专升本高等数学公式全集

f ( y, p) 类型二
类型四： y ' p( x) y Q (x)
p ( x) dx
若 Q(X) 等于 0 ，则通解为 y Ce （一阶齐次线性）。若不等于
0 ，通解
p( x)dx
p ( x )dx
ye
Q( x)e dx c （一阶齐次非线性）。
一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。 三、线性微分方程
解法：先找出对应的齐次微分方程的通解： y3( x) c1 y1(x) c2 y2 ( x) 再找出非齐次方程的任意特解 yp ( x) ，则： y( x) yp (x) c1y1( x) c2 y2( x)
类型三： y '' py ' q 0 （二阶线性常系数齐次微分方程）
解法（特征方程法）： 2 p q 0
f (n ) ( 0) x n n!
一些函数展开成幂级数：
(1 x ) m 1 mx m( m 1) x 2 2!
m (m 1) (m n 1) x n n!
x3 x5 sin x x
3! 5!
( 1) n 1 x2 n 1
(
x
( 2 n 1)!
( 1 x 1) )
可降阶的高阶微分方程
类型一： y(n) f ( x)
1 (log a x) x ln a
导数公式：
基本积分表：
(arcsin x)
1
2
1x
(arccos x)
1 1 x2
1 ( arctgx ) 1 x2
( arcctgx )
1 1 x2
文档
实用标准文案
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
secxdx ln secx tgx C
1,2
p p2 4q 2
（一）
p2 4q 0
1
2
y c1e 1x c2e 2 x
（二）
0
1
2
y (c1 c2x)e x
（三） 0 1
i ,2
i
y e x (c1 cos x c2 sin x)
(tgx) sec2 x (ctgx) csc2 x (secx) secx tgx (csc x) csc x ctgx (a x ) a x ln a
实用标准文案
专升本高等数学公式（全）
常数项级数： 等比数列： 1 q q 2 等差数列： 1 2 3 调和级数： 1 1 1
23
qn 1
1 qn 1q
(n 1)n n
2
1 是发散的 n
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法
— —根植审敛法（柯西判
设：
lim n u n，则
n
1时，级数收敛 1时，级数发散
1时，不确定
解法（多次积分法）： 令 u y(n 1)
du f ( x)
dx
类型二： y '' f (x, y ')
解法： 令 p y ' dp f ( x, p) 一阶微分方程
dx
类型三： y '' f ( y, y ')
多次积分求 f ( x)
解法： 令 p y '
dp
dp dy
dp p
dx dy dx dy
2、比值审敛法：
设：
lim U n 1 ，则
n
Un
1时，级数收敛 1时，级数发散
1时，不确定
3、定义法：
sn u 1 u 2
u n ; lim sn 存在，则收敛；否则发 n
别法）： 散。
交错级数 u1 u2 u3 u4 (或 u1 u 2 u3 ,un 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理：
如果交错级数满足
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n) ( x0) ( x n!
x0 )n
余项： Rn
f ( n 1) ( ) (x
x0 ) n 1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的
(n 1)!
充要条件是：
lim
n
Rn
0
x0 0时即为麦克劳林公式：
f ( x ) f ( 0) f ( 0) x f ( 0) x 2 2!
cscx ctgxdx cscx C a xdx a x C
ln a shxdx chx C
chxdx shx C dx ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
2
2
I n sin n xdx cosn xdx
0
0
x 2 a 2 dx x x 2 a 2 2
x 2 a 2 dx x x 2 a2 2
a 2 x 2 dx x a 2 x2 2
csc xdx ln csc x ctgx C
dx 1
x
a2 x2
arctg C
a
a
dx
1 xa
x2 a2
ln 2a x a
C
dx
1 ax
a2 x2
ln
C
2a a x
dx
x
arcsin C
a2 x2
a
dx cos2 x
dx sin 2 x
sec2 xdx tgx C csc2 xdx ctgx C
secx tgxdx secx C
调和级数： 1 发散，而 n
( 1) n 收敛； n
级数：
1 n2
收敛；
1 ｐ １时发散
p级数：
np
p
1时收敛
幂级数：
1 x x2 x3 对于级数 ( 3) a0
1
xn
x 1时，收敛于
1x
x 1时，发散
a1x a2 x 2
an xn
，如果它不是仅在原点
x R时收敛
收敛，也不是在全
数轴上都收敛，则必存 在 R，使 x R时发散 ，其中 R称为收敛半径。
x R时不定
0时， R 1
求收敛半径的方法：设
lim an 1
n
an
，其中 an， an 1是 (3)的系数，则
0时， R 时， R 0
函数展开成幂级数：
文档
实用标准文案
函数展开成泰勒级数：
f (x)
f ( x0 )( x x0 )
n1 n In 2
a2 ln( x
2
x2 a2 ) C
a2 ln x
2
x2 a2 C
a2
x
arcsin C
2
a
三角函数的有理式积分：
一些初等函数：
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两个重要极限：
双曲正弦 : shx 双曲余弦 : chx
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实用标准文案
类型一： y '' P( x) y ' Q(x) y 0 （二阶线性齐次微分方程）
解法：找出方程的两个任意线性不相关特解： y1( x), y2 (x)
则： y(x) c1 y1( x) c2 y2 (x)
类型二： y '' P( x) y ' Q(x) y f ( x) （二阶线性非齐次微分方程）
un un 1 lim un 0，那么级数收敛且其和 s u1, 其余项 rn的绝对值 rn
n
un 1。
绝对收敛与条件收敛：
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实用标准文案
(1)u1 u 2
u n ，其中 un 为任意实数；
(2பைடு நூலகம் u1 u 2 u3
un
如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；
如果 ( 2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。