流体力学第三章(7)动量方程及其应用及动量矩方程1
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本次课主要内容 动量方程式及其应用
一、动量方程能解决运动流体中的什么问题
很难得到
N-S方程根据牛顿 第二定律导出
F ma
把牛顿第二定律改写
N-S方程是微分形式，积分可以 得到流场中的压强、速度分布， 进而得到流体受力F。
fx dvx 1 p 2 v x 2 v x 2 v x [ 2 ] x x y 2 z 2 dt
FRx ( p1 v ) A
2
FRy ( p2 v ) A
2
【特例3】:反向等径弯管
1 0,2 90, A1 A2 A, v1 v2 v, qV vA
FRx ( p1 p2 2 v ) A
2
FRy 0
【特例4】逐渐收缩管
1 0,2 90, qV v1 A1 v2 A2
X方向： 表面力: p1 A 1 cos 1 p2 A 2 sin 2
管壁对流体的作用力
F F F
x y
qv (v2 x v1x ) qv (v2 y v1 y ) qv (v2 z v1z )
z
FRx
则，X方向上流体所受合力为
p1 A1 cos1 p2 A2 sin 2 FRx
d ( mv ) F dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F
d ( mv ) dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。 质点系占据一定的空间，取这个空间为控制体，把拉 格朗日法表示的动量变化率改换成用欧拉法表示，这 样就容易求的作用在控制体内流体质点系上的外力。
说明：管路中由于摩擦引起的沿程阻力损 失hf与管长成正比，与管直径成反比。
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
vdV v(v dA) A t V
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。 动量方程式中，需注意 1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外部流 体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体内流 体的重力。 2. 控制体内流体动量对时间的变化率，当流动为定常时，此项为零。 是由于控制体内流体动量随时间变化而产生的一种力。
X方向上流体速度合分量为
v2 sin 2 v1 cos 1
根据动量定理，得到 x方向的动量方程
p1 A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin 2 v1 cos1
p1 A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin 1
在三个坐标轴上的投影式为
F F F
x y
qv (v2 x v1x ) qv (v2 y v1 y ) qv (v2 z v1z )
z
本书应用的公式
使用时要注意以下几点：
1、受力对象：动量方程式的受力对象是流体质点系。
F 是外界作用在流体上的力。如果实际问题要求流体
Fdt mdv d (mv )
并用之于具有一定质量的流体质点系， 由于各个质点速度不尽相同，故质点系 的动量定理为
2 2 2 dvy 1 p v y v y v y fy [ 2 ] y x y 2 z 2 dt
1 p 2 v z 2 v z 2 v z dv fz [ 2 ] z 2 2 z x y z dt
这是流体对任意变径弯管的作用力的计算公式，对其求合力得到
FR F F
2 Rx
2 Ry
arctan
FRy FRx
要注意力的方向。
弯管多种多样，下面介绍几个特例
【特例1】直角变径弯管
1 2 0, qV v1 A1 v2 A2
代入公式
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
原来质点系尚留在控制 体中的部分及新流入控 制体的总动量。
V A
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量
F
d ( m v) dt
1 lim {[ vdV ]t t t v(v dA) [ vdV ]t } A t 0 t V V
说明：只有测出相距为L的两断面上的压强差，切应力和摩擦力都可以计算出来 管壁上的摩擦力导致管中的压强沿流动方向逐渐下降。 对1，2两断面列伯努利方程：
z1
由于z1 z2 , v1 v2 , 可得 p p2 4 l hf 1 g gd
p1 p 1 2 1 2 v1 z2 2 Leabharlann Baidu2 h f g 2g g 2g
[ vdV ]t
V
经过t，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+t 瞬时的末动量为：
[ vdV ]t t t v(v dA) t v(v dA)
V A1 A2
[ vdV ]t t t v(v dA)
取控制体的时候注意： 控制表面一部分与固体壁面重合，按照作用力与反作用力大小相等 方向相反的原则，也就求出了流体质点系对固体壁面的作用力。
二、用欧拉方法表示的动量方程式
在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示, 一部分与固体边界重合,（为什么这么选？）
在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要 讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度 为v, 密度为。在t瞬时的初动量为：
F F F
x y
qv (v2 x v1x ) qv (v2 y v1 y ) qv (v2 z v1z )
z
对固体的作用力，则相应的应加以负号。
对于遇到的问题：方程左边的外力一般只包括 (1)管壁对流体的作用力F; (2)截面上流体的表面力p1A1,p2A2。
（3）控制体内流体的重力（重力经常可以忽略）
得：
FRx P 1A 1 qvv1 P 1A 1 v1 A 1v1 ( P 1 v1 ) A 1
2
FRy P2 A2 qv v2 P2 A2 v2 A2v2 ( P2 v2 ) A2
2
【特例2】直角等径弯管 1 2 0, A1 A2 A, qV vA
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
对（1）（2）（3）在坐标方向求合力即可 对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。 2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
对于y方向同样得到
p1 A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin 2 v1 cos1 p1 A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin 1
解方程组得到
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
F v(v dA) v v dA v v dA
s A A2 2 2 A1 1 1
F t vdV v(v dA) V A
为0
qv (v2 v1 ) qv (v2 v1 )
式中 为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数， 取1
【特例5】等径直管 1 0,2 90, A1 A2 A, v1 v2 v
FRx ( p1 p2 ) A FRy 0
等径直管中流体对管道的作用力FRx实质上就是作用 在管壁上的摩擦力，用力FRx处以管壁面积 2 Rl ,可得 管壁上的平均切应力
FRx ( p1 p2 ) R 2 ( p1 p2 ) R pR pd 2 Rl 2 Rl 2l 2l 4l
A
vdV t V
3. v(v dA) 是单位时间内控制体流出、流入的净动量，即流出、流入动量之差， 是流出动量与流入动量不等而产生的力。
特例：常见的定常、不可压缩、一元流动时，方程式可以简化的很简单。 如图所示，把流线方向取为自然坐标 s，取如图控制体，则总控制面上只有 A1， A2上有动量流入流出，假设断面上平均速度为v1,v2,则在定常不可压缩情况下，
要求密度为 ，流量为qv的流体对弯管的作用力 FRx，FRy
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1 取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
弯管对控制体内流体的 作用力 FRx和 FRy , 过流断面上外界流体对 控制体内流体的作用力 P 1A 1, P 2 A2
【特例6】突然扩大管
1 0,2 90
FRx ( p1 v12 ) A1 ( p2 v2 2 ) A2 FRy 0
（1）
突然扩大处流线不能折转，在“死角”处产生涡旋，涡旋区中的流体没有主流 方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力， 而是作用在突然扩大台肩圆环断面A2—A1上的静压力，方向向左。
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
FRx ( p1 v12 ) A1 ( p2 v2 2 ) A2 FRy 0
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
一、动量方程能解决运动流体中的什么问题
很难得到
N-S方程根据牛顿 第二定律导出
F ma
把牛顿第二定律改写
N-S方程是微分形式，积分可以 得到流场中的压强、速度分布， 进而得到流体受力F。
fx dvx 1 p 2 v x 2 v x 2 v x [ 2 ] x x y 2 z 2 dt
FRx ( p1 v ) A
2
FRy ( p2 v ) A
2
【特例3】:反向等径弯管
1 0,2 90, A1 A2 A, v1 v2 v, qV vA
FRx ( p1 p2 2 v ) A
2
FRy 0
【特例4】逐渐收缩管
1 0,2 90, qV v1 A1 v2 A2
X方向： 表面力: p1 A 1 cos 1 p2 A 2 sin 2
管壁对流体的作用力
F F F
x y
qv (v2 x v1x ) qv (v2 y v1 y ) qv (v2 z v1z )
z
FRx
则，X方向上流体所受合力为
p1 A1 cos1 p2 A2 sin 2 FRx
d ( mv ) F dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F
d ( mv ) dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。 质点系占据一定的空间，取这个空间为控制体，把拉 格朗日法表示的动量变化率改换成用欧拉法表示，这 样就容易求的作用在控制体内流体质点系上的外力。
说明：管路中由于摩擦引起的沿程阻力损 失hf与管长成正比，与管直径成反比。
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
vdV v(v dA) A t V
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。 动量方程式中，需注意 1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外部流 体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体内流 体的重力。 2. 控制体内流体动量对时间的变化率，当流动为定常时，此项为零。 是由于控制体内流体动量随时间变化而产生的一种力。
X方向上流体速度合分量为
v2 sin 2 v1 cos 1
根据动量定理，得到 x方向的动量方程
p1 A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin 2 v1 cos1
p1 A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin 1
在三个坐标轴上的投影式为
F F F
x y
qv (v2 x v1x ) qv (v2 y v1 y ) qv (v2 z v1z )
z
本书应用的公式
使用时要注意以下几点：
1、受力对象：动量方程式的受力对象是流体质点系。
F 是外界作用在流体上的力。如果实际问题要求流体
Fdt mdv d (mv )
并用之于具有一定质量的流体质点系， 由于各个质点速度不尽相同，故质点系 的动量定理为
2 2 2 dvy 1 p v y v y v y fy [ 2 ] y x y 2 z 2 dt
1 p 2 v z 2 v z 2 v z dv fz [ 2 ] z 2 2 z x y z dt
这是流体对任意变径弯管的作用力的计算公式，对其求合力得到
FR F F
2 Rx
2 Ry
arctan
FRy FRx
要注意力的方向。
弯管多种多样，下面介绍几个特例
【特例1】直角变径弯管
1 2 0, qV v1 A1 v2 A2
代入公式
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
原来质点系尚留在控制 体中的部分及新流入控 制体的总动量。
V A
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量
F
d ( m v) dt
1 lim {[ vdV ]t t t v(v dA) [ vdV ]t } A t 0 t V V
说明：只有测出相距为L的两断面上的压强差，切应力和摩擦力都可以计算出来 管壁上的摩擦力导致管中的压强沿流动方向逐渐下降。 对1，2两断面列伯努利方程：
z1
由于z1 z2 , v1 v2 , 可得 p p2 4 l hf 1 g gd
p1 p 1 2 1 2 v1 z2 2 Leabharlann Baidu2 h f g 2g g 2g
[ vdV ]t
V
经过t，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+t 瞬时的末动量为：
[ vdV ]t t t v(v dA) t v(v dA)
V A1 A2
[ vdV ]t t t v(v dA)
取控制体的时候注意： 控制表面一部分与固体壁面重合，按照作用力与反作用力大小相等 方向相反的原则，也就求出了流体质点系对固体壁面的作用力。
二、用欧拉方法表示的动量方程式
在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示, 一部分与固体边界重合,（为什么这么选？）
在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要 讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度 为v, 密度为。在t瞬时的初动量为：
F F F
x y
qv (v2 x v1x ) qv (v2 y v1 y ) qv (v2 z v1z )
z
对固体的作用力，则相应的应加以负号。
对于遇到的问题：方程左边的外力一般只包括 (1)管壁对流体的作用力F; (2)截面上流体的表面力p1A1,p2A2。
（3）控制体内流体的重力（重力经常可以忽略）
得：
FRx P 1A 1 qvv1 P 1A 1 v1 A 1v1 ( P 1 v1 ) A 1
2
FRy P2 A2 qv v2 P2 A2 v2 A2v2 ( P2 v2 ) A2
2
【特例2】直角等径弯管 1 2 0, A1 A2 A, qV vA
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
对（1）（2）（3）在坐标方向求合力即可 对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。 2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
对于y方向同样得到
p1 A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin 2 v1 cos1 p1 A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin 1
解方程组得到
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
F v(v dA) v v dA v v dA
s A A2 2 2 A1 1 1
F t vdV v(v dA) V A
为0
qv (v2 v1 ) qv (v2 v1 )
式中 为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数， 取1
【特例5】等径直管 1 0,2 90, A1 A2 A, v1 v2 v
FRx ( p1 p2 ) A FRy 0
等径直管中流体对管道的作用力FRx实质上就是作用 在管壁上的摩擦力，用力FRx处以管壁面积 2 Rl ,可得 管壁上的平均切应力
FRx ( p1 p2 ) R 2 ( p1 p2 ) R pR pd 2 Rl 2 Rl 2l 2l 4l
A
vdV t V
3. v(v dA) 是单位时间内控制体流出、流入的净动量，即流出、流入动量之差， 是流出动量与流入动量不等而产生的力。
特例：常见的定常、不可压缩、一元流动时，方程式可以简化的很简单。 如图所示，把流线方向取为自然坐标 s，取如图控制体，则总控制面上只有 A1， A2上有动量流入流出，假设断面上平均速度为v1,v2,则在定常不可压缩情况下，
要求密度为 ，流量为qv的流体对弯管的作用力 FRx，FRy
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1 取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
弯管对控制体内流体的 作用力 FRx和 FRy , 过流断面上外界流体对 控制体内流体的作用力 P 1A 1, P 2 A2
【特例6】突然扩大管
1 0,2 90
FRx ( p1 v12 ) A1 ( p2 v2 2 ) A2 FRy 0
（1）
突然扩大处流线不能折转，在“死角”处产生涡旋，涡旋区中的流体没有主流 方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力， 而是作用在突然扩大台肩圆环断面A2—A1上的静压力，方向向左。
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )
FRx ( p1 v12 ) A1 ( p2 v2 2 ) A2 FRy 0
FRx p1 A1 cos 1 p2 A2 sin 2 qV (v1 cos 1 ) (v2 sin 2 ) FRy p2 A2 cos 2 p1 A1 sin 1 qV (v2 cos 2 ) (v1 sin 1 )