医学统计学 第八讲 二项分布其应用

10 10! (10)(9)(8)(7)(6)5! 252 5 5!(10 5)! 5!(5)(4)(3)(2)(1)
• 概率计算的两个法则 • 乘法法则：n 个独立事件同时发生的概 率等于各独立事件概率的积。 P ( A 1 ·A 2 · · · · ·A n ) = P ( A 1 ) ·P ( A 2 ) ·· · ··P ( A n ) • 加法法则：n个互不相容事件之和的概率 等于各事件概率的和。 P ( A 1或 A 2或 · · ·或 A n ) = P ( A 1) + P ( A 2) + · · ·+ P ( A n )
(1)π=0.5时分布对称，π≠0.5分布偏态
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
二项分布（binomial distribution）是 指在n次Bernoulli试验中，当每次试验的 “阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的 次数X=0，1，2，…，n的概率分布。
• 即：贝努利实验序列中阳性数的概率分布。 一般用X~B（n,π）表示二项分布， n 是试验总次数，π 是试验结果为阳性的概率。
• 对这 10 名实施峡部 - 峡部吻合术的妇女，按 0.55的受孕率，若出现至少9人受孕的概率大 于0.05，则不拒绝H0；否则，接受H1。 • 本例 n=10 ， π=0.55 ， k=9 。按公式（ 6-12 ） 有:
p( x 9) P(9) P(10)
x9 10
10! 0.559 (1 0.55)10 9 0.5510 9! (10 9)! 0.023257

k 0
2
k C5 (0.10) k (0.90) 5k 0.5905 0.3281 0.0729 0.9915
（2）至少有 1 人有反应的概率为 0 0 5 P{X 1} 1 P{X 0} 1 C（ 0 . 10 ） （ 0 . 90 ） 0.40951 5
400 0 400 1 399 400 0 π (1 π) 1 π 1 π
0.99
400
400 0.01 0.99
399
0.0905
• p>0.05
不拒绝H0
例2 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实 施壶腹部 - 壶腹部吻合术后，受孕率为 0.55 。 今对 10 名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡 部 - 峡部吻合术，结果有 9 人受孕。问实施 峡部 -峡部吻合术妇女的受孕率是否高于壶 腹部-壶腹部吻合术？ • 显然，这是单侧检验的问题，检验假设为 H0：π=0.55 H1：π>0.55 = 0.05
p=1
二项分布的累计概率
二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例 阳性、1例阳性、...、直至k例阳性的概率之和。 即：
p(x≤k) =P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=k)
p(X k) P(X) P(0) P(1) P(2) P(k)
X 0 k
X=0，1，2，„„，k ，„„，n
n=5
p=0.5
n=来自百度文库0 p=0.5
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
n=20 p=0.5
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=5 p=0.3
n=10
p=0.3
(2) π不接近0或1，n较大时，一般地要 求nπ>5且n(1-π)>5，二项分布趋近正态分 布。
√√√
3 0 3 P ( X 0) ( ) ( 1 ) 0 3 1 2 P ( X 1) 1 ( ) (1 ) 3 2 1 P ( X 2) 2 ( ) (1 ) 3 3 0 P ( X 3) ( ) ( 1 ) 3
二项分布的应用
• 二项分布主要用于符合二项分布的分类资 料的率的区间估计和假设检验。
二项分布的应用条件
医学领域有许多二分类记数资料符合二 项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时 仍应注意考察是否满足应用条件：
(1) 每次实验只有两类对立的结果；
(2) n次事件相互独立；
(3) 每次实验某类结果的发生概率是一个常 数。
由于实验是逐只进行的，因此实验结果是相互独 立的，根据概率的乘法法则，可以算出每种排列方式 的概率，从而用加法法则得到每种组合的概率。
现关心的是n次贝努利试验中发生某种结果(A)为 x次的概率,即二项分布的概率函数：
k nk P(x k) c k π (1 π) ,k 0,1,..., n n
二项分布的定义
• 二项分布是n次贝努利试验中发生某种结果 为x次的概率分布。 • 这种结果（事件A)出现的次数X是一个随机 变量，一般用X~B（n,π）表示二项分布， n是试验总次数，π 是试验结果为阳性的概 率。
• 例：设小白鼠接受某种毒物一定剂量时。 其死亡率为80%，对于每只小白鼠来说， 死亡概率(π )为0.8，生存概率（1－π ） 为0.2。如果以甲乙丙三只小白鼠进行实验， 分析其死亡情况,结果见下表。（假设小白 鼠为同种属、同性别、体重接近、对该药 物的敏感性相同 ）
• 贝努利试验：指只有两个互斥结果的试验。 如阳性与阴性，生存与死亡，发病与未发 病。
• n次贝努利试验指重复进行n次独立的贝努 利试验。又叫贝努利试验序列。
贝努利试验序列特点
①每次试验的结果只能是2个互相对立结 果中的一个。 ② n个观察单位的结果相互独立。
③在相同条件下，每次试验结果的概率 不变。
p(X k)
X 0
P(X)
k
例 1 据以往经验，新生儿染色体异常率一般为 1%，某医院观察了当地 400名新生儿，只有1 例异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于 一般？
• H0: π=0.01 H1: π<0.01 α=0.05 P = p(x≤1) = p(x=0) + p(x=1)
二、率的假设检验
（一）样本率与总体率比较 • 比较的目的是推断该样本所代表的未知总 体率π与已知的总体率π0是否相等。 （二）两样本率比较的u检验
• 比较的目的是推断该两样本率所代表的总 体率π1与总体率π2是否相等。
（一）样本率与总体率比较
1、直接计算概率法
• 当阳性数 x 较小时，可直接计算二项分布的累计 概率（单侧）进行单侧的假设检验。
σp σ x /n π(1 π)/n
• 率的标准误的估计值
Sp p(1 p)/n
一、 总体率的可信区间估计
（一）正态近似法：用于n >50 或np>5 ,且 n(1– p) >5，则 的（1 – ）可信区间： (p uα Sp ) （二）查表法：用于 n≤50， p很接近0和1 • 当阳性数X ≤n/2 时,直接查附表3,见p263； • 当阳性数X>n/2时,由阴性数(n – X)查阴性率可 信区间，用(1 – 阴性率可信区间) ，可得阳性 率可信区间。
按 =0.05 水准，拒绝 H0 ，接受 H1，即认为 实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率要高于 壶腹部-壶腹部吻合术。
（一）样本率与总体率比较
2、正态近似法 （n较大） • 当π =0.5或n较大，nπ 及n(1-π )均大于5 时，可用正态近似法进行样本率与总体率， 两个样本率比较的u检验。
复习中学数学概念
组合（Combination） :从 n个元素中抽取 x个元素组 成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为
n n! k k !(n k )!
n k 或 C n k
1 0 1 0 0
3 3! (3)(2)(1) 3 2 2!(3 2)! (2)(1)(1)
n! c k! (n k)!
k n
组合系数
生存数
3只白鼠各种试验结果及其发生概率 死亡数 排列 每种排 每种组合的概率 n P ( X k ) 方式 列概率 k ( )

k
(1 ) n k
3 2
0 1
1
2
0
3
(1- )3 X √ √ (1-)2 √ X √ (1-)2 √ √ X (1-)2 X X √ 2(1-) X √ X 2(1-) √ X X 2(1-) XXX 3
进行统计推断时要知道样本率的分布： • 若 X ~ B ( n， )，则样本阳性率 p 的 概率分布为：
P(p) P(x) c π (1 π)
x n x
n x
• 其中
x 0 1 2 n p , , ,......, n n n n n
样本率p的总体均数p = x/n = n /n= • 样本率p的总体标准差（即率的标准误）
二项分布下至少发生k例阳性的概率为发生 k例阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概 率之和。即
p(x≥k) =p(x=k)+p(x=k+1)+……+p(x=n)
p(X k) P(X) P(k) P(k 1) P(k 2) P(n)
Xk n
X=k，k+1，k+2， …… ，n
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45
n=20 p=0.3
n=50 p=0.3
48
0
3
6
9
二项分布的特征为： 1. = 0.5时，图形对称； 2. 0.5，n 较小时，图形偏态； 3. 0.5，n 较大时，图形渐趋对称； 4. n 较大 ( 如 > 50 ) ，且 n > 5 , n ( 1－ ) > 5 时，二项分布呈近似 正态分布。
二项分布的均数和标准差
二项分布的总体均数 µX = nπ
二项分布的总体标准差为nπ (1- π )的算术 平方根：
σ nπ1 π
例5.3中，平均死亡数为3*0.8=2.4(只) 标准差为： σ 3 0.81 0.8 0.69(只)
二项分布的图形
按二项分布的概率函数可以绘出其分布图形。 图形特征 ：取决于n 和 。
第五章 二项分布及其应用
随机变量有连续型和离散型之分，相 应的其概率分布也有连续型和离散型。 有关连续型分布如正态分布、 t 分布等 在前面的章节中已作了介绍。 本章主要介绍在医学中较为常用的离 散型分布，即二项分布分布。
第一节 二项分布及其应用
二项分布由瑞士数学家贝努利在18世纪 提出，故又叫贝努利分布，是常见的离散型 分布，在医学上常用于率的抽样研究，如总 体率的估计，两样本率的比较。
1 1 2
k2
【例】 据报道，有 10%的人对某药有胃肠道反应。为考察某厂的产品质量， 现任选 5 人服用此药。试求： （1）不多于 2 人有反应的概率； (2)至少 1 人有反应的概率。 解：有反应的人数 X 服从二项分布 B（5，0.10） 。 （1）不多余 2 人有反应的概率为
P{X 2}
二项分布下发生k1例及以上到k2 例阳性的概 率为发生k1例阳性、 k1+1例阳性、...、直至k2例 阳性的概率之和。即 p(k1≤ x ≤ k2) =p(x=k1)+x(x=k1+1)+……+x(x=k2)
p(k1 X k2)
X k1
P(X) P(k ) P(k 1) ... P(k )