一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

（一）一维运动自由粒子的薛定谔方程

波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程．

将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程：

ψ-=∂ψ∂)/iE (t 即ψ=∂ψ∂E t i （16.3.1）

ψ=∂ψ∂22)/ip (x 2

ψ=ψ∂-2222

p

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v

方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程．

请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式❶．

这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明．

（二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程❶❷❷❷

上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即

〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4）

将此式代入（16.3.3）式得：

222dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -=

两边除以ψ=uf 得：

222dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -=

此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即

❶ 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版.

❶ 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版.

❷ 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.

（16.3.8） （16.3.9） E dt df f 1i = E dx u d u 1)m 2/(222=- （16.3.5）

因此，一个偏微分方程（16.3.3）可分解成两个常微分方程（16.3.5）以求解．如〔附录16C 〕所示，（16.3.5）式的E 就是粒子的能量E ．上述两个常微分方程的解分别为：

〔时间波函数f （t ）〕 /iEt Ce )t (f -= （16.3.6）

〔空间波函数u （x ）〕 （16.3.7）

将上式的待定常量C 合并到A 和B 中，便可得到下式：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<函数和几率密度的定态波子一维运动自由粒)c (v

从此式可知，特解ψ=uf 使得几率密度|ψ|2与时间t 无关，这是粒子的几率分布与时间无关的恒定状态，因此称为定态．

ψ=uf 称为定态波函数，其中空间部分u （x ）可称空间波函数，时间部分f （t ）可称时间波函数．

如（16.3.9）式所示，定态的几率密度|ψ|2决定于空间波函数u ，与时间波函数f 无关．（16.3.5）式中空间波函数u 满足的方程，称为定态薛定谔方程，此方程重写如下： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<的定态薛定谔方程一维运动自由粒子)c (v （16.3.10） （16.3.7）式表明，空间波函数u （x ）的表式中有三个待定常量A 、B 、α，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定．下面就要介绍确定常量A 、B 、α的一个实际例子．

（三）一维矩形深势阱中，自由粒子的薛定谔方程定态解

（1）金属中自由电子的运动

金属中自由电子的运动，假设可简化为自由粒子的一维运动．在外界条件不变的情况下，可设想自由电子的几率分布是恒定的，不随时间而变．这就是上述定态的一维运动自由粒子的一个例子．上述（16.3.3）至（16.3.10）诸式均可应用于此例子．上述待定常量A 、B 、α，可按此例的边界条件和归一化条件确定之．

（2）边界条件确定常量B 与α

上述自由电子只能在金属中运动，可设定它的运动范围为0＜x ＜b ．在此范围内，设它的势能为零，即E p =0，E=E k ．在此范围外，它的势能必须达

到无限大，即E p →∞，E →∞．所谓E p →∞，就是用势能条

件表示自由电子不能越出金属之外，也就是说，这些自由电子被

限制在矩形无限深势阱中运动，如（图16.3a ）所示．

按几率来说，在金属表面以外没有自由电子，就是说，在x

≤0和x ≥b 的范围中，这些电子的几率密度|ψ|2=0．因此，在此

范围中，波函数ψ=0，u=0．这就是边界条件，或称边值条件．

/mE 2x cos B x sin A )x (u =+=ααα

222/iEt |u |x cos B x sin A e )x cos B x sin A ()t (f )x (u )t ,x (=+=ψ+===ψ-αααα ()

0Eu /m 2dx u d 222=+

（16.3.16） （16.3.17） 将此边值条件代入（16.3.7）式便可确定B 与α的数值，计算如下：

在x=0处：u （0）=Asin0°+Bcos0°=B=0 （16.3.11）

∴u （x ）=Asin αx （16.3.12）

在x=b 处：u （b ）=Asin αb=0，αb=n π

即α=n π/b ， n=1,2,3,…… （16.3.13）

∴ψ（x,t ）=Asin （n πx/b ） /iEt e - （16.3.14）

在（16.3.13）式中，u （b ）=0不选用A=0的答案．这因为A=0，则u （x ）=0，|ψ|2=0．这是x 等于任何数值，都使

|ψ|2=0的不合理答案．

在（16.3.13）式，不选用n=0的答案．因为n=0则α=0、u （x ）=0、|ψ|2=0，这也是处处都没有电子的不合理答案．

在（16.3.13）式，如果选用n=－1,－2,－3，……所得ψ值，与选用n=1,2,3,……求得的ψ值，绝对值相等、正负号相反．因此，在计算|ψ|2时，不必要保留n 的负值．

（3）归一化条件确定常量A

将波函数表式（16.3.14）代入归一化条件式（16.2.11），按上述一维情况进行积分，并考虑到自由电子只在0＜x ＜b 范围内运动，可得结论如下：

1dx x sin A dx dx 2b 0 2b 0 2 ==ψ=ψ⎰⎰⎰

∞∞-α

即()()[]=

-=-=⎰b 022b

0 2x 2sin )4A (2b A dx x 2cos 12A 1ααα

()[]2b A )b x n 2sin(n 4b A 2b A 2b 0 22=ππ-=． b /2A 2=∴， b /2A = （16.3.15）

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<ψ的定态波函数自由粒子中一维无限深矩形势阱)c (v ,

（四）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的几率分布

从（16.3.17）式可得上述自由粒子的几率密度|ψ|2的表式：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的几率密度自由粒子中一维矩形深势阱)c (v , （16.3.18）

上述空间波函数u 和几率密度|ψ|2的图线，如（图

16.3b ）所示．

自由粒子的运动范围限制在0＜x ＜b ，因此

（16.3.18）式的角度αx=n πx/b 的变化范围为0＜α

x ＜n π．

当量子数n=1时，u 1（x ）=)b /x sin(b /2π；

,3,2,1n ,b x 0),b /x n sin(b /2)x (u ,e )b /x n sin(b /2)t ,x (/iEt =<<π=π=ψ- b x 0 ,,3,2,1n )b /x n sin()b /2(u 2

22<<=π==ψ