数值分析课设论文

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பைடு நூலகம்一章 方程组的性态分析
对方程组的性态分析有助于我们在科学中的研究和解决实际问题，在解方程组 时，有必要先对方程组的性态进行研究，采用相应的算法，才能得到比较精确地计 算接.利用方程组的条件数来判断就是一个很好的办法.本章我们会对方程组的性 态及其相关概念进行简述.
§1.1 矩阵的条件数
条件数是判定方程组性态的一种粗略的衡量工具.条件数越大，解的相对误差 就越大，方程组的病态现象越明显.条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感 性.矩阵的条件数与范数有关.本节我们会对条件数的相关概念进行分析.
v
A （ v 1,2 或 ）为矩阵 A
v
§1.1.2 常用的条件数
（1） cond A A1 （2） A 的谱条件数

A

；
cond A2 A
A1
2
max AT A . min AAT
2
§1.1.3 条件数的性质
性质 1.1 对任何非奇异矩阵 A ，都有 cond Av 1 .事实上，
学校代码 学 号
10128 201220905048
课程设计说明书
题 学 班 目 ： 方程组的性态研究及算例分析 院： 理学院 级 ： 信 计 12-2
学生姓名：孙 跃
指 导 教 师 ： 曹艳 任文秀
2014 年 1 月 16 日
摘要
线性方程组的求解是数值分析课程中最基本、最重要的内容之一.方程组的性 态有病态和良态的区分.良态方程组用 Gauss 消去法和 Jacobi 等简单的方法就可以 得到比较好的计算解， 而对于病态方程组， 一般的直接法和迭代法会有较大的误差， 甚至严重失真.在解方程组时，有必要先对方程组的性态进行研究，采用相应的算 法，才能得到比较精确地计算解.利用方程组的条件数来判断就是一个很好的办法. 本次课程设计中，第一章通过对矩阵条件数的引入，对方程组的性态进行了分 析，通过具体算例对病态方程组和良态方程组进行剖析 .在第二章中通过对病态方 程组产生的原因进行分析，引出了病态方程组的危害，进而对病态方程组的预处理 和求解的改进方法进行了讨论.此外，在附录中还对 Hilbert 矩阵病态问题的计算 方法进行分析，并借助 MATLAB 程序进行了上机实现，对问题进行了更为直观的分 析.本次课程设计的目的是通过改进病态方程组的解法，体现数值计算在解决问题 时的实际意义.
引言
方程组的性态研究是数值计算的一个重要课题.方程组的性态有病态和良态的 区分.本次课程设计的目的是改进病态方程组的解法. 线性方程组的求解是数值分析课程中最基本、最重要的内容之一.性方程组的 求解有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代法.直接方法有 Gauss 消元法、LU 分解法、 平方根法和追赶法； 迭代法有 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 方法. 一个线性方程组 Ax b ，若右端向量 b 或系数矩阵 A 的微小变化就会引起方程 组解发生很大的变化，则称 Ax b 为病态方程组.方程组的矩阵 A 的条件数
关键词
线性方程组；条件数；性态分析；病态；改进方法
目录
引言................................................................................................................................... 1 第一章 方程组的性态分析 .............................................................................................. 2 §1.1 矩阵的条件数 ................................................................................................. 2 §1.1.1 基本概念 ............................................................................................... 2 §1.1.2 常用的条件数 ....................................................................................... 2 §1.1.3 条件数的性质 ....................................................................................... 3 §1.1.4 条件数的其它表达公式 ........................................................................ 5 §1.1.5 条件数的几何意义 ................................................................................ 6 §1.2 方程组的性态 ................................................................................................. 7 §1.2.1 基本概念 ............................................................................................... 7 §1.2.2 良态方程组和病态方程组的举例........................................................ 9 §1.2.3 系数矩阵的误差对线性方程组解的影响 ........................................... 10 第二章 求解病态方程组的改进方法 ............................................................................. 14 §2.1 病态方程组产生的原因................................................................................ 14 §2.1.1 向量的相关程度................................................................................. 14 §2.1.2 向量组的相关程度 ............................................................................. 14 §2.1.3 病态方程组产生的原因分析 ............................................................. 15 §2.1.4 病态方程组的危害 ............................................................................. 15 §2.2 对病态方程组采用预处理方法 .................................................................... 16 §2.3 求解的改进方法 ........................................................................................... 16 §2.3.1 误差转移法 ........................................................................................ 17 §2.3.2 迭代改善法 ........................................................................................ 18 §2.3.3 预处理迭代修改法 ............................................................................. 20 §2.4 Hilbert 方程组的算例分析 ......................................................................... 23 参考文献 ......................................................................................................................... 26 附录................................................................................................................................. 27
§1.1.1 基本概念
定义 1.1 若 A 为非奇异矩阵，称 cond Av A1 的条件数. 注解 1.1 矩阵的条件数与范数有关. 注解 1.2 当 A 的条件数相对的大，即 cond A 1 时，则线性方程组 Ax b 是 “病态”的（即 A 是“病态”矩阵，或者说 A 是坏条件的，相当于解线性方程组）， 当 A 的条件数相对的小， 则线性方程组 Ax b 是 “良态” 的 （或者说 A 是好条件的） . 注解 1.3 A 的条件数越大， 方程组的病态程度越严重，也就越难用一般的计算 方法求的比较准确的解.关于病态方程组的相关定义，我们会在后续章节中加以说 明.
cond Av A1
v
A
v
AA1 1 ；
v
性质 1.2 设 A 为非奇异矩阵且 c 0 （常数），则
cond cAv cond Av ；
性质 1.3 如果 A 为正交矩阵，则 cond A2 1 ； 如果 A 为非奇异矩阵， R 为正交矩阵，则
cond RA2 cond AR 2 cond A2 .
cond A A
A1
刻画了方程组的形态，若 cond A 1 ，则称 Ax b 为“病态”方程组；若 cond A相 对较小，则称 Ax b 为“良态”方程组. 良态方程组用 Gauss 消去法和 Jacobi 等简单的迭代法就可以得到比较好的计 算解， 而对于病态方程组， 一般的直接法和迭代法会有较大的误差，甚至严重失真. 所以，在解方程组时，有必要先对方程组的性态进行研究，采用相应的算法，才能 得到比较精确地计算接.利用方程组的条件数来判断就是一个很好的办法.
1
1 10 cond A 10 1
4
1i 2
4 2
104 .
（1.1）
现在 A 的第一行引进比例因子.如用 s1 max a1i 10 4 除第一个方程式，得 A' x b' 即
104 1 x1 1 ， 1 1 x2 2
例 1.1 设
1 10 4 x1 10 4 1 1 2 ， x 2
计算 cond A .
1 10 4 A 1 1 ,
1 1 104 , A 4 10 1 1 1