第二章复变函数的积分

对于单通区域，境界线的正方向为逆时针方向。 对于复通区域，外境界线的正方向为逆时针方 向，内境界线的正方向为顺时针方向.
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复通区域的柯西定理
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则：
n
∫ f (z)dz + ∑ ∫ f (z)dz = 0
l
i=1 li
L
L
L
∫ f (z)dz = − ∫ f (z)dz
AB
BA
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz
反转积分路径、积分结果变 号 (因为Δz→- Δz，对于挖 除奇点很有用)
AC
AB
BC
全路径上的积分等于各段积 分之和
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积分结果是否与路径有关？
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计算路积分的例子
沿路径1积分
我们采用如下数值积分公式：
n
∫ ∑ 1、 f (z)dz ~ f (zk )(zk − zk−1)
l
k =1
∫ ∑ 2、
l
n
f (z)dz ~
k =1
f
( zk
+ zk −1 2
)( zk
−
zk −1)
数值积分公式有很多不同的形式， 不同公式的精度差别很大。
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公式2精度更高
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路积分实验结果小结
如果被积函数是非解析函数，积分结果一 般和路径有关。
如果被积函数是解析函数，且两条路径围 成区域内没有奇点，积分结果应相同。
如果被积函数是解析函数，且两条路径围 成区域内有奇点，积分结果可能不同，但 也可能相同。实际上，这与该函数在奇点 出的性质有关。
∫b
疑问：对于解析函数，zdz
扑朔迷离
公式1+路径1 s=(-2.000002E-2, 3.141526)
公式2+路径1 s=(-2.235211E-8, 3.141626)
公式1+路径2 s=(-2.000002E-2,-3.141526)
公式2+路径2 s=(-2.235211E-8,-3.141626)
不同路径结果不同。前面的猜想有问题？
在0 → 1段，有dz = dx；
在1 → 1+ i段，有dz = idy，x = 1.
∫ 因此0 → 1段，I = 1 xdx = 1 .
0
2
1
1 → 1+ i段，I = ∫1⋅idy = i
0
整个积分结果：I1
=
1 2
+
i
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路径2的情况
对于路径2上的线积分 :
在0 → i段，dz = idy，被积函数 Re z = x = 0；
第二章 复变函数的积分
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函数的积分如何定义？
b
考虑实函数的积分I = ∫ f (x)dx， a
从a到b区间划分无数小段，横坐标为x0 , x1,...xn
∑ 则I ~ f (ξn )Δxn，其中ξn为xn到xn+1间一点，Δxn = xn+1 − xn n
等间距划分时Δxn为常数。
在i → 1+ i段，dz = dx，被积函数 Re z = x.
所以,
∫ ∫ I1
=
1 0
0 ⋅idy
+
1 0
xdx
=
1 2
沿着两条不同路径积分，得到结果并不相同。
可见一般的复变函数积分值不仅和起点终点有关，
还和积分路径有关。注意到本例中被积函数不是解
析函数，如果是解析函数结果又会如何？
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解析函数的例子
其中，l为区域外境界线，li为区域内境界线，积分 沿各境界线的正方向进行。
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如何证明单通区域柯西定理？
首先，将积分写成实变函数的形式：
∫ f (z)dz = ∫ u(x, y)dx − v(x, y)dy + i∫ v(x, y)dx + u(x, y)dy
l
l
l
下面如何进一步推导？
∫ f (z)dz = 0
l
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我们目前能用的工具并不多。上一章中 “包治百病”的柯西-黎曼(C-R)条件还 能用吗？ 如果要使用C-R关系，那么需要先化为偏 导的形式，如何实现？
分量形式
利用z=x+iy, f=u+iv，根据路积分的定义， 容易将其化为实函数u和v的线积分。
∫ f (z)dz = ∫ (u + iv)(dx + idy)
l
l
= ∫ u(dx + idy) + iv(dx + idy) l
= ∫ udx + iudy + ivdx − vdy l
= ∫ u(x, y)dx − v(x, y)dy + i∫ v(x, y)dx + u(x, y)dy
例如，前面讨论的例子f(z)=1/[z-(0.5+0.5i)]， 原函数为F(z)=ln[z-(0.5+0.5i)]为多值函数， z=0.5+0.5i是其支点，当路积分路径扫过这点 时，积分结果便会改变。如果积分路径没有 扫过这个点，那么积分结果就保持不变。
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几种情况的程序演示
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1+i
1
∫ ∫ 积分值 = (x2 − y2 + 2xyi)dz = 2x2i(1+ i)dx
0
0
∫ =
2(i
1
−1)
x 2 dx
=
−
2
+
2
i
0
33
路径2结果和路径1积分结果相同。如果我们继续取 其他路径进行积分，仍然会得到相同结果。
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路积分与路径的关系
从上面的例子可以看到，某些路积分问题结 果与路径有关，而某些则与路径无关。
n
∑ f (ζ k )(zk − zk−1)
k =1
当n→∞且每一段都无限缩短时，如果这个和的极 限存在，且与各ζk选取无关，则这个和的极限称 作函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记作：
n
∫ ∑ l
f (z)dz = lim n→∞ k =1
f (ζ k )(zk − zk−1)
3
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奇点引起的问题？
前面的例子被积函数f(z)=z2不 存在奇点，而本例中的被积函 数f(z)=1/[z-(0.5+0.5i)]虽然在 两条积分路径上均解析，只是 在两条路径围成的区域中存在 一个奇点(0.5+0.5i)。难道是 它对积分结果有影响吗？
我们需要更多的实例来寻找规律
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∫
l
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
∫∫
S
⎜⎜⎝⎛
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
⎟⎟⎠⎞dxdy
其中线积分的积分方向为正方向。
பைடு நூலகம்
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单通区域柯西定理的证明
∫ f (z)dz = ∫ u(x, y)dx − v(x, y)dy + i∫ v(x, y)dx + u(x, y)dy
l
l
l
将格林公式∫ l
Pdx
数值测试有盲人摸象的感
觉，其实这些结果可以很
好地用柯西定理来解释。
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单通区域的柯西定理
如果函数f(z)在闭单通区域(区域加境界线) B 上解 析，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲线l (可以是边 界)，有：
条件可放宽为：
∫ f (z)dz = 0
l
在单通区域B上解析， 在闭单通区域B 上连续
无论沿顺时针还 是逆时针方向结 果均为0。由柯 西定理不难导出 解析函数路积分 的路径无关性。
0
0
3
在1 → 1+ i段，x = 1，我们有：
1
∫ 积分值 = (x2 − y2 + 2xyi)idy
0
∫ =
1
i
(1 −
y2
+
2 yi)dy
=
2
i
−1
0
3
所以，总的结果I = − 2 + 2 i 33
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路径2的情况
被积函数z2 = x2 − y2 + 2xyi
在路径2中，dz = (1+ i)dx，y = x，有：
注意到两个例子分别是非解析函数和解析函 数。是否非解析函数积分结果与路径有关而 解析函数的积分结果与路径无关？
实际上对于第2个例子，如果定积分公式适用，那么：
∫1+i z 2 dz
=
z3
1+i
=
(1+ i)3
=
−
2
+
2 i，显然应和路径无关.
0
3
3
0
33
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再找一个例子来验证
积分路径和例子1相同，被积函数 变为一个分式：
对于一元实函数的积分，只 需给出积分上下限整个积分 路径就确定了。而复变函数 的情况就要复杂一些。
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以上过程可推广到复平面上，我们可以 沿着复平面上的AB之间的任意一条路径 进行积分。
这里Δz=zk-zk-1往往是各处不同的。 2
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路积分的定义
设在复平面的某分段光滑曲线l上定义了连续函数 f(z)，在l上取一系列分点z0(起点A)，z1，z2，...， zn(终点B)，把l分成n段，在每一小段上任取一点 ζk，作和：
l
l
归结为两实函数的线积分，分别对应于路积分的实部和虚部
4
路积分的一些基本性质
由积分过程的线性特点，有：
∫ Cf (z)dz = C∫ f (z)dz
常数因子可以移出积分号
L
L
∫ ∫ ∫ [ f1(z) + f2 (z)]dz = f1(z)dz + f2 (z)dz

函数的和的积分等于各个函 数的积分之和
试计算以下路积分，积分路径如下图所示。积分 路径也是z=0至z=1+i。
I = ∫ z2dz l
这里被积函数z2是 一个解析函数。
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路径1的情况
被积函数z2 = x2 − y2 + 2xyi
路径1的积分：
在0 → 1段，y = 0，我们有：
∫ ∫ 积分值 = 1 (x2 − y2 + 2xyi)dx = 1 x2dx = 1
+
Qdy
=
∫∫
S
⎜⎜⎝⎛
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
⎟⎟⎠⎞dxdy代入，可得：
∫
l
f
( z )dz
=
−
∫∫
S
⎜⎜⎝⎛
∂u ∂y
+
∂v ∂x
⎟⎟⎠⎞dxdy
+
i
∫∫
S
⎜⎜⎝⎛
∂u ∂x
−
∂v ∂y
⎟⎟⎠⎞dxdy
现在可以使用C - R条件了，将
∂u = ∂v , ∂u = − ∂v ∂x ∂y ∂y ∂x
I
=
∫
l
z
1 − (0.5 +
0.5i)
dz
本例直接解析计算较繁琐，我们 采用数值方法。
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数值计算路积分
implicit none complex*16 s, z, dz, f complex*16 :: I=(0,1) integer :: n z=0 s=0 do n=0, 99
dz=0.01 f=1/(z-(0.5,0.5)) s=s+f*dz z=z+dz end do do n=0, 99 dz=0.01*I f=1/(z-(0.5,0.5)) s=s+f*dz z=z+dz end do print*, "z=",z, "s=",s e3n/1d7/2012
p.24 例 计算路积分I = ∫ Re zdz ，积分路径如下图所示。积
分路径为z=0至z=1+i。l
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关键问题：dz的形式，不同路径dz不同。
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路径1的情况
由于z = x + iy，有 :
被积函数 Re z = x，dz = dx + idy.
对于路径1的路积分：
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继续实验
被积函数I
=
∫
l
z
−
1 (0.5 − 0.5i)
dz
同样有奇点，但位于路径围成区域之外
公式1加路径1： S=(0.804720, -1.10717) 公式1加路径2： S=(0.804720, -1.10714)
两结果相同。是否奇点在内就会有 影响，在外就没影响？
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继续实验
=
z2
b
之类的积分公式是否能用？
a
2 a
如果能用，为什么还会和路径有关？
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谜底在于多值函数
对于解析函数路积分，此类积分公式仍然可 用。但是，某些积分结果将是多值函数。此 时，虽然结果仍然是F(b)-F(a)，但F的取值就 和具体路径有关，不同路径出现不同结果也 就不足为奇了。
再换一个路积分：
∫ I
=
l
[z
1 − (0.5 +
0.5i)]2
dz
公式2+路径1 s=(-2.000033, 2.000033)
公式2+路径2 s=(-2.000033, 2.000033)
这个积分函数也在围成区域内存在奇 点，但两路径的积分结果却相同。
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代入上式，可得积分值 = 0。柯西定理得证。
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奇点对解析函 数的性质有非 常大的影响。
复通区域
单通区域内可能存在一些奇点，不解析甚至函数 值不存在。把这些点附近的区域挖去，剩下的区 域通常就变成了复通区域。
境界线的正方向 当观察者沿着这个方向前进 时，区域总是在观察者的左边。
多元积分中线积分的格林公式可做 到这一点。
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线积分的格林公式
数学上有好几个格林公式，这里需要用到的是线 积分的格林公式。
利用此格林公式可以实现回路线积分和二重面积 分之间的相互转换。线积分化为二重积分后，被 积函数的形式也会发生变化 (变为一阶偏导)
设l为逐段光滑的简单闭合曲线，围成单连通有界区域S， 若函数P(x, y)、Q(x, y)及它们一阶偏导在S + l上连续， 则有：