定积分的可积准则及其应用
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,于是， ，即函数f(x)在 可积.
定理3.若函数f(x)在闭区间 有界，且有有限个间断点，则函数f(x)在 可积.
定理4.若函数f(x)在闭区间 单调增加，则函数f(x)在 可积.
证明我们设函数f(x)在闭区间 单调增加，对 任意分法T，函数f(x)在小区间 的下确界 与上确界 分别是 与 .从而，函数f(x)在 的振幅
<
=
= 则函数f(x)在 可积.
4可积准则的等价性
在积分学中的一个重要理论问题就是判断一个函数f(x)在某个区间 上是否可积，而应用可积准则来判断函数f(x)在上的 可积性，又是积分学的一种常用方法，但我们经常看见两种不同形式的可积准则.
定理1函数f(x)在 上有界，则f(x)在上 可积的充分必要条件是：对任给的 ，存在 ，对 上的任何一个分割T。只要 时，有： ，其中 ， ， .
1大和与小和
已知有界函数不一定可积，那么什么样的有界函数是可积的呢？换句话说，在[a,b]上什么样的有界函数f(x)的积分和
积分和 这个变量不仅与分法T有关，而且也与一组 的取法有关，这给我们讨论积分和的极限带来困难，为此，首先给出对掌握积分和 变化非常有用的大和与小和的概念，并讨论其性质。
设函数f(x)在 有界.分法T将 分成了n个小区间：
（3）＋（4）得： < ＋ =
于是： 所以由定理2的条件 定理1的条件.因此，定理1和定理2是等价的.证毕.
参考文献：
1刘玉琏等编数学分析讲义上册[M],北京：.高等教育出版社（第四版）2003
2张伟、许宏伟 空间的区间套定理【J】高等数学研究2004，7（1）
3陈娓区间套定理极其应用[J]长沙大学学报200014（2）
令 = =I，即对上述的 及 ，对 上的任一分割T，当 时，有 = =I.又由达不定理： = ， =
从上可得，对 ， ，
故对上述的 ，存在 >0， ，对于上述的 上的任一分割T，当 时，有： — < , — < ，于是对上述 取 ，对 上的任意分割T，当 时，有： I= < （3）I— = — < （4）
定理2函数f(x)在 上有界，则f(x)在上 可积的充分必要条件是：对任给的 ，存在 及总存在 上的某一个分割T，只要 时，有： ，其中 ， ， .
显然这两个定理都指出了在上可积的充要条件，但这两个定理在表现形式上有很大区别：定理1强调了“对 上的任何一个分割T.有 ”这一条件是很强的，我们知道这个“任意性”的实际计算是永远无法完成的，因而这一定理在实际应用中会带来很大的不便，而定理2只要求“存在 上的某一个分割T，有 ”，显然定理2要比定理一弱些，而且容易实现，然而，尽管定理1和定理2的说法不同，但它们是等价的！
定理1（可积准则）函数f(x)在闭区间 可积
证明必要性 若函数f(x)在 可积，设定积分是I， 即 或I- < <I+ 根据大小和性质2，有I- ≤ ≤ ≤I+ 或 — ≤2 即
充分性 若 成立，即 有 < 根据大小和性质5，有 从而 即 ，设 ，由 有 又已知 ≤ ≤ 有
即函数在 可积
定义Βιβλιοθήκη Baidu函数f(x)在区间I有界，设
下面证明定理1和定理2的等价性；
首先我们把对于 上的每个分割T： 记： 对 上的有界函数f(x)，令： . ,
证要证明定理1和定理2等价，只需证明下面两个方面：
由定理1的条件 定理2的条件；这是显然的.
又定理2的条件 定理1的条件
若对任意的 ，存在 及总存在 上的某一个分割 ,当 时，有 ，即 — < 设T为 上的任一分割，则对上述的 >0及 ，当 ，有： — = — — < .由 的任意性知： 由于对 上的任意有界函数f(x)，都有： ≥ ，由此可得 =
重庆三峡学院数学分析课程论文
定积分的可积准则及其应用
院系数学与统计学院
专业数学与应用数学（师范）
姓名吴成伟
年级2009级
学号200906034119
指导教师刘学飞
2011年5月
定积分的可积准则及其应用
吴成伟（200906034119）
（重庆三峡学院数学与统计学院09级数学与应用数学1班（师范类））
摘要：定积分是由计算机平面上封闭曲线围成区域的面积产生的。为了计算这类区域的面积，归纳为计算具有特定结构的和式的极限，而这种特定的结构是技术趋于面积的数学工具，也是计算许多实际问题的数学工具。而本文将会从大和小和；可积准则；三类可积函数；可积准则的应用和可积准则的等价性等几个方面来介绍定积分的可积准则.
a= ，b= ，小区间 的长记为 = .设 与 分别是函数f(x)在 的下确界与上确界，作和 ，称 是分法T的小和， 是分法T的大和.
值得注意的是，小和 与大和 只有与分法T有关，这是因为当分法T给定之后，函数f(x)在每个小区间的下确界与上确界是唯一的，从而小和与大和也就随分法而确定，这是小和 与大和 与积分和的主要区别.
显然，对 的同一分法T的小和 与大和 ，总有不等式. ≤ 那么小和与大和以及小和·大和以及积分之间有什么关系呢？在此给出5个性质！
性质1对 一个分法T，任意积分和都介于小和 与大和 之间，即
≤ ≤
性质2对 一个分法T，小和 （大和 ）是分法T的所有积分和的下确界（上确界），即 = ｛ ｝（ = ｛ ｝）.
4江泽坚等合编.数学分析
5刘玉琏.傅沛仁.林玎.苑德馨.刘宁等合编.数学分析.北京：高等出版社
Integral integrable criterion and its application
Abstract: this article will from the big and small and, Integrable criteria, Three integratiable function, The application and integrable criterion equivalence criteria can be integrated to introduce several aspects of the definite integral.
关键词：可积准则有界函数应用
从历史的角度来说，定积分是由计算平面上封闭曲线围成的区域的面积而产生的.人们在实践中逐步认识到，为了计算这类区域的面积.最后归结为计算具有特定结构的和式的极限.这种特定结构的和式极限，不仅是计算区域面积的数学工具，而且也是计算许多实际问题的数学工具.比如变力做工，水的压力，立体的体积等等.这里谈到定积分我们就会想到有界函数f(x)，已知有界函数不一定可积.那么什么样的有界函数是可积的呢？这就是我们今天要研究的定积分的可积准则及其应用..
Keywords: integrable criteria, Bounded function, Application.
应用可积准则的充分性证明一下三类函数是可积的：
定理2.若函数f(x)在闭区间 连续，则函数f(x)在 可积.
证明已知函数f(x)在闭区间 连续，根据数学分析讲义第四版§4.2定理4，函数f(x)在 一致连续，即 ， < ，有
对 任意分法T，要求 ，函数f(x)在每一个小区间 连续，根据数学分析讲义第四版§4.2定理2，函数f(x)在每一个小区间 取到最小值 与最大值 ，即 ，有 与 ，因为 ，所以 <
性质3对 一个分法T，增加某些新分点构成 一个新分发 ，有 ≤
与 ≤ 即分点增多时，小和不减少，大和不增加.
性质4对任意两个分法T与 ，有 ≤ 与 ≤ ，即小和总不超过大和.
性质5对所有可能的分法T，小和的上确界不超过大和的下确界，即sup{s(T)}≤inf{S(T)}
2可积准则
根据定积分的定义，函数f(x)在区间 是否可积，就在于积分和 。根据大小和的性质1，对 的任意分法T，总有 ≤ ≤ 于是，讨论复杂的积分和极限问题就归结为比较简单的小和与大和的极限问题，下面就是可积准则的定义：
或 或
=M—m= — 称为函数f(x)在区间I的振幅
给区间 分法t，设 与
是函数f(x)在小区间 的振幅，
有 = 称为函数f(x)在区间 关于分法T的振幅和，简称振幅和.有了这个概念，于是，可积准则又可以改写为：
定理 （可积准则）函数f(x)在闭区间 可积 其中 是函数f(x)在区间 的振幅， .
3三类可积函数
定理3.若函数f(x)在闭区间 有界，且有有限个间断点，则函数f(x)在 可积.
定理4.若函数f(x)在闭区间 单调增加，则函数f(x)在 可积.
证明我们设函数f(x)在闭区间 单调增加，对 任意分法T，函数f(x)在小区间 的下确界 与上确界 分别是 与 .从而，函数f(x)在 的振幅
<
=
= 则函数f(x)在 可积.
4可积准则的等价性
在积分学中的一个重要理论问题就是判断一个函数f(x)在某个区间 上是否可积，而应用可积准则来判断函数f(x)在上的 可积性，又是积分学的一种常用方法，但我们经常看见两种不同形式的可积准则.
定理1函数f(x)在 上有界，则f(x)在上 可积的充分必要条件是：对任给的 ，存在 ，对 上的任何一个分割T。只要 时，有： ，其中 ， ， .
1大和与小和
已知有界函数不一定可积，那么什么样的有界函数是可积的呢？换句话说，在[a,b]上什么样的有界函数f(x)的积分和
积分和 这个变量不仅与分法T有关，而且也与一组 的取法有关，这给我们讨论积分和的极限带来困难，为此，首先给出对掌握积分和 变化非常有用的大和与小和的概念，并讨论其性质。
设函数f(x)在 有界.分法T将 分成了n个小区间：
（3）＋（4）得： < ＋ =
于是： 所以由定理2的条件 定理1的条件.因此，定理1和定理2是等价的.证毕.
参考文献：
1刘玉琏等编数学分析讲义上册[M],北京：.高等教育出版社（第四版）2003
2张伟、许宏伟 空间的区间套定理【J】高等数学研究2004，7（1）
3陈娓区间套定理极其应用[J]长沙大学学报200014（2）
令 = =I，即对上述的 及 ，对 上的任一分割T，当 时，有 = =I.又由达不定理： = ， =
从上可得，对 ， ，
故对上述的 ，存在 >0， ，对于上述的 上的任一分割T，当 时，有： — < , — < ，于是对上述 取 ，对 上的任意分割T，当 时，有： I= < （3）I— = — < （4）
定理2函数f(x)在 上有界，则f(x)在上 可积的充分必要条件是：对任给的 ，存在 及总存在 上的某一个分割T，只要 时，有： ，其中 ， ， .
显然这两个定理都指出了在上可积的充要条件，但这两个定理在表现形式上有很大区别：定理1强调了“对 上的任何一个分割T.有 ”这一条件是很强的，我们知道这个“任意性”的实际计算是永远无法完成的，因而这一定理在实际应用中会带来很大的不便，而定理2只要求“存在 上的某一个分割T，有 ”，显然定理2要比定理一弱些，而且容易实现，然而，尽管定理1和定理2的说法不同，但它们是等价的！
定理1（可积准则）函数f(x)在闭区间 可积
证明必要性 若函数f(x)在 可积，设定积分是I， 即 或I- < <I+ 根据大小和性质2，有I- ≤ ≤ ≤I+ 或 — ≤2 即
充分性 若 成立，即 有 < 根据大小和性质5，有 从而 即 ，设 ，由 有 又已知 ≤ ≤ 有
即函数在 可积
定义Βιβλιοθήκη Baidu函数f(x)在区间I有界，设
下面证明定理1和定理2的等价性；
首先我们把对于 上的每个分割T： 记： 对 上的有界函数f(x)，令： . ,
证要证明定理1和定理2等价，只需证明下面两个方面：
由定理1的条件 定理2的条件；这是显然的.
又定理2的条件 定理1的条件
若对任意的 ，存在 及总存在 上的某一个分割 ,当 时，有 ，即 — < 设T为 上的任一分割，则对上述的 >0及 ，当 ，有： — = — — < .由 的任意性知： 由于对 上的任意有界函数f(x)，都有： ≥ ，由此可得 =
重庆三峡学院数学分析课程论文
定积分的可积准则及其应用
院系数学与统计学院
专业数学与应用数学（师范）
姓名吴成伟
年级2009级
学号200906034119
指导教师刘学飞
2011年5月
定积分的可积准则及其应用
吴成伟（200906034119）
（重庆三峡学院数学与统计学院09级数学与应用数学1班（师范类））
摘要：定积分是由计算机平面上封闭曲线围成区域的面积产生的。为了计算这类区域的面积，归纳为计算具有特定结构的和式的极限，而这种特定的结构是技术趋于面积的数学工具，也是计算许多实际问题的数学工具。而本文将会从大和小和；可积准则；三类可积函数；可积准则的应用和可积准则的等价性等几个方面来介绍定积分的可积准则.
a= ，b= ，小区间 的长记为 = .设 与 分别是函数f(x)在 的下确界与上确界，作和 ，称 是分法T的小和， 是分法T的大和.
值得注意的是，小和 与大和 只有与分法T有关，这是因为当分法T给定之后，函数f(x)在每个小区间的下确界与上确界是唯一的，从而小和与大和也就随分法而确定，这是小和 与大和 与积分和的主要区别.
显然，对 的同一分法T的小和 与大和 ，总有不等式. ≤ 那么小和与大和以及小和·大和以及积分之间有什么关系呢？在此给出5个性质！
性质1对 一个分法T，任意积分和都介于小和 与大和 之间，即
≤ ≤
性质2对 一个分法T，小和 （大和 ）是分法T的所有积分和的下确界（上确界），即 = ｛ ｝（ = ｛ ｝）.
4江泽坚等合编.数学分析
5刘玉琏.傅沛仁.林玎.苑德馨.刘宁等合编.数学分析.北京：高等出版社
Integral integrable criterion and its application
Abstract: this article will from the big and small and, Integrable criteria, Three integratiable function, The application and integrable criterion equivalence criteria can be integrated to introduce several aspects of the definite integral.
关键词：可积准则有界函数应用
从历史的角度来说，定积分是由计算平面上封闭曲线围成的区域的面积而产生的.人们在实践中逐步认识到，为了计算这类区域的面积.最后归结为计算具有特定结构的和式的极限.这种特定结构的和式极限，不仅是计算区域面积的数学工具，而且也是计算许多实际问题的数学工具.比如变力做工，水的压力，立体的体积等等.这里谈到定积分我们就会想到有界函数f(x)，已知有界函数不一定可积.那么什么样的有界函数是可积的呢？这就是我们今天要研究的定积分的可积准则及其应用..
Keywords: integrable criteria, Bounded function, Application.
应用可积准则的充分性证明一下三类函数是可积的：
定理2.若函数f(x)在闭区间 连续，则函数f(x)在 可积.
证明已知函数f(x)在闭区间 连续，根据数学分析讲义第四版§4.2定理4，函数f(x)在 一致连续，即 ， < ，有
对 任意分法T，要求 ，函数f(x)在每一个小区间 连续，根据数学分析讲义第四版§4.2定理2，函数f(x)在每一个小区间 取到最小值 与最大值 ，即 ，有 与 ，因为 ，所以 <
性质3对 一个分法T，增加某些新分点构成 一个新分发 ，有 ≤
与 ≤ 即分点增多时，小和不减少，大和不增加.
性质4对任意两个分法T与 ，有 ≤ 与 ≤ ，即小和总不超过大和.
性质5对所有可能的分法T，小和的上确界不超过大和的下确界，即sup{s(T)}≤inf{S(T)}
2可积准则
根据定积分的定义，函数f(x)在区间 是否可积，就在于积分和 。根据大小和的性质1，对 的任意分法T，总有 ≤ ≤ 于是，讨论复杂的积分和极限问题就归结为比较简单的小和与大和的极限问题，下面就是可积准则的定义：
或 或
=M—m= — 称为函数f(x)在区间I的振幅
给区间 分法t，设 与
是函数f(x)在小区间 的振幅，
有 = 称为函数f(x)在区间 关于分法T的振幅和，简称振幅和.有了这个概念，于是，可积准则又可以改写为：
定理 （可积准则）函数f(x)在闭区间 可积 其中 是函数f(x)在区间 的振幅， .
3三类可积函数