双曲线几何性质(公开课课件)

a
看动画
双曲线的离心率刻画双曲线 的什么几何性质？
e越小，双曲线开口越小；e越大，双曲 线开口越大．
双曲线方程
范围 渐近线
对称性
x 焦
点
2
y2
在 1
a x
2
轴
b2
x-a或xa
y b x a
y 焦
点
2
x2
在 1
a y 2
轴
b2
y-a或ya
yax b
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点
顶点 离心率
(±a,0)
双曲线与y轴没有交点，我们仍把B1，B2点画到y轴上， 并取坐标（如图）．构造与椭圆相似的特征三角形
横坐标的范围：x -a或xa
纵坐标的范围：无
(-a,0)
(b,0)
bc a
(a,0)
(-b,0)
特征三角形△B2A2O三边长分别为|B2A2|= c ， |OA2|= a ， |OB2|=b．
线段A1A2叫椭圆的实轴，长为2a，A1，A2 为实轴顶点； 线段B1B2叫椭圆的虚轴，长为2b，B1，B2 为虚轴顶点．
(0,±a)
e c ,e 1 a
求ຫໍສະໝຸດ Baidu曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚 半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：把方程化为标准方程: y2 x2 1
16 9
所以: a = 4，b = 3，
即 c 16 9 5 焦点坐标为(-5,0),(5,0)
实半轴长a=4，虚半轴长b=3； 离心率为1.25；
图中双曲线的标准方程为
bc
a
x2 y2 1
(-5,0)
(-4,0)
(4,0)
(5,0)
16 9
(-3,0)
请写出图中各点的坐标． △B2F2O叫双曲线的特
a=4，b=3， 所以c=5
征三角形.
|A2F1|-|A2F2|=2a=8， 又|A1F1|=|A2F2|
所以|A1A2|=|A2F1|-|A1F1|=2a=8，即|A2O|=a=4
顶点 离心率
(±a,0)
(0,±a)
e c ,e 1 a
焦点 (0,-2 ２), (0, 2 ２) ．
求适合下列条件的双曲线方程：
(1)顶点在x轴上，顶点间距离为8，e=1.25；
(2)焦点在y轴上，焦距是16，e=4/3．
解:(1)顶点在x轴上,则焦点在x轴上
2a=8，e=1.25， 则c=5，b=3
即椭圆的方程为 x2 y2 1 16 9
(2)2c=16，离心率c/a=4/3
双曲线关于y轴对称 双曲线关于x轴对称
双曲线关于原点对称
实轴和虚轴 等长的双曲 线叫做等轴 双曲线．等 轴双曲线的 渐近线方程
为y=x
红色框的两条对角线，为双曲线的
渐近线， 其方程为 y b x a
与椭圆相类似,双曲线的焦距与实轴长的
比 c称为双曲线的离心率，用e表示， a
即 e c ,e 1
双曲线的简单几何性质 (公开课课件）
y
M (x,y)
M (x,y)
y
F2(0,c)
F1 O
(-c,0)
F2 (c,0) x
O
x
F1
(0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
找找b
||MF1|-|MF2||=2a |F1F2|=2c 在哪里？
(3,0)
渐近线方程为
y4x 3
．
求下列双曲线的焦点坐标：
(1)x2 8 y2 32；(2)x2 y2 4．
(1)先化为标准方程
x2 32
y2 4
1
a= 4 ２ ，b=2，c=6， 焦点在x轴，
焦点(-6，0)，(6，0)．
(2)先化为标准方程
y2 ４
x2 4
1
a=2，b=2，c=２２， 焦点在y轴，
故a=6，b= 2 7 即椭圆的方程为
y2 x2 1 36 64
点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直
线l:x
16 5
的距离的比等于常数
5 4
，求M点的轨迹.
解：设d是点M到直线l: x 16 的距离，
5
根据题意，点M的轨迹是集合
P
{M
|
|
MF
|
5}
d4
由此得
(x 5)2 y2 5
| 16 x |
4
5
将上式两边平方，并化简，得
9x2 16 y2 144
即： x2 y2 1这是双曲线.
16 9
双曲线方程
范围 渐近线
对称性
x 焦
点
2
y2
在 1
a x
2
轴
b2
x-a或xa
y b x a
y 焦
点
2
x2
在 1
a y 2
轴
b2
y-a或ya
yax b
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点