水工及河工模型试验

3.2 模型试验相似理论
2 相似第二定理（相似逆定理）
定理描述：对于两个同类物理现象，如果它们的定解（单 值）条件相似，而且由定解条件物理量所组成的相似准数 相等，则现象必定相似。 相似第二定理是关于相似条件的定理 文字上由完全相同的方程式所描述；(必要条件)
定解条件相似；(必要条件)
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
一、方程分析法
微分方程式 定解条件
v v du v F Ma M dt
相似变换
相似准数
例1：牛顿相似准数推导
F t 1 m u
3 l
Ft Ft idem K Mu P Mu m
m V
水工模型试验
水工与河工模型试验理论基础
3.1 相似现象及相似概念
一、相似的定义及含意
定义： 两个物理体系的形态和某种变化过程相似，即不仅 静态相似，动态也相似；形式相似，内容也相似。 相似的三种含意 同类相似（相似，Similitude） 异类相似（模拟，Analogy） 变态相似（差似，Affinity） 相似： 在几何相似的系统中，各相应点上发生着物理本 质相同的过程，并可用相同的物理方程来描述。 模拟：两个体系的物理性质不同，但遵循同一数学规律， 通过对一种物理现象的研究去了解另一物理现象的方法。
Nn ) 0
f (1 , 2 ,
nm ) 0
r r du p Fp M p dt p
r r u dum F Fm M M m t dtm
Ft Ft （相似准数） idem K Mu P Mu m
3.2 模型试验相似理论
相似第三定理实际上就是模型试验结果如何整理、 推广到原型的理论。
相似理论的意义 相似理论实质上是指导模型试验的理论。 按照相似理论，我们在模型试验中，必须满足 定解条件相似，必须使相似准数相等，应当采 集相似准数中所包含的各个物理量，并且将试 验成果整理成相似准数之间的函数关系式，这 样才可以将它们推广到原型中去。
p 1 pm u 2 2 g g zm1 p 2 u m zm u u u u zm u ym 2 m zm zm xm z l m m u l g zm m zm u z xm ym 2z m m u u u2 m u u zm zm xm zm ym l zm xm ym
l1 l2 dl lim l , dl l 0 l1 l2
dt t dt
dl dt
dl l dt t
du l du t
da l 2 da t
3.1 相似现象及相似概念
3 动力相似 定义：两个几何相似体系中，对应点上的所有作 用力的方向相互平行，大小成同一比例。
由此可以导出有关的五个比尺和相似准则：
运动方程(雷诺方程):
2 u u ux ux u x u x u 1 p xu y 2 x xu z ux uy uz gx ux t x y z x x y z 2 u y u y u y u y u u u u u 1 p ux uy uz gy 2u y y y z y x y t x y z y z x 2 u u u u u z u z u z u z u 1 p z y ux uy uz gz 2 u z z z x t x y z z x y z
定义各比尺: u , t , g , , , p , u
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
几何相似
x y z l
u xm u ym u zm u xP u yP u zP 原型： 0 模型： 0 x p yP z P xm ym zm
3.1 相似现象及相似概念
二、力学系统相似的基本条件
1 几何相似
含意：两个体系（原型与模型）彼此所占据空间的对应尺 寸之比为同一比例常数。 正态相似： x y z l 变态相似： x y z x z 变率：
2 运动相似
定义：指两体系中对应的两个质点沿着几何相似的轨迹运 动，在互成一定比例的时间内通过一段几何相似的路程， 即两个体系动态相似。
tm
xm
ym
zm
2 u u2 u u zm u ym zm zm u xm 2 u zm xm ym
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
u2 以 除各项，并与模型的方程比较，可得 l g l p l u2 2 2 1 2 u t u u u l u
F 1 2 2 l u
F F 2 2 2 2 idem Ne l u P l u m
3.3 水动力现象相似准数的确定方法 例2：三维紊动水流的相似准数
连续性方程:
u x u y u z 0 x y z
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
原型:
u zP u zP u zP u zP u xP u yP u zP t P xP yP z P
2 u u u 1 pP zP u yP 2 zP u xP zP g zP P u zP P z P xP yP z P
l u zm u2 以 除各项得： t u tm l
u zm u zm u zm u xm u ym u zm xm ym zm g l p 1 pm 2 g u zm zm m 2 2 u u m zm l u
两体系运动相似，要求相似指标等于1，或相似准数等于某 一常数。物理量比尺之间相互制约，不能全部任意指定。
3.1 相似现象及相似概念
以微分形式出现的物理量，其比例常数之间关系 与一般量之间的关系相同。
l1 l2 l l1 l2
l1 l2 l l l1 l2 l l l1 l2 l1 l2
301 u12 u12 u01
l u
t01 t12 t12 t01 a01 a12 a01 a12
t a
3.1 相似现象及相似概念
t t t ,
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
2 u u zm u u zm u u zm u zm u 原型: u zm u zm u u zm zm zm u xm ym u u u t tm xm l ym xm ym zm zm
v v du v 例：牛顿相似律： F Ma M dt r r r r du p dum F M 原型： p 模型：Fm M m p dt p dtm
相似变换
r Fp F r , Fm
m
Mp Mm
,
r up tp u r , t um tm
F t （相似指标） 1 m u
模型:
u zm u zm u zm u zm u xm u ym u zm tm xm ym zm
2 u u u 1 pm zm u ym 2 zm zm u xm g zm m u zm m zm xm ym zm
Ft Ft （相似准数） idem K Mu P Mu m
3.2 模型试验相似理论
相似第一定理说明了相似现象所具有的性 质:
相似现象由文字上完全相同的方程所描述；
相似现象对应空间点相应时间的同名物理量的 比值为常数； 各同名物理量的相似常数不可以全部任意指定， 它们之间受制于一个或几个相似准数。
l01 u01 t01
r r l l l ,
u uu,
u01 l01 u t01 u01
r r a a a
l l01 t t01
l 01 u 01 t 01 u t 1 （相似指标） l
ut ut （相似准数） idem K l p l m
u u zm u2 u zm u zm u zm u xm u ym u zm t tm l xm ym zm p 1 pm u g g zm 2 m 2u zm l m zm l
2 u u2 u u zm u ym zm zm u xm l zm xm ym
r r F F F
F F F F F F
I g D
e
惯 性 力
重 力
粘 滞 力
摩 阻 力
表 面 张 力
弹 性 力
3.2 模型试验相似理论
1 相似第一定理（相似正定理,1686,牛顿）
定理描述：彼此相似的物理体系应由同一方程式描述，各变 量之间保持一定的比例，其相似指标为1或它们的各种相似准 数的数值相等。
u u x u u y u u z 原型： 0 xm ym zm
x m y m z m l l l
l 两边同乘以 u
x y
u u x u u y u z 0 u xm u ym zm
x m y m m z z
z
u u u u
• 定解条件：几何条件、介质物理性质、边界条件、 初始条件。
由定解量所组成的相似准数相等。（充分条件）
3.2 模型试验相似理论
3 相似第三定理（π定理）
定理描述:表示物理过程的微分方程式可以转换为 由若干个无因次的相似准数组成的准数方程式。