人教版高中数学B版必修二 样本空间与事件

件不重、不漏.
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变式训练1个盒子中装有5个完全相同的球,分别标有号码1,2,3,4,5, 从中一次任取两球.
(1)写出这个试验的样本空间; (2)求这个试验样本点的总数; (3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点. 解:(1)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}. (2)样本点总数为10. (3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为
力.
一
二
三
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一、现象的相关概念 1.今天早上,乌云密布,燕子低飞,可知今天一定下雨,你觉得这种 分析对吗? 提示:不对.今天下雨是一种随机现象,但考虑到乌云密布,燕子低 飞,只能说今天下雨的可能性很大而已. 2.填空. (1)随机现象(或偶然现象):一定条件下,发生的结果事先不能确定 的现象. (2)必然现象(或确定性现象):一定条件下,发生的结果事先能够确 定的现象.
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一
二
三
三、随机事件
1.填空. (1)不可能事件、必然事件、随机事件
随机事件 事 件 必然事件
不可能事 件
如果随机试验的样本空间为 Ω,则随机事件 A 是 Ω 的一个非空真子集.若试验的结果是 A 中的元素,则 称 A 发生(或出现等);否则,称 A 不发生(或不出现 等).
每次试验中 Ω 一定发生,从而称 Ω 为必然事件.
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第五章 统计与概率
5.3 概率 5.3.1 样本空间与事件
-1-
课标阐释
思维脉络
1.了解随机现象、样本 点和样本空间的概念.
2.理解随机事件的概
念,在实际问题中,能正 确求出事件包含的样
本点的个数,并会写出
相应的样本空间.
3.明确随机事件发生的
概率,并能直观判断两 个事件概率的大小,培 养学生的逻辑推理能
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变式训练2下列事件中的随机事件为( ) A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)c B.没有水和空气,人也可以生存下去 C.抛掷一枚硬币,反面向上 D.在标准大气压下,温度达到60 ℃时水沸腾 答案:C 解析:A中的等式是实数乘法的结合律,对任意实数a,b,c是恒成立 的,故A是必然事件.在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存 下去的,故B是不可能事件.抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并 不知道会是正面向上还是反面向上,故C是随机事件.在标准大气压 下,只有温度达到100 ℃,水才会沸腾,当温度是60 ℃时,水是绝对不 会沸腾的,故D是不可能事件.故选C.
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列举法确定样本空间——数学方法
典例连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?
解:(1)这个试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,
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变式训练1判断下列现象是必然现象还是随机现象: (1)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数; (2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色; (3)在10个同类产品中,有8个正品、2个次品,从中任意抽出2个检 验的结果. 解:(1)掷一枚质地均匀的骰子有可能出现1~6点,不能确定,因此 是随机现象. (2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色,有可能 是黄色,也有可能是绿色,故是随机现象. (3)抽出的2个产品中有可能全部是正品,也有可能是一个正品一 个次品,还有可能是两个次品,故此现象为随机现象.
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反思感悟随机现象的判断方法 判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件 下,现象的结果是否可以预知、确定,若在一定条件下,出现的结果 是可以预知的,这类现象为必然现象;若在一定条件下,出现哪种结 果是无法预知、无法事先确定的,这类现象为随机现象.
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②样本点的总数为16. ③“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“x<3,且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
④“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1).
“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
(1)答案:C 解析:两个小孩有男、女之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的基本 事件.故选C.
(2)解:①
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(
4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
一
二
三
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4.做一做:给出下列事件:
①如果a,b是实数,那么b+a=a+b; ②某地1月1日刮西北风; ③当x是实数时,x2≥0; ④一个电影院某天的上座率超过50%.
其中是随机事件的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 答案:B
解析:由题意易知①③是必然事件,②④是随机事件.故选B.
(1,5),(2,4).
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1.下列现象是必然现象的是( ) A.某路口单位时间内通过的车辆数 B.n边形的内角和为(n-2)·180° C.某同学在期末考试中数学成绩高于60分 D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数 答案:B 2.下列事件中,不可能事件是( ) A.三角形的内角和为180° B.平行四边形的对边相等 C.锐角三角形中两内角和小于90° D.三角形中任意两边之和大于第三边 答案:C 解析:锐角三角形中两内角和大于90°.
空集⌀不包含任何样本点,因此可以认为每次试验 中⌀一定不发生,从而称⌀为不可能事件.
(2)事件:一般地,不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为 事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件.特别地,只含有一个 样本点的事件称为基本事件.
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二
三
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2.从集合的角度,你是如何理解随机事件的?举例说明. 提示:我们可以把随机事件理解为样本空间的子集. 如掷一枚骰子观察掷出点数的试验中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}. 若设A={2,4,6},则A⊆Ω,A是Ω的一个子集,事件A表示“掷出偶数点” 这一结果.若设B={5,6},则B⊆Ω,B也是Ω的一个子集,事件B表示“掷 出点数大于4”. 3.事件的分类是确定的吗? 提示:事件的分类是相对于条件来讲的,在不同的条件下,必然事 件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
延伸探究1将例2(2)中条件不变,改为求“x+y是偶数”这一事件包 含哪些样本点?
解:“x+y是偶数”包括两种情况,①x,y都是奇数;②x,y都是偶数,故
“x+y是偶数”这一事件包含以下8个样本 点:(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).
延伸探究2在例2(2)的条件下,“xy是偶数”这一事件是必然事件吗? 解:当x,y均是奇数时,xy是奇数;当x,y中至少有一个是偶数时,xy是 偶数,故“xy是偶数”这一事件是随机事件,而不是必然事件.
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二
三
3.随机现象有什么特点?
提示:在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不
一定相同,事先很难预料哪一种结果出现,但随机现象不是一种杂
乱无章的现象,是有一定规律可循的.
4.做一做:下列现象是随机现象的是( )
①当x是实数时,x-|x|=2;
②某班一次数学测试,及格率低于75%;
得到的数为y,结果为(x,y).
①写出这个试验wk.baidu.com样本空间;
②求这个试验的样本点的总数;
③“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?“x<3,且y>1”呢?
④“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?“x=y”呢?
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分析:解答本题要根据日常生活的经验,有条不紊地逐个列出所 要求的结果.
正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)样本点的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,
正),(反,正,正).
方法点睛当基本事件的总数比较大时,首先要列举基本事件,然
后查个数,得出总数.在列举时要按照一定的顺序,才能确保基本事
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事件类型的判断 例3判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随 机事件. (1)“抛一石块,下落”; (2)“在标准大气压下,温度低于0 ℃时,冰融化”; (3)“某人射击一次,中靶”; (4)“如果a>b,那么a-b>0”; (5)“掷一枚硬币,出现正面”; (6)“导体通电后,发热”; (7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”; (8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”; (9)“没有水分,种子能发芽”; (10)“在常温下,焊锡熔化”.
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分析:根据在一定条件下必然事件必然发生,不可能事件不可能 发生,随机事件可能发生也可能不发生判断.
解:事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件 (3)(5)(7)(8)是随机事件.
反思感悟事件类型的判断方法 要判定某事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是 相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生,是不一定发生,还 是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件, 一定不发生的是不可能事件.
解:(1)随机现象.因为竞选能否成功是不可预知的;
(2)随机现象.因为出现的结果可能是正面,也可能是反面,结果并
不确定.
(3)随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码,本身无法预测,是不
可知的.
(4)必然现象.因为标准大气压下,水加热至100 ℃时沸腾这个结果
一定会发生,是确定的.
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必然现象、随机现象
例1判断下列现象是必然现象还是随机现象:
(1)小明在校学生会主席竞选中成功;
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果;
(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码;
(4)标准大气压下,把水加热至100 ℃沸腾.
分析:根据必然现象、随机现象的定义进行判断.
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反思感悟随机事件的结果是相对于条件而言的,要确定样本空 间,(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出所 有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做 到既不重复也不遗漏.
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样本点与样本空间
例2(1)一个家庭有两个小孩,则样本空间Ω是( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
(2)同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙
③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的
纸团上的数是偶数;
④体育彩票某期的特等奖号码.
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④
答案:C
解析:由于方程x-|x|=2无解,故①不可能发生,不是随机现象,由随
机现象的定义知②③④是随机现象.
一
二
三
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二、样本点和样本空间 1.填空. (1)随机试验(试验):在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实 验称为随机试验(简称为试验). (2)样本点:随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点. (3)样本空间:由所有样本点组成的集合称为样本空间. 2.做一做:抛掷两枚骰子,点数之和为8所含的样本点有 个. 答案:5 解析:所含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).