第5章机械波湘潭大学大学物理期末复习资料
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第五章 机械波
孟利军
1、什么是波动
波动：空间某处发生的振动以有限的速度向四周传播. 波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。 波动有机械波，电磁波，物质波
机械波(mechanical wave)：机械振动在连 续介质中的传播，如水波、声波。
2、波动和其他运动形式相比
具时间和空间上的某种重复性
3、各类波在传播途中具有共性： 类似的波动方程
的时间传到P, P点的振动为O点在 t x
u
时刻的
振动，故P点的振动方程为：
y
A c os [
(t
x) u
0 ]
由于P点代表波线上任意一点，故上式即为沿+x方向传播的平面 简谐波的波动方程.
沿-x方向传播的平面 简谐波的波动方程:
y
A c os [
(t
x) u
0
]
2 2
T
u T 2
x1 )
2、当t=t0, x变化时
表示t=t0时刻各个质点偏离 自己平衡位置的位移称为 t=t0时刻的波形方程。
则同一质点在任意两个时 刻的位相差为：
，
(t 2
t1 )
2
(t 2
t1 )
3、若x, t都变化
t时刻的波形方程
y(
x
)
A cos[ (
t
x u
)
0]
t+t时刻的波形方程
y(
x
)
Acos[ (
振动速度：
v
y t
Aω sin[
(t
x u
)
0
]
v(t
,
x)
平面简谐波：波阵面为平面，介质中各个质点都作简谐振动。
波动方程
介质中各个质点的位移是怎样随时间变化 的→任意波线上所有质点的振动情况
一、平面简谐波的波动方程
平面简谐波在理想介质中沿x轴正方向 O 传播。取任意波线为x轴， 轴上任一点
为原点O,其振动方程：
wenku.baidu.com
y0 Acos(t 0 )
x O点的振动经 u
即最前方的波面。 任意时刻只有一个波前，而波面可有任意多个。
按波面的形状，波可分为：平面波、球面波和柱面波等。
各向同性介质， 波线恒与波面垂直。
四、简谐波 一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的 波动是简谐波，此时波源及介质中各质点的振动都是谐振动。
这种情况只能发生在各向同性、均匀、 无限大、无吸收的连续弹性介质中。
t
t
x u
)
0]
在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x
y(x
ut , t
t)
A cos[
(t
t
x
ut u
)
0]
A cos[
(t
x) u
0 ]
y( x, t )
给出了任意质点在任意时刻的位移，或者说它包括了任意时 刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程。
三、质点的振动速度和加速度
注 气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。 意
2）水面波不是弹性波，因为质元所受的力为重力和表面张力 的合力，表明张力不是弹性力。
二、横波和纵波
纵波（longitudinal wave ）
横波（transverse wave ）
振动方向和传播方向平行， 能在所有介质中传播， 如：伸缩的弹簧。
振动方向和传播方向垂直， 只能在固体中传播, 如：绳的抖动；
反射、折射现象： 在两种介质的界面上的反射，折射 干涉现象： 同一介质中，几列波的叠加 衍射现象： 在介质中绕过障碍物
§ 5-1 机械波的形成和传播 一、机械波产生的条件
1、作机械振动的物体，即波源；连续介质
2、弹性波：波动中使介质部分振动的回复力为弹性力，如：声波。
1)弹性力有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力，液体和
T 1 2
由于波源每完成一次全振动，就有一个完整的波形发送 出去，因此当波源相对于介质静止时，周期即为波源的 振动周期，波动频率即为波源的振动频率。
3）波长：反映空间的周期性。
同一波线上相邻的位相差为2π
的两质点之间的距离：
Tu u
注：波速决定于介质，频率决定于波源。
§5-2 平面简谐波的波动方程
特点：
1、沿着波的传播方 向向前看去，前面各 质点的振动位相都依 次落后于波源的振动 位相；
2、机械波向外传播 的是波源的振动状态 （位相）和能量。
注意：水面波是横波和 纵波的合成，深水中， 质元作圆周运动，浅水 中作椭圆运动。
三、波线和波面 波场：波传播到的空间。
波线（wave line） ：在波场中，代表波的传播方向的射线 波面（wave surface） ：波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹 波前（wave front） ：某一时刻波源最初的振动状态传播到的波面
m x0
u
0 )
Acos[ t
m2 x0
0 ]
y(t)
表示x=x0处质点任意时刻偏离自己平衡 位置的位移，即x=x0处质点的振动方程。
x0处质点的振动初相为：
2x0
0
2x0
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= ， 则 x0处质点落后于原点的位相为2
则同一波线上两质点的位相差为：
2
(x2
令： k 2
表示2π长度内所具有的完整波的 数目，称为波矢，为矢量，其方 向为波的传播方向，则：
y
Acos[2 ( t
T
m
x
)
0
]
A cos[
t
m2 x
0 ]
Acos[ 2
(ut
mx)
0 ]
y Acos[k(ut x) 0 ]
二、波动方程的物理意义
1、当x=x0,t变化时
y
Acos( t
容变弹性模量：
应力： p p B V
V
六、描述波动的几个物理量
u 1）波速：振动状态在单位时间内传播的距离（相速）
对于机械波，波速通常由介质的性质决定。
对于简谐波： 固体（细棒）：
u//
E
u
G
通常 E G u// u
弦：
u
T
T---弦中张力 μ---线密度
液体、气体：
u//
B
B---容变弹性模量
对理想气体绝热过程：
pV C V dp pV 1dV 0 dp p
dV V
故：
pV M RT p RT
M mol
M mol
u//
B
p
RT
M mol
2）周期和频率：反映时间的周期性。
周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间；
T
频率：周期的倒数ν，即为单位时间内通过 介质中某固定点完整波的数目。
由于任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加 而成，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。
以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。
五、物体的弹性形变
1、长变
应变： l
l
应力： F S
弹性模量：
F E l Sl
2、切变
应变： arctand 应力： F
b
S
切变模量：
F G
S
3、容变
应变： V V
孟利军
1、什么是波动
波动：空间某处发生的振动以有限的速度向四周传播. 波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。 波动有机械波，电磁波，物质波
机械波(mechanical wave)：机械振动在连 续介质中的传播，如水波、声波。
2、波动和其他运动形式相比
具时间和空间上的某种重复性
3、各类波在传播途中具有共性： 类似的波动方程
的时间传到P, P点的振动为O点在 t x
u
时刻的
振动，故P点的振动方程为：
y
A c os [
(t
x) u
0 ]
由于P点代表波线上任意一点，故上式即为沿+x方向传播的平面 简谐波的波动方程.
沿-x方向传播的平面 简谐波的波动方程:
y
A c os [
(t
x) u
0
]
2 2
T
u T 2
x1 )
2、当t=t0, x变化时
表示t=t0时刻各个质点偏离 自己平衡位置的位移称为 t=t0时刻的波形方程。
则同一质点在任意两个时 刻的位相差为：
，
(t 2
t1 )
2
(t 2
t1 )
3、若x, t都变化
t时刻的波形方程
y(
x
)
A cos[ (
t
x u
)
0]
t+t时刻的波形方程
y(
x
)
Acos[ (
振动速度：
v
y t
Aω sin[
(t
x u
)
0
]
v(t
,
x)
平面简谐波：波阵面为平面，介质中各个质点都作简谐振动。
波动方程
介质中各个质点的位移是怎样随时间变化 的→任意波线上所有质点的振动情况
一、平面简谐波的波动方程
平面简谐波在理想介质中沿x轴正方向 O 传播。取任意波线为x轴， 轴上任一点
为原点O,其振动方程：
wenku.baidu.com
y0 Acos(t 0 )
x O点的振动经 u
即最前方的波面。 任意时刻只有一个波前，而波面可有任意多个。
按波面的形状，波可分为：平面波、球面波和柱面波等。
各向同性介质， 波线恒与波面垂直。
四、简谐波 一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的 波动是简谐波，此时波源及介质中各质点的振动都是谐振动。
这种情况只能发生在各向同性、均匀、 无限大、无吸收的连续弹性介质中。
t
t
x u
)
0]
在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x
y(x
ut , t
t)
A cos[
(t
t
x
ut u
)
0]
A cos[
(t
x) u
0 ]
y( x, t )
给出了任意质点在任意时刻的位移，或者说它包括了任意时 刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程。
三、质点的振动速度和加速度
注 气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。 意
2）水面波不是弹性波，因为质元所受的力为重力和表面张力 的合力，表明张力不是弹性力。
二、横波和纵波
纵波（longitudinal wave ）
横波（transverse wave ）
振动方向和传播方向平行， 能在所有介质中传播， 如：伸缩的弹簧。
振动方向和传播方向垂直， 只能在固体中传播, 如：绳的抖动；
反射、折射现象： 在两种介质的界面上的反射，折射 干涉现象： 同一介质中，几列波的叠加 衍射现象： 在介质中绕过障碍物
§ 5-1 机械波的形成和传播 一、机械波产生的条件
1、作机械振动的物体，即波源；连续介质
2、弹性波：波动中使介质部分振动的回复力为弹性力，如：声波。
1)弹性力有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力，液体和
T 1 2
由于波源每完成一次全振动，就有一个完整的波形发送 出去，因此当波源相对于介质静止时，周期即为波源的 振动周期，波动频率即为波源的振动频率。
3）波长：反映空间的周期性。
同一波线上相邻的位相差为2π
的两质点之间的距离：
Tu u
注：波速决定于介质，频率决定于波源。
§5-2 平面简谐波的波动方程
特点：
1、沿着波的传播方 向向前看去，前面各 质点的振动位相都依 次落后于波源的振动 位相；
2、机械波向外传播 的是波源的振动状态 （位相）和能量。
注意：水面波是横波和 纵波的合成，深水中， 质元作圆周运动，浅水 中作椭圆运动。
三、波线和波面 波场：波传播到的空间。
波线（wave line） ：在波场中，代表波的传播方向的射线 波面（wave surface） ：波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹 波前（wave front） ：某一时刻波源最初的振动状态传播到的波面
m x0
u
0 )
Acos[ t
m2 x0
0 ]
y(t)
表示x=x0处质点任意时刻偏离自己平衡 位置的位移，即x=x0处质点的振动方程。
x0处质点的振动初相为：
2x0
0
2x0
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= ， 则 x0处质点落后于原点的位相为2
则同一波线上两质点的位相差为：
2
(x2
令： k 2
表示2π长度内所具有的完整波的 数目，称为波矢，为矢量，其方 向为波的传播方向，则：
y
Acos[2 ( t
T
m
x
)
0
]
A cos[
t
m2 x
0 ]
Acos[ 2
(ut
mx)
0 ]
y Acos[k(ut x) 0 ]
二、波动方程的物理意义
1、当x=x0,t变化时
y
Acos( t
容变弹性模量：
应力： p p B V
V
六、描述波动的几个物理量
u 1）波速：振动状态在单位时间内传播的距离（相速）
对于机械波，波速通常由介质的性质决定。
对于简谐波： 固体（细棒）：
u//
E
u
G
通常 E G u// u
弦：
u
T
T---弦中张力 μ---线密度
液体、气体：
u//
B
B---容变弹性模量
对理想气体绝热过程：
pV C V dp pV 1dV 0 dp p
dV V
故：
pV M RT p RT
M mol
M mol
u//
B
p
RT
M mol
2）周期和频率：反映时间的周期性。
周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间；
T
频率：周期的倒数ν，即为单位时间内通过 介质中某固定点完整波的数目。
由于任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加 而成，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。
以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。
五、物体的弹性形变
1、长变
应变： l
l
应力： F S
弹性模量：
F E l Sl
2、切变
应变： arctand 应力： F
b
S
切变模量：
F G
S
3、容变
应变： V V