第6节 变换群与同构

定理3 设(G,∘)是一个群。 G 的所有内自同构之集是 G的自同构群得一个子群。称为内自同构群.
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补充
命题1 非一一变换关于变换的合成所作成的群是存 在
的. 例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中
f(1)=f(2)=1, f(3)=3, f(4)=4;
g(1)=g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3. 则G关于变换的合成运算作成一个群。 (单位元e=f，f与g均有逆元，即自身)
则G关于变换的合成运算作成一个群. (单位元e=f，f与g均有逆元，即自身)
f与g既不是单变换也不是满变换.
定理 设A和B是有限集，A=B，则f:AB是单射 当且仅当f是满射.
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补充
不是满变换的单变换不能构成群。
f是单变换当且仅当f左可逆. (左可逆变换可 能很多，逆元不唯一，所以不能做成群) f是单变换，则f有左可逆变换g. (gf=I，g是满 变换，所以仅由单变换不能做成群) 不是单变换的满变换不能构成群。
“混搭”行不？
变换群：由一一变换作成 非变换群：只能由既不是单变换也不是满变换的变
换作成 13/13
下面证明f是一一变换。
x M，则存在y= f -1(x) M使得
f(y)= f ( f -1(x))= f ∘ f -1(x)= IM (x)= x， 所以 f是满变换；
若x，y M，且f (x)= f (y)，则f -1 (f (x))= f -1 (f (y))，
即IM (x)= IM (y)，亦即x = y，所以 f是单变换.
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第6节 变换群与同构
变换群的定义 群的同构 群的Cayley定理 补充
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变换群的定义
定义1 设S是一个非空集合。一个从S到S的映射称 为S的一个变换.
一个从S到S的满射、单射或双射(一一映射、 一一对应)称为S的一个满射变换、单射变换或一一 变换.
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变换群的定义
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补充
命题3 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换作 成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当有M 上的单射f G.
证 必要性显然成立 . 下证充分性. 设f 是一个单变换且f G，e是G的单位元，则
x M，有f (e(x))= f ∘ e(x)= f(x)，而 f是单变换， 所以e(x)=x，即G的单位元e就是M上的恒等变换IM .
定理2 设(G,∘)是一个群。 G 的所有自同构之集A(G) 对映射的合成运算构成一个群，称为G的自同构群。
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群的自同构
设(G,∘)是一个群。a是G的一个固定元素。 x G， f(x) =axa-1，
则f 是G的一个自同构(映射)。 称f 是由a确定的G的一个内自同构。 G的其他自同构称为外自同构.
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补充
命题2 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换 作成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当 M上的恒等变换IM G.
证 必要性: 设G是变换群，则G的单位元就是M上
的恒等变换IM . 设f 是一个一一变换且f G，e是G的单位元，则 x M，有f (e(x))= f ∘ e(x)= f(x)，而 f是单变换， 所以e(x)=x，即G的单位元e就是M上的恒等变换IM . M上的恒等变换IM G.
定义2 设S是一个非空集合，从S到S的所有一一变换 之集记为Sym(S)，则称Sym(S)对变换的合成“∘”构
成 一个群，称为S上的对称群，记作(Sym(S), ∘). 群(Sym(S), ∘)的任一子群称为S上的一个变换群.
定义2’ 一个非空集合S的若干个一一变换关于变换的 合成“∘”作成的一个群称为S的一个变换群.
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补充
命题2 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换
作成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当
M上的恒等变换IM G.
充分性: 设M上的恒等变换IM G，则IM 显然为G的 单位元。令f G，则由于G是群，所以存在
f -1 G，使得f ∘ f -1= f -1 ∘ f = IM 。
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群Leabharlann Baidu自同构
定义4 设(G,∘)是一个群。如果存在一个双射f: G G ， 且对x, y G有 f(x∘y) = f(x) ∘ f(y),
则称f 是G的一个自同构(映射).
例如: 群G上的恒等映射IG是G的一个自同构. 设(G,∘)是一个交换群。 x G，f(x) =x-1，
则f 是G的一个自同构(映射).
因此，由命题2知， G是M上的一个变换群.
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命题4 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换 作成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当 有M上的满射f G.
证 必要性显然成立 . 下证充分性. 设f 是一个满变换且f G，e是G的单位元，则 y M，存在x M 使得f (x)= y。
于是 e(y)=e(f (x))= e ∘ f (x)= f (x)=y ，
即G的单位元e就是M上的恒等变换IM . 因此，由命题2知， G是M上的一个变换群. 11/13
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例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中 f(1)=f(2)=1, f(3)=3, f(4)=4; g(1)=g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3.
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群的同构
定义3 设(G1,∘)和( G2,)是两个群。如果存在一个双射 f: G1 G2 ，且x, y G1 有
f(x∘y) = f(x) f(y), 则称群G1 与G2 同构，记为G1 G2 . 而称f 是G1到G2的一个同构(映射).
同构是一个等价关系。
定理1(群的Cayley定理) 任意一个群都同构于某个变 换群。