
初二数学，如何求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，值得收藏
求一次函数与坐标轴围成的三角形面积的步骤：
方法一：
1、表示出直线与坐标的交点坐标；
2、根据面积，列出关于字母的等式，记住用坐标表示线段长度时要加绝对值；
3、最后结果一般情况是都要保留的。
方法二：
可以借助图像，特殊点的坐标，结合面积，求出三角形的另外一条直角边，然后确定点的坐标，再根据待定系数法求解析式。
例题1、已知直线y=-2x+b与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则b=
例题2、已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积是16，则k=
方法二：图像法
当x=0时，y=-4，得到直线与y轴的交点的坐标A （0，-4）；
所以OA=4；直线的k的正负性不确定，所以有两种情况（图中红色和蓝色的直线）。
例题3、已知一次函数的图象经过点(-2 , 0)，且直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则一次函数的解析式
图像法：
如图，根据题意，直线过点的坐标A（-2，0），所以OA=2；
直线的k的正负性不确定，所以有两种情况（图中红色和蓝色的直线）。
例题3，可以用方法一来解答。
先设解析式y=kx+b，把（-2，0）带入，得到k，b的关系，用含有k的式子表示字母b=2k，那么解析式变化为：y=kx+2k，接下来的过程和方法一的过程一样了。
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1、求函数与x 轴、y 轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形
的面积
2、如图14-2-3所示，一个正比例函数图象与一个一次函数图象交于点A （3，4），且OA=OB ．求：(1)这两个函数的解析式；（2）△AOB 的面积．
3、已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-
3
2
X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n 的值
、如图，已知一次函数的图象经过A （-2，-1），B （1，3）两点． （1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．
5、一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点
,且一次函数的图象与y 轴相交
于点(1)求这两个函数的解析式. (2)在同一坐标系内,分别画出这两个函数的图象.
(3)求出的面积.
6、已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．
8、.如下图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线
经过点，直线，交于点．
（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）
在直线上存在异于点的另一点，使得
与的面积相等，请直接写出点的坐标．
9、如图，已知直线：与直线：的图象的交点在第四象限，且点到轴的距离为。
（1）求直线的解析式。
（2）求的面积。
（3）在第一象限的角平分线上是否存在点，使得的面积是的面积的倍？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由。
10、如图，直线y=ax+b(a≠0)与y=x+1交于y轴上的点C，与x轴交于点B(2,0).(1)求a，b 的值；(2)设直线y=x+1与x轴的交点A，求△ABC的面积.
11、如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．
（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．
13、如图,一次函数y=-x+m的图象和y轴交于点B,与正比例函数图象交于点P(2,n). (Ⅰ)求m和n的值；(Ⅱ)求的面积.
13、正比例函数与一次函数的图象如图－7－2所示，它们的交点坐标为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.
(1)求正比例函数与一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积.
14、已知一次函数的图象经过、两点,且与x轴相交于C点.
(1)求直线的解析式;(2)求的面积.
16、某自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准.居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,其图象如图所示(1)当时,y与x的函数解析式(2)当时,y与x的函数解析式; (3)若某用户居民该月用水3.5吨,问应交水费多少元?若该月交水费9元,则用水多少吨?
17、某地出租车计费方法如图，（）表示行驶里程，（元）表示车费，请根据
图象解答下列问题。
（1）该地出租车的起步价是_____元。
（2）当时，求与
之间的函数关系式
（3）若某乘客有一次乘出租车的里程为，则这位乘客需付出租车车费多少元？
18、超市预购进、两种品牌的恤共件，已知两种恤的进价如表所示，设购进种恤件，且所购进的两种恤全部卖出，获得的总利润为元。
（1）求关于的函数关系式。
（2）如果购进两种恤的总费用不超过元，那么超市
如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润。
（提示：
）
19、某渔业公司组织辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共吨去外地销售。
按计划辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据表格提供的信息，解答问题。
1）设装运鲢鱼的车辆数为辆，装草鱼的车辆数
为辆，求与之间的函数关系式。
（2）如果装运每种鱼的车辆数都不少于辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大的利润。
20、某校运动会需购买A,B两种奖品,若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需80元,若购
买A种奖品5件和B种奖品4件,共需150元. (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元? (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件,购买费用不超过1375元,且A种奖品的数量不大于B 种奖品数量的4倍,设购买A种奖品m件,购买费用为W元,写出W(元)与m(件)之间的函数关系,求出自变量m的取值范围,并确定最少费用W的值.
21、我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动,各类门票价格如下表:
票价种类(A)夜场票(B)日通票(C)节假日通票
单价(元)80120150
某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生,设购买A种票x张,B 种票张数是A种票的3倍还多7张,C种票y张,根据以上信息解答下列问题:
(1)直接写出x与y之间的函数关系式;
(2)设购票总费用为W元,求W(元)与x(张)之间的函数关系式;
(3)为方便学生游玩,计划购买学生的夜场票不低于20张,且节假日通票至少购买5张,有哪几种购票方案?哪种方案费用最少?
22、贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神。
某校特制定了一系列关于帮扶、两贫困村的计划。
现决定从某地运送箱鱼苗到、两村养殖，若用大小货车共辆，则恰
好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为箱/辆和箱/辆，其运往、两村的运费如表所示。
（1）求这辆车中大小货车各多少辆。
（2）现安排其中辆货车前往村，其余货车前往村，设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，试求出与的函数解析式。
（3）在（2）的条件下，若运往村的鱼苗不少于箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用。