高次因式分解

高次因式分解（含答案）

前言：本讲义基于人教版初中数学教材（八年级上册）整式的乘法章节内容，做出适当拓展与延伸，适用于程度较好的学生拔尖使用。本讲义主要面向初中的选拔考试，并为学生在高中代数部分的学习奠定扎实的基础。选题部分源于竞赛试题，望诸位老师在讲解时把握适当的教学难度。如需要原版word资料+详细教学思路请加QQ：1728321152，希望与大家共同进步！

1、熟练掌握高次因式分解的原理与方法。

2、熟悉相关题型的出题形式。

3、通过课上例题，结合课下练习提前掌握此部分的知识。

一、基础知识

★知识点归纳

（1）因式分解基础方法：

（2）常用公式总结：

★因式分解方法

（一）配方法

➢【典型例题】因式分解：x4﹣x2y2+16y4．

【考点】%C：因式分解．

【专题】11：计算题．

【分析】先把式子变成能完全平方的形式，再用平方差公式进行分解即可．

【解答】解：x4﹣x2y2+16y4，

=x4+8x2y2+16y4﹣9x2y2

=（x2+4y2）2﹣9x2y2

=（x2+4y2+3xy）（x2+4y2﹣3xy）

【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，把式子变成能完全平方的形式是解题的关键，同时要注意因式分解要彻底，直到不能分解为止．

➢【小试牛刀】因式分解．

（1）x4﹣3x2+1；（2）x4﹣7x2y2+81y4．

【考点】%C：因式分解．

【分析】（1）利用拆项法将﹣3x2分成两部分，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可；

（2）利用补项法进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．

【解答】解：（1）x4﹣3x2+1 =（x2）2﹣2x2+1﹣x2

=（x2﹣1）2﹣x2

=（x2+x﹣1）（x2﹣x﹣1）；（2）原式=（x2）2+18x2y2+（9y2）2﹣25x2y2 =（x2+9y2）2﹣（5xy）2

=（x2+9y2+5xy）（x2+9y2﹣5xy）．

【点评】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，正确利用拆项和补项法分解因式是解题关键．

（二）公式法

➢【典型例题】

1、因式分解：x3+8．

【考点】%C：因式分解．

【分析】利用立方和公式：x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2）分解即可．

【解答】解：x3+8 =x3+23 =（x+2）（x2﹣2x+4）．

【点评】考查了因式分解，关键是熟练掌握立方和公式是解本题的关键．

2、分解因式：x3+x2﹣2=（x﹣1）（x2+2x+2）．

【考点】%C：因式分解．

【分析】首先将已知分组，进而利用立方差公式以及平方差公式分解因式，进而提取公因式得出即可．

【解答】解：x3+x2﹣2

=（x3﹣1）+（x2﹣1）

=（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）（x+1）

=（x﹣1）（x2+2x+2）．

故答案为：（x﹣1）（x2+2x+2）．

【点评】此题主要考查了因式分解，熟练掌握立方差公式是解题关键．

➢【小试牛刀】

分解因式：x3+y3+2x2+4xy+2y2．

【考点】%C：因式分解．

【分析】可用分组分解法来解，x3和y3一组，剩下的三项一组，根据立方公式和完全平方公式，以及提公因式法分解因式即可求解．

【解答】解：x3+y3+2x2+4xy+2y2

=（x+y）（x2﹣xy+y2）+2（x+y）2

=（x+y）（x2﹣xy+y2+2x+2y）．

【点评】本题考查因式分解里面的分组分解法以及立方公式和完全平方公式，要熟记公式和方法．

（三）待定系数法

➢【典型例题】已知x3﹣8有一个因式x﹣2，我们用待定系数法对x3﹣8进行因式分解：设x3﹣8=（x﹣2）（x2+ax+b），

∵（x﹣2）（x2+ax+b）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x﹣2b，

∴，即a=2，b=4．因此x3﹣8=（x﹣2）（x2+2x+4）．

已知x3+27有一个因式x+3，请你仿照上例，用待定系数法，因式分解x3+27．

【考点】%C：因式分解．

【专题】21：阅读型．

【分析】只需模仿阅读材料中的解题方法即可解决问题．

【解答】解：设x3+27=（x+3）（x2+ax+b），

∵（x+3）（x2+ax+b）=x3+（a+3）x2+（b+3a）x+3b，

∴，即a=﹣3，b=9．

因此x3+27=（x+3）（x2﹣3x+9）．

【点评】本题是一道阅读题，介绍了因式分解的一种方法，主要是考查自学能力，难度不大．

➢【小试牛刀】因式分解：x4﹣3x﹣2．

【考点】%C：因式分解．

【分析】设x4﹣3x﹣2=（x2+ax﹣1）（x2+bx+2），整理可得x4+（a+b）x3+（1+ab）x2+（2a ﹣b）x﹣2，进而可得a和b的等量关系，求出a和b的值即可得到问题答案．

【解答】解：设x4﹣3x﹣2=（x2+ax﹣1）（x2+bx+2），

=x4+（a+b）x3+（1+ab）x2+（2a﹣b）x﹣2，

由题意可知：①a+b=0 a=﹣b；②1+ab=0；③2a﹣b=﹣3，

解得a=﹣1 b=1，所以x4﹣3x﹣2=（x2﹣x﹣1）（x2+x+2）．

【点评】本题考查了分解因式的应用，解此题的关键正确设x4﹣3x﹣2=（x2+ax﹣1）（x2+bx+2），由恒等式的性质可得a和b的数量关系，进而可求出a和b的值．题目比较好，难度适中．