24.1.2垂直于弦的直径课件(用)解析

实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
O
C
B O
A D
AD
思考并猜想：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
活动三
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E，沿着直径CD折一
折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？
为什么？
C
线段： AE=BE
弧：
⌒⌒ AD=BD.
⌒⌒ AC=BC
·O
E
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
练一练
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
AE 1 AB 1 8 4
A
E
B
22
在Rt △ AOE 中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
变式： 图中两圆为同心圆
O
变式1：AC与BD有什么关系？
P A C
DB
变式2：隐去（变式1）中的大圆， 得右图连接OA，OB，设OA=OB， AC、BD有什么关系？为什么？
O
AC
P
DB
变式3：隐去（变式1）中的小
O
圆，得右图，连接OC，OD， 设OC=OD，AC、BD有什么关 A C P D B
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
②CD⊥A百度文库,
④AC=BC ,
⑤ AD=BD ,
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O
A
E
D
O
B
A
E
D
A
B
O
E
B
D C
O O
A
E
B
A
D
E
B
A
O
E
B
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
1 2
AB
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
·O
A
D
B
1.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M 在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的
取值范围是__3___O__M____5__
O
AM
B
2.如图直径为52cm的圆柱体油槽的横截面， 装入油后，油深CD为16cm，那么油面宽
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
3.如图，已知AB是⊙O的直径，
弦CD⊥AB于点E，BE＝
4cm，CD＝16cm，求⊙O的
半径.
A
O
C
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
Ｃ
几何语言表述
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
由 ① CD是直径
Ｄ
② CD⊥AB
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
可推得
③AM=BM,
④ AC=BC, ⑤ AD=BD.
F
P
M
E
AD
O
C B
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是___2cm 或14cm.
（1）.两条弦在圆心的 同侧
A
●O
B
C
D
（2）.两条弦在圆心的 两侧
A
B
●O
C
D
练习
如图, △ABC的三个顶点在⊙O上，
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
定理理解：
已知 直径垂直弦 结论 直径平分弦、平分弦所对的弧
O·
转化为数学符号： CD是直径，AB是弦
CD⊥AB
A
E
B
D
可推得
AE=BE,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
即并直 且径 平分CDA⌒垂B直 及于A⌒C弦BAB，平分弦AB,
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 Ａ⌒Ｂ 表示主桥拱，AB 设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
ED
B
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦 直径垂直于弦=>
直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧
常用辅助线: 垂直于弦的直径
4.已知：如图，∠PAC= 30° ，在 射线AC上顺次截取AD=3cm， DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射 线AP于E、F两点，求圆心O到AP 的距离及EF的长。
§ 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第1课时）
重点：垂径定理及其推论
难点：垂径定理及其推论的题设和 结论的区分
知识点: 1.圆的对称性 2.垂径定理及其推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代 人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.
度AB＝_____4__8_cm.
O
AD
B
C
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
系？为什么？
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
∵ OE⊥AC OD⊥AB
∴
AE
1 2
AC，AD