对数公式及对数函数的分析总结

对数运算和对数函数

对数的定义

①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．

②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x

a x N a N a a N =⇔=>≠>。

常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质

类型一、对数公式的应用

1计算下列对数

=-3log 6log 22 =⋅3

1log 12

log 2

22

2

=+2lg 5lg =61000lg

=+64log 128log 22 =⨯)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384

=++3log 23log 2242 =⋅16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333

=++c b a 842log log log =+++200

199lg 43lg 32lg

Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222

2 对数的值：

18lg 7lg 37lg

214lg -+- =-+-1)21

(2lg 225lg

1

3

341log 2log 8⎛⎫

-⨯ ⎪⎝⎭

提示：对数公式的运算

如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么

（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a

M

M N N

-= （3）数乘：log log ()n

a a n M M n R =∈ （4）log a

N a N = （5）log log (0,)b n a a n

M M b n R b

=≠∈

（6）换底公式：log log (0,1)log b a b N

N b b a

=

>≠且 （7）1log log =⋅a b b a （8）a b b a log 1log =

类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=

x x

x x f 的定义域是

2设()x x x f -+=22lg

，则⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为

3

函数()f x = ）

类型三、对数函数中的单调性问题

1函数2

()lg(43)f x x x =-+的单调递增区间为

2函数)23(log 2

5.0+-=x x y 的递增区间是

3若函数2

2log ()y x ax a =---

在区间(,1-∞上是增函数，a 的取值范围。

4不等式1)12(log 3≤-x 的解集为

5设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅，且x 满足241740x x -+≤，求()f x 的最大值。 类型四、对数函数中的大小比较

1已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

2已知4log ,3log ,2log 543===c b a ，比较c b a ,,的大小关系 3设323log ,log 3,log 2a b c π===，则c b a ,,的大小关系

4若0>>b a ，10<

a c c > 5若1>a ，且y a x a

a y a x

log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ）

类型五、对数函数求值问题

1已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(2

2b f a f

2解方程08log 9log log )(log 3222

2=⋅--x x

3已知1>>b a ,若2

5log log =+a b b a ，a

b b a =，则a ，b 。 4已知函数2log log )(32+-=x b x a x f ，若4)2014

1

(=f ，则)2014(f 的值为____

类型六、对数函数中的分段函数问题

1设函数()()12

32 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，

，

，则()()2f f 的值为（ ） 2已知21()0()2log 0x

x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，，

，，

≤则21(8)(log )4f f +=___ ________.

3已知函数()f x 满足：当4≥x ，则()f x ＝1()2

x

；当4

提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题 类型七、对数函数中含参数问题 1若11

12

log <-a a

，则a 的取值范围是 ． 2 若关于x 的方程4)lg()lg(2

=⋅ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围。

3函数)00(log )(≠>=a a x x f a 且，当),2[+∞∈x 时，1|)(|≥x f ，则a 的取值范围是（ ） 4设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1

2

，则a = 类型八、对数函数中的图像问题 1

当1a >时，函数

x x f a log )(=和

x a x f )1()(-=的

图象只

可能是( )