常微分方程的基本概念PPT课件

y 即
x g(u)u
x
y
xu
dyuxdu
dx
dx
这是什麽方 可分离变
程？
量方程！
.
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[例1]的解:
令 u y x
则dyuxdu,代入得到
dx
dx
uxduutanu dx
分离变量
cotudu dx x
两端积分
ln |siun |ln |x| C 1
siun eC 1xCx (C 0)
由此又得到 yxarc Cs )x i(C n(0)
y f ( x, C1, , Cn )
称为微分方程的通解. 通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解 .
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
积分曲线族
通解y f (x,C)对应于 xy平面上的一族曲线， 称为积分曲线族.
例.验证函y数C1coskxC2sinkx(k是非零常) 数
是微分方dd程 x2y2 k2y 0的通解 .并求满足初始条
dx
或f(x)d xg(y)dy
2. 可化为可分离变量
3. 一阶线性方程 dyp(x)yq(x)
dx
.
11
5.2.1可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程
dy f (x, y) dx
右端f(的 x,y)可以表x的 示函 为 g(数 x)和y的函h(数 y)的乘积 即f(x,y)g(x)h(y),则形dy如 g(x)h(y)的方程，称
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
dd22t m ddtgl 0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
如果把函 y数 y(x)代入微分方程后 成使 为恒等,则 式称函y数 y(x)是微分方程的.
微分方程的通解：
n阶常微分方 的程 包含 n个独立的任意常数 且常数个数与微的 分阶 方数 程相同的解
注意: y 0也是原方程的一个 , 解 所以可以有 C 0
两边积分 f(ud)得 uulnxC,
求出积,再 分用 后 y代替 u,即得原方程 . 的通解 x
.
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[例 1] dyytany
dx x x [例2] dy xy
dx xy
dy dx
1 Байду номын сангаас
1
y
x y
x
这两个方程的共同特点是什麽 ?
可化为
求解方法
代入得到
dy g( y) dx x
齐次型方程
令u du dx
问题的提出：
A.求曲线方程
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
解 设所求曲y线 y为 (x)
dy 2x dx
y2xdx 即yx2C,
其x 中 1 时 ,y2 求C 得 1,
所求曲线方y程 x为 2 1.
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。
dx 可分离变变量 程. 的微分方
这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可
.
.
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[例1] 解方程
(1) dy 2xy dx
这两个方程的共同特点 是变量可分离型
(2) 1y2 3x2ydy dx
dy f(x)(y) 分离变量 g(y)dyf(x)dx dx
两边积分 g(y)dy f(x)d xC通解
.
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(1) [解] 分离变量
1 dy 2x dx y
两边积分
1 y
dy
2xdx
lny x2C1 即 yex2C1 ex2eC1
当 y0时 , yeC1ex2 当 y0时 , yeC1ex2
记 CeC1,则有yCx e2 (C0) 注意： y0也是方程的 ! 解
故C也可以等于零
于是得到方程 dy 2xy
v
mg k
.
k
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5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y)的微分方程称 齐次为微分方程 . x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设 u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由yux,dyuxdu,代入原,得 方 u程 xduf(u)
dx
dx
dx
分离变:量du得 dx, f(u)u x
y
x0
A,
dy dx
x00特解.
1.微分方程的通解和特解有何区别和联系? 2.判断下列函数是否是微分方程 y2y0
的解，是通解还是特解?
(1) y Ce2x (2) y Ce2x (3) y2e2x (4) y 2e2x
§5.2 一阶常微分方程 主要类型
1. 变量可分离型 dy f(x)g(y)
dx
通解
yCx e.2 (CR)
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(2) [解]
1y2 3x2ydy dx
分离变量
y dy 1 y2
dx 3x2
两端积分, 得
12 1y2 1C
2
3x
通解
1y2 1 C 3x
注意y： 2 1,即y1也是方程! 奇的异解 解
.
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例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
1.微分方程的基本概念 2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程
学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
例如 dy 2x，
dx
d2S dt2
g,
注意 : 微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高阶 数称为微分方程的阶.
解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向 取正向。已知自由落体的加速度为g,即：
d2S dt2
g,
将上式改 dd(dSt写 )g成 dt,两边积dd分 St g得 tC： 1, 再积一次S分 12g得 2tC ： 1tC2,其中 C1，C2为任意. 常
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m d v mg kv
dt
初始条件为 vt0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
dv dt mgkv m
得 1ln(mgkv)tC(此 m g 处 k v 0 )
k
m
利用初始条件, 得 C1ln(mg)
t 足够大时
代入上式后化简, 得特解kvmg(1em k t )