中考数学几何模型之弦图模型(解析版)

中考数学几何模型：弦图模型

名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.

（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH ⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.

注意局部弦图

（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.

包含“一线三垂直”

典题探究启迪思维探究重点

例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.

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1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.

例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=62，求AC的长.

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2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.

例题3. 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，D 为△ABC 外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD ，若=4.5ACD S △，求AC 的长.

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3．点P 是正方形ABCD 外一点，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，△CPB 的面积是30cm 2．求正方形ABCD 的面积.

例题4. 在边长为10的正方形ABCD 中，内接有6个大小相同的正方形，P 、Q 、M 、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.

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4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为1+．

【解答】解：在△AOM和△BAN中，，

∴△AOM≌△BAN（AAS），

∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，

∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，

∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，

解得：k＝1±（负值舍去），

∴k＝1+；

故答案为：1+．

例题5. 如图，在等腰Rt △ACB 和等腰Rt △DCE 中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD ，BE ，点I 在AD 上， （1）若IC ⊥BE ，求证：I 为AD 中点； （2）若I 为AD 中点，求证：IC ⊥BE

例题6. 在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为2y x b =+，其与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，在直线l 移动的过程中，直线y=4上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标，如不存在，请说明理由.

达标检测领悟提升强化落实1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，

正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是．

【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，

∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，

∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，

x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，

故答案为：．

2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直

角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．则△APD的面积为5．

【解答】解：如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG

∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4

∴MN＝2，AB＝2

∵四边形EFGH是正方形

∴FO＝HO，EH∥FG

∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO

∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN

∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM

∴EK∥KN，EH∥FG，∴四边形EMNK是平行四边形

∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM

∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，

∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH

∴DH＝AE＝2，∴AH＝6

∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5

故答案为5

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）

（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；

（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于6．

【解答】解：（1）如图，

∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，

在△EAC和△BAG中，，

∴△EAC≌△BAG（SAS），

∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，

∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，

∴∠BPC+∠ABG＝90°，

∴CE⊥BG；

（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，

∵∠EAB＝∠GAC＝90°，

∴∠EAG+∠BAC＝180°，

∵∠EAG+∠EAQ＝180°，

∴∠EAQ＝∠BAC，

∴EQ＝AE•sin∠EAQ＝AB•BC＝3，

∵BC＝3，AB＝5，

∴AC＝＝4，

∴AEG面积＝AG•EQ＝×4×3＝6．