微积分基本公式演示教学

则( x ) ( x x ) ( x )
a x xf(t)d ta xf(t)dt xxxf(t)dt
于m 是 x ( x ) M x ，
lim m x liM m x 0 ， x 0 x 0
lim ( x)0 ,即 (x)在 x 处连续 x 0
定理2 若函 f(t数 )在区 [a,b 间 ]上连续
dx a
d b (
f(t)dt)f(v(x)v)(x)
dx v(x)
d ( u(x) f(t)dt)f( u ( x )u ) ( x ) f( v ( x )v ( ) x )
dx v(x)
例
(x)0x21 1t2d,t则 (x)1 2
x x
4
I(x)x x21 1t2d,t则 I(x)12xx4
a bf(x )d x F (b ) F (a )
[F(x)]ba。
( A)
定理3说明：
1、 一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的任
意一个原函数在区间 [a,b]上的增量；
2、求定积分问题转化为求原函数的问题，从而给
出了计算定积分的方法：
(1)求 f(x)的原F 函 (x)； 数
(2)计增 算 [F 量 (x)b a]；
1
1
x2
sinx
( f (t)dt)
f(sx i)n co x s2x(fx2)
x2
d ( b f(t)dt) f (a)
da a
d
(
b
f(t)dt) 0
dc a
例 计算d x3 dt .
dxx2 1t4
解：dx3 dt 1 (x3) 1 (x2)
dx x 2 1 t4 1x12
1x8
( 4 ) 求导可去积分号：
dx
dx(a f(t)d)tf(x)
x
d(a f (t)dt) f(x)dx
d
(
x
f(x)dx)f(x)
dxa
d b
( f (t)dt)f(x) dx x
( xcostdt) coxs ( xtet2dt) xe x2
0
0
d ( u(x) f(t)dt)f(u(x)u )(x)
axf(t)d在 t[a,b]区上 间定义了x的 一函 个数。
因为x是积分上限， y 故称为积分上限函数。
o a xx x b x
一、积分上限函数
定义 设f( 函 x ) 在 [ a ,b ] 数 上可 x [ a ,b ] ， 积则 ，
(x)axf(t)dt
为定义[在 a,b]上的积分上限函数。
例 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x x f(t)dt1在 [0,1]上只有一 . 个解 0
证： 令 F (x)2x0 xf(t)d t1 ,则 F (0 ) 10 ,
F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t 0,
且f (x)在[a,b]上连续 ， F(x)0在 [0,1]上有 f(x ) 1 , F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
(3 )得 a b f( 出 x )d x F (b ) F (a ) 。
(A)称为牛顿—莱布尼兹公式，简称为N—L公式。
注意：当a
(x)xf(t)d在 t[a,b]上可 导 (x)， f(x)且 . a
证：设 x ,x x [a ,b ]。 因为 f(x)在[a,b]上连续
由积分中 ,值 在 x与 定 x 理 x之得 间
使
x (x ) 1 x x x xf(t)d t1 x f()x f ()，
当 x 0时， x及 f(x)的连续性
相应地可以定义积分下限函数：
xb f (t)dt。
注：易 见 (a )a af(t)d t0 ；
（ b)abf(t)d。 t
积分上限函数的性质
定理1 若f (x)是[a,b]上有界的可积函数，则
(x)axf(t)d在 t[a,b]上连续。
证： 设 m ,M 使 有 m f ( t ) M ， x ,x 以 x [ a ,b ]及 ,
3x2 2x 。 1x12 1x8
例 求 lim0xcost2dt。
x0
x
解： 用洛必达法则
原极限 lim coxs21。 x0 1
1et2 dt
练习 求 lim cosx
.
x0
x2
解： 用洛必达法则
原极限 1 . 2e
例
设f(x)在 [a,b]上连续 (a,b ， )内在 可导 f(x， )0且 ,
函F 数 (x) 1
x
f(t)dtx(a,b)
xa a
证 :F(x)0.
例
设f(x)在(,)内连续， f(x且 )0,证明函
xHale Waihona Puke Baidu
tf(t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内为单调增.加
0 f(t)dt
练习 设函y数 y(x)由方程
yetdt x21cotsdt 0所确定d， y. 求
0
0
dx
ddxy2xcoesyx(21)
第五章 第二节
微积分基本公式
本节主要内容
一、积分上限函数 二、微积分基本公式 三、积分上限函数的应用
引例 设 f(t)0，且 [a,b]在 上可abf积 (t)d。 t表示一曲 边梯形的面积取 。 x(a,b)，则 ax f (t)dt
表示区[a间 ,x]上方部分曲边梯 积形 。的
当x变化时，面积也随化之。变
(x) lx i0 m x ( x)l ixm f()f(x)。
注：
(1) 证明了原函数存在定理
(x) x f(t)dt就是 f(x)的一个原函 a
(2)沟通了定积分和分不之定间积的联 可以利用原函数分求 (N定 L积 公式 )
(3)揭示了微分与定积 间分 的之 内在
系， 此定理又微叫 积分基本定理 .
n n
解：由已知条件 f (0得 ) ， 0,
f(0)e 1( arxc2xt)2anx01, 切线方 y程 x；
limnf(2) n n
lim2 n
f
(2) n
2
f
(0)
2f(0)2。
n
二、微积分基本公式
定理3（Newton-Leibniz）设f(x)在区[a间 ,b]上连续 F(x)是f (x)的一个原函数，则
F ( x)在[0,1]上为严格单调增加函数，
所 以 F (x ) 0 只 有 一 个 解 ，
即原方程在 [0,1] 上只有一个解。
例 已知 y y ( 两 x )与 y 曲 f(x ) a 线 rx ce tt2 a d nt
0
在点 (0,0)处的切线相同， 切写 线出 方此 程， 并求极 lim限 nf(2)。