动力学5_7

k y y1 0 my
ky ky1 kd sin my

l
vt
习题2-2：图示滑块A (质量为m)在光滑的水平槽中运动，弹 簧刚度系数为k，杆AB长为l，小球大小不计。设在力偶M作 用下杆AB的运动规律为 =t，试求滑块A的运动微分方程。
x
解法一: 在水平方向应用动量定理：



有首次积分:
L c1 x L c2 T V E
l cos c m x cos m x l mx 1 2 1 c2 mR 2 2


确定积分常数:
1 2 c2 mR 2
习题5-13：建立质点的运动微分方程, 并求维持圆环匀角速转动 所需的转矩 M。
例：对于具有定常约束的质点系，其动能可以表示成 _________________________。
A : T T2 T1 T0 ;
B : T T ; 2
C : T T2 T1;
பைடு நூலகம்
D : T T1 T0



2 2 1 2 1 l l 1 2 m x cos sin ml 2 L T V mx 2 2 2 2 24 2 2 1 1 2 l cos l sin m x mR 2 4 2 l mg (1 cos ) mgl (1 cos ) 2
FIAB
mg
FIOA FIAB l m OA , 2
mg
1 2 M IOA ml OA , 3 1 2 M IAB ml AB 12
l m (l OA AB ), 2
可以用动静法：整体对O点取矩平衡 + AB杆对A点取矩平衡
FIOA M IOA
M IAB
动力学习题
1
例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB 用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，由水平位置 无初速释放，求释放的初瞬时两杆的角加速度。
OA
AB
解：(1) 对初始位置时的系统做受力分析，并加上惯性 力，设初始瞬时两杆的角加速度均为顺钟向。
FIOA M IOA
M IAB
B




A
x
g

(1) 若初始时，杆位于铅垂位置
。=0，滑块的速度为u，
方向水平向右；圆盘的角速 度为。，转向逆时针。试
给出系统拉格朗日方程的首
B

次积分并确定积分常数。
2 2 1 2 1 l l 1 2 m x cos sin ml 2 L T V mx 2 2 2 2 24 2 2 1 1 2 l cos l sin m x mR 2 4 2 l mg (1 cos ) mgl (1 cos ) 2
T 5 1 cos C mL mx 2 x 2
T V E
A
x
m1 g
AB 2L
例：给出系统拉格朗日方 程的首次积分。

m2 g
解：系统的主动力为有势力
B
系统的动能和势能分别为
1 2 2 2 m2 x L cos m2 L2 T (m1 m2 ) x 2 3 V m2 gL(1 cos ) , ) 中不显含广义坐标x和时间t , 拉格朗日函数 L T V L( x
l cos c m x cos m x l mx 1 2


2 2 1 2 1 l l 1 2 m x cos sin ml 2 mx 2 2 2 2 24 2 2 1 1 2 l cos l sin mR 2 m x 4 2 l mg (1 cos ) mgl (1 cos ) E 2
2 2 xr 0 xr r sin t
xa
xr
mg
l 解: 取相对位移 y 为坐标, 静平衡位置o为原点.
题7-27: 已知 y1 d sin

x1 , 求B的振动方程.
L T V
y
o
1 1 2 2 y 1 ky m y 2 2
d y 1 m y ky 0 dt
A
度给出系统的动能T和势能
V(杆在铅垂位置时为势能零 点 )；
x
g

(2) 若初始时，杆位于铅垂位置
。=0，滑块的速度为u，
B

方向水平向右；圆盘的角速 度为。，转向逆时针。试 给出系统拉格朗日方程的首 次积分并确定积分常数。
例：AB杆长为l，圆盘半径为R，各物件质量均为m。不计所有摩
擦。求： (1) 给出系统的动能T和势能V
o
1
1 1 2 1 2 1 1 2 T ml 1 mvC ml 2 2 3 2 2 12 2 . 1 2 ml 1 6
A
. . 1 l . 2 1 . 2 m[(l 1 ) ( 2 ) 2 l 2 l 1 cos( 2 1 )] 2 2 2
T cos C m2 L (m1 m2 ) x x
系统的水平动量守恒
T V E
系统的机械能守恒
例：滑块与均质圆盘用不计质量的杆AB铰接在铅垂平面内运动，
系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长为L，圆盘半径为R，滑
块与均质圆盘的质量均为m。不计所有摩擦。求： (1) 用系统的广义坐标和广义速
d m1 ( x l cos t ) kx mx dt
解法二: 应用拉格朗日方程：
1 2 1 2 2 m1 ( x l cos t ) ( l sin t ) 动能： T mx 2 2 1 2 势能： V kx m1 gl cos t 2
. 2
. 2
2
B
. 2 1 ml 2 2 24 l l V mg cos1 mg (l cos1 cos 2 ) 2 2
例：初始静止, 求两杆的角加速度。
F
题7-24：已知：曲柄OA匀速转动，求受迫振动方程。
解：(1) 取位置坐标。
o
O
A
xa xe xr xe l cos t
拉格朗日方程的首次积分并确 定积分常数。
要求：给出解题的基本理论和基本步骤。
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均
质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的首次积分。AB=2L
x
A
vA
解：系统的主动力均为有势力
mg
mg

c
vCA
B
1 2 1 1 2 1 2 2 T mv A J A A mvC J A AB 2 2 2 2
(杆铅垂时势能取零)；
A
x
g

l V mg (1 cos ) mgl (1 cos ) 2
2 2 1 2 1 l l 1 2 m x cos sin ml 2 T mx 2 2 2 2 24 2 2 1 1 2 l cos l sin m x mR 2 4 2

g
A
1 ) 2 m( R T2 ______________ 2
T1 ______________ 0

B
1 m( R sin ) 2 T0 ______________ 2 1 1 2 T m( R ) m( R sin ) 2 2 2
例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质
其中：
Ti 为广义速度的 i 次齐函数( i =0,1,2)。
例：对于具有定常约束的质点系，其动能可以表示成 _________________________的函数。
A ：广义速度； B ：广义坐标； C：时间 t 。
例：第二类拉格朗日方程用于研究具有_____________ 质点系的力学问题。
ky my 1 md my l
v sin vt l
2
l 解: 取绝对位移 y 为坐标, 静平衡位置o为原点.
题7-27: 已知 y1 d sin

x1 , 求B的振动方程.
y
o
L T V 1 2 1 2 k y y1 my 2 2
所示，其中AB杆长为l，圆盘半径为R，各物件质量均为m。不计
所有摩擦。求： (1) 用系统的广义坐标和广义速
x
g
A
度给出系统的动能T和势能
O
xe xa xr
A
k
G
k
k
k
G Uc
l0 st

a 阻尼力: F cx
yr
例：已知 m, k , xe r sin t , 求相对运动动力学方程
xe
l0 st
o
xa xe l0 st xr
a mg k ( xr st ) m x
FIAB
AB
mg
mg
(2) 取两杆的转角OA 和 AB 为广义坐标。 (3) 取虚位移 AB 0, OA 0
l l W mg 2 AB FIAB 2 AB M IAB AB 0
FIOA M IOA OA
M IAB
FIAB



0 , 滑块速度u向右；圆盘角速度 0 逆时针。 初始 0 0, 0
1 c1 mu mu mu c2 mR 20 2 1 2 1 2 1 2 1 2 E mu mu mu mR 20 0 2 2 2 4
例：系统在铅垂平面内运动，水平面光滑。系统的广义坐标如图
x A vA x AB r vC v A vCA
L 5 2 1 2 2 1 mL mx L cos T ( x , , ) V mg (1 cos ) T mx 4 6 2 2 , ) 中不显含广义坐标 x 和时间 t , 拉格朗日函数 L T V L( x
mg
mg
(3) 取虚位移 OA 0, AB 0
W mg OA M IOA OA mg l OA FIAB l OA 0
OA 9g 3g , AB 7l 7l
l 2
例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB 用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，质量为m， 试建立两杆的运动方程。
A ：完整约束； B ：定常约束； C：非完整约束； D ：非定常约束。
例：质量为 m 的质点可在半径为R 的圆环内运动，圆环以角速
度 (常矢量)绕AB轴作定轴转动，如图所示。为质点的广义坐 标，此时质点的动能可以表示成
T T2 T1 T0
，其中
Ti
(i=0,1,2)为广义速度的i 次齐函数。求：
量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅垂平面内
运动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求： (1) 用系统的广义坐标和广义速度 给出系统的动能T和势能V(杆 在铅垂位置时为势能零点)； (2) 若初始时，杆位于铅垂位置。 =0，圆盘中心A点的速度为u，
x
A
mg
mg

B
杆的角速度为零。试给出系统