第四章泊松过程1
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泊松过程的性质
到达时刻的分布
01
到达时刻的分布是均匀分布。在泊 松过程中，到达时刻的概率密度函 数为$f(t) = lambda e^{-lambda t}$，其中$t$是到达时刻。
02
到达时刻的期望和方差分别为 $E(T) = frac{1}{lambda}$和 $Var(T) = frac{1}{lambda^2}$ 。
泊松过程的性质
目录
CONTENTS
• 泊松过程的定义 • 泊松过程的性质 • 泊松过程的统计特性 • 泊松过程的扩展和推广 • 泊松过程的应用
01
CHAPTER
泊松过程的定义
泊松过程的基本概念
01
02
03
随机性
泊松过程是一种随机过程， 其事件的发生具有随机性。
独立性
泊松过程中，任意两个不 相交的时间区间内发生的 事件相互独立。
马尔科夫到达过程是一 种特殊的泊松过程，其 中事件的发生概率只与 当前状态有关，而与过 去的状态无关。
在马尔科夫到达过程中 ，事件的发生是一个马 尔科夫链的过程，即下 一个事件的发生概率只 取决于当前事件是否发 生，而与之前的事件无 关。这种过程具有无记 忆性。
马尔科夫到达过程的数 学表达通常使用马尔科 夫链和概率论，通过状 态转移概率和转移矩阵 来描述。
平稳性
总结词
平稳性是指泊松过程的事件发生频率与时间无关，即单位时间内发生的事件数 是一个常数。
详细描述
在泊松过程中，事件的发生频率是恒定的，不随时间的推移而改变。这意味着 在任意一个固定的时间间隔内，事件发生的次数是一个随机变量，但其均值等 于单位时间间隔内的事件发生率。
无后效性
总结词
无后效性是指泊松过程中，过去的事件不会影响未来的事件。
泊松过程合成和分解.ppt
例：设{X n}Markov链，状态空间 I {0,1}, p01 p10 1.则所有状态互达。 集合{n 1: p00 (n) 0} {2,4,6,...}， 其最大公约数为 2，d (0) 2. {X n}不遍历
例：设{X n}Markov链，状态空间 I {0,1}, p01 1, p10 p11 0.5.则所有状态互达。 集合{n 1: p11(n) 0} {1,2,3,4,...}， 其最大公约数为 1，d (1) 1.
例1：有10把步枪，其中两把已校正，命中率为p1; 其余
未校正,命中率为p2 ,这里p1 p2.某人任取一把开始打靶，
令X n为第n次命中的次数,即X n
1 0
第n次命中 第n次未命中
（1）对n
m，求（X
n，X
）的联合分布律和边缘分布律。
m
（2）以Sn表示前n次命中的次数，求Sn的分布律。
（3）若p1 1，p2 0，写出所有样本函数，写出Sn的分布律.
若i可达j, j可达i,则称i和j互达
设i是一个状态，定义 i的周期 d (i)为 集合{n 1: pii (n) 0}的最大公约数。 若d (i) 1,则称i非周期；否则称 i是周期的
性质：若 i和j互达，则 d(i) d( j)
定理：设{X n}是状态有限的 Markov链， 并且所有状态互达。则 以下3条相互等价。 （1）{X n}遍历； （2）所有状态非周期； （3）某一状态非周期。
此时对n
m，X
n和X
独立吗？为什么？
m
解: 令A "取到已校正的枪", 由全概率公式得:
(1) p11 P( X n 1, X m 1)
P( X n 1, X m 1| A)P( A) P( X n 1, X m 1| A)P( A) 0.2 p12 0.8 p22; 同理p01 p10 0.2 p1(1 p1) 0.8 p2 (1 p2 ); p00 0.2(1 p1)2 0.8(1 p2 )2 P( X n 0) 0.2(1 p1) 0.8(1 p2 ) P( X n 1) 0.2 p1 0.8 p2
泊松过程poisson
分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程
n
i 1
i
设 E[ X n ] ，由于Xn为非负随机变量且不恒为0，所以 有 0 。 因为Sn代表n次更新所花费的时间，则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0，故当n∞时，要求Sn 趋于∞；反之，若Sn∞， 必然要求n ∞ ，这就说明在有限长的时间内只能出现 有限次更新。 t 有限时：
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义：在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件： （1） N(t) ≥0； （2） N(t) 一个是正整数； （3）如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。 （4）对于s < t，N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出 现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 ， 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ，是两个不相交 的时间间隔，若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计 独立，则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关，则称N(t)为 平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得： dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难，一般仅讨论平稳分布， t∞时的极限情况。 二、排队和服务问题 1、基本概念：任何排队过程包括三个不同的历程： 1）到达过程 2）排队过程 3）服务过程 排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示，其中： G1— 顾客到达服从G1分布； G2—服务时间服从G2分布；n — 服务员数目；m —顾客排队容许长度（或系统容量），m = ∞时不写出，为等待制系统。
i 1
i
设 E[ X n ] ，由于Xn为非负随机变量且不恒为0，所以 有 0 。 因为Sn代表n次更新所花费的时间，则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0，故当n∞时，要求Sn 趋于∞；反之，若Sn∞， 必然要求n ∞ ，这就说明在有限长的时间内只能出现 有限次更新。 t 有限时：
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义：在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件： （1） N(t) ≥0； （2） N(t) 一个是正整数； （3）如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。 （4）对于s < t，N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出 现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 ， 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ，是两个不相交 的时间间隔，若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计 独立，则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关，则称N(t)为 平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得： dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难，一般仅讨论平稳分布， t∞时的极限情况。 二、排队和服务问题 1、基本概念：任何排队过程包括三个不同的历程： 1）到达过程 2）排队过程 3）服务过程 排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示，其中： G1— 顾客到达服从G1分布； G2—服务时间服从G2分布；n — 服务员数目；m —顾客排队容许长度（或系统容量），m = ∞时不写出，为等待制系统。
泊松过程poisson课件
则T 旳概率分布为 分布:
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
随机过程-4泊松过程性质1
指数分布
• 定义2.12 如果随机变量X 的密度函数为
f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
• 其中 > 0 为常数，则称 X 服从 参数为的 指数分布，记作X~Exp()
指数分布的密度函数图像：
y
1.4
1.2
f
(
x)
e x
,
x0
1
0, x 0
0.8
2.3.4 几何和指数随机变量的分布函数
指数分布的分布函数：
指数分布的密度函数为：f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
当 x 0 时， F(x) P(X x) 0
当
x0
时， F ( x) P( X x)
x e t dt
0
e t
|0x
• 例 进入银行，你发现有3个营业员在服务客 户，而且没有其他人在排队等待。假设你 的服务时间和正在接受服务的客户的服务 时间都是具有相同参数的指数分布，且相 互独立。那么你是最后一个离开银行的概 率是多少？
• 答案是1/3.从你开始接受一名营业员服务的 那一刻算起，另两名正在接受服务的顾客 还需要的服务时间，与你所需的服务时间 具有相同的分布。另外两位顾客虽然比你 早接受服务，但由于泊松过程的无记忆性， 他们与你处于同一起跑线上，不算以前的 服务时间，三人所需的服务时间的分布是 相同的。所以你和其他2人具有相同的概率 最后离开银行。
fWn
(t)
e
t
(t)n1 , t
(n 1)!
• 定义2.12 如果随机变量X 的密度函数为
f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
• 其中 > 0 为常数，则称 X 服从 参数为的 指数分布，记作X~Exp()
指数分布的密度函数图像：
y
1.4
1.2
f
(
x)
e x
,
x0
1
0, x 0
0.8
2.3.4 几何和指数随机变量的分布函数
指数分布的分布函数：
指数分布的密度函数为：f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
当 x 0 时， F(x) P(X x) 0
当
x0
时， F ( x) P( X x)
x e t dt
0
e t
|0x
• 例 进入银行，你发现有3个营业员在服务客 户，而且没有其他人在排队等待。假设你 的服务时间和正在接受服务的客户的服务 时间都是具有相同参数的指数分布，且相 互独立。那么你是最后一个离开银行的概 率是多少？
• 答案是1/3.从你开始接受一名营业员服务的 那一刻算起，另两名正在接受服务的顾客 还需要的服务时间，与你所需的服务时间 具有相同的分布。另外两位顾客虽然比你 早接受服务，但由于泊松过程的无记忆性， 他们与你处于同一起跑线上，不算以前的 服务时间，三人所需的服务时间的分布是 相同的。所以你和其他2人具有相同的概率 最后离开银行。
fWn
(t)
e
t
(t)n1 , t
(n 1)!
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
北京大学 泊松过程 讲义
2 2
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0； 该过程是独立增量计数过程； 该过程是平稳增量计数过程； 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0； 该过程是独立增量计数过程； 该过程是平稳增量计数过程； 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。
泊松过程
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n) 事件A发
生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h, X (t ) n} P{s Wk s h X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
称它为具有参数 >0 的泊松过程
泊松过程例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示 电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为 时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一 个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故 障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障 而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松 过程来描述。
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的 时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数：
4-泊松过程
n n 1 2 1
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
北大随机过程课件泊松过程
[N(t+s)-N(t)]仅与s有关而与t无关，则称 N(t)
为平稳增量计数过程.
2021/7/1
基本概念--泊松过程
❖泊松过程为满足下列假设的计数过程:
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+
o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
2021/7/1
泊松过程
❖泊松过程
❖泊松过程递推微分方程 ❖泊松过程母函数 ❖泊松分布的几个问题
❖非齐次泊松过程 ❖复合泊松过程 ❖过滤泊松过程
N (t)N 1(t)N 2(t)是参数为1 2 的泊松
过程
2021/7/1
泊松分布相关的问题
❖(7). 泊松过程的差
❖如果 N1(t),N2(t)是参数分别为 1, 2 的
相互的独立泊松过程，则他们的和 N (t)N 1(t)N 2(t)是否为泊松过程?
2021/7/1
非齐次泊松过程
❖定义：
❖泊松过程的均值:
E N (t) nP{N (t) n} n0
d dz
(
z
)
z
1
d dz
e
t
(1
z
)
z
1
t
2021/7/1
泊松过程的统计特征
❖泊松过程的均值:
E N (t) nP{N (t) n} n0
d dz
(
z
)
为平稳增量计数过程.
2021/7/1
基本概念--泊松过程
❖泊松过程为满足下列假设的计数过程:
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+
o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
2021/7/1
泊松过程
❖泊松过程
❖泊松过程递推微分方程 ❖泊松过程母函数 ❖泊松分布的几个问题
❖非齐次泊松过程 ❖复合泊松过程 ❖过滤泊松过程
N (t)N 1(t)N 2(t)是参数为1 2 的泊松
过程
2021/7/1
泊松分布相关的问题
❖(7). 泊松过程的差
❖如果 N1(t),N2(t)是参数分别为 1, 2 的
相互的独立泊松过程，则他们的和 N (t)N 1(t)N 2(t)是否为泊松过程?
2021/7/1
非齐次泊松过程
❖定义：
❖泊松过程的均值:
E N (t) nP{N (t) n} n0
d dz
(
z
)
z
1
d dz
e
t
(1
z
)
z
1
t
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泊松过程的统计特征
❖泊松过程的均值:
E N (t) nP{N (t) n} n0
d dz
(
z
)
泊松过程
k! (3)对任意的n 2, 及0 t0 t1 P( Nt - N s k )
, k 0,1, 2,
tn
, n个增量
Ntn - Ntn-1 ,
, Nt1 - Nt0 是相互独立的随机变量.
其中(2)(3)合称为平稳独立增量性。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对泊松过程的进一步理解 一般地，如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机 事件总数, 则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程. 计数过程的一些例子：
1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为计数过程. 2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 3. 4. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 。。。。。。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足 以下性质（0-1律）：
1) P{Nt h Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nt h Nt 1} h (h)
[ (t s)]n e t n!
由此得到，对t 0, Nt 服从参数为 (t s)的泊松分布.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对0 u s t , 可证 Nt N s与Nu 独立，
以及增量的独立性.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 n , n 1, 2, 相互独立同服从参数为λ指数分布．
n
, k 0,1, 2,
tn
, n个增量
Ntn - Ntn-1 ,
, Nt1 - Nt0 是相互独立的随机变量.
其中(2)(3)合称为平稳独立增量性。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对泊松过程的进一步理解 一般地，如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机 事件总数, 则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程. 计数过程的一些例子：
1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为计数过程. 2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 3. 4. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 。。。。。。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足 以下性质（0-1律）：
1) P{Nt h Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nt h Nt 1} h (h)
[ (t s)]n e t n!
由此得到，对t 0, Nt 服从参数为 (t s)的泊松分布.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对0 u s t , 可证 Nt N s与Nu 独立，
以及增量的独立性.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 n , n 1, 2, 相互独立同服从参数为λ指数分布．
n
泊松过程详细分析与公式
定理参2 数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第
n 次出现的等待时间Tn服从 (n,分)布,其概率
密度为： f
t
et
(t)n1 ,
(n 1)!
Tn
0,
t 0; t0
注：在排队论中称Tn 服从爱尔朗分布。 证1 因Tn是事件A 第 n次出现的等待时间,故 ｛Tn≤t}={N(t)≥n}={[0, t]内A至少出现n次}
解 设 N(t) 表示在时间t时到达的顾客数
P(N(0.5) 1, N(2.5) 5)
P(N(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4)
P(N(0.5) 1)P(N(2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155
THEOREM： Def 1和Def 2是等价的。
EX
, DX
2
3,若X ~ 1, ,Y ~ 2, ,且X与Y 独立，则
X Y ~ 1 2,.
Proof 2: 因为Tn=X1+X2+···+Xn， Xi均服从指数分布，而参数 为
指数分布即为 1,, 所以Tn服从n,.
3. 来到时刻的条件分布
一、顺序统计量及其分布
1，顺序统计量 设Y1,Y2,···,Yn是n个随机变量，记Y(k)是Y1,Y2,···,Yn 中第k个最
CHAPTER 3 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程 N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)，
t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0 2， N(t)为整数 3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(s , t]中发生的事件的个数。
泊松过程及例子1
定义3.3
设随机过程{ X (t ) ，t 0 }是一个计数过程，
参数为 （ 0 ） ，
（1） X (0) 0
满足
（2） X (t ) 是独立平稳增量过程
（3） X (t ) 满足下列两式：
P{X (t h) X (t ) 1} h (h) P{ X (t h) X (t ) 2} (h) 其中 (h) 表示当 h 0 时对 h 的高阶无穷小，
1/
（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数
服从参数为 t （ 0 ）的泊松分布，
(t ) k t e P{X (t s) X (s) k} k!
则称
即对一切 s, t 0 ，有
k 0,1,2,
首页
X (t ) 为具有参数 的泊松过程。
注意
从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
则称
{ Wn ， n 1 }为等待时间序列
以Tn （ n 1 ）表示第n 1 次发生
到第n 次发生之间的时间间隔
则称
{ Tn ， n 1 }为到达时间间隔序列
首页
定理3.2
首页
设{ X (t ) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列 T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
P1(t)=(λt+c)e-λt.
d λt [e P1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, dt
由于P1(0)=0, 代入上式得 c=0, P1(t)=λte-λt. (t ) n -λt 以下用数学归纳法证明: Pn(t)= e 成立. n! 假设n-1时有结论,证对n有: n -λt (t ) ,n=0,1,2,…. P{X(t+s)-X(s)=n}=e n! 根据 d [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t) dt 式,有 ( t ) n 1 -λt (t ) n 1 d λt [e Pn(t)]=λeλt e = , (n 1)! ( n 1)! dt 积分得 (t ) n eλtPn(t)= +c . n!
泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
机器”，“接收一个粒子”，“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目，这个数目也是 随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
P , Xt h Xt0 XtX0n P , Xt h Xt1 XtX0n1 P XtX0nj,Xt hXt j
j 2
n 1 P t 1 h h P t h 1 h h h n n 1
P t hP t h 0 0 所 以 P t P t 0 0 h h
取 h 0 的 极 限 ， 得
所 以 l n P t tC ,P t C e
t 0 1 0
P t P t, 且 P 0 P X 0 0 1 0 0 0
t
n
P n t
t
n!
n
et
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由 数 学 归 纳 法 知 ： P t n
由 条 件 （ 2 ） 有 ：
t e
n !
n t
P X t s s n P X t X 0 n X P X t n P t n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定 义 3 . 3 （ 泊 松 过 程 ） 称 计 数 过 程 X t , t 0
第章 Poisson过程ppt课件
(nk)!
k!(n n !k)! s k 1s n k,k0 ,1 ,2 , ,n .
精选课件
16
泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数
N (t)E [N (t)]t
N 2(t)V ar[N (t)]t
自相关函数
R N (s,t) E [N (s)N (t)]
m in (s,t) 2 st s(t 1 ), (s t)
λ ο （3）存在λ 0 , 当 h 0 时， P { N ( t h ) N ( t) 1 } h ( h ) ,
ο （4）当 h 0 时， P { N ( t h ) N ( t) 2 } (h ) .
精选课件
10
Poisson过程的等价性(说明)
精选课件
11
Poisson过程定义的应用
证: (1) 因 {X1>t}={[0, t ]内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
F X 1 t 1 P X 1 t 1 e t , t 0 .
即X1 服从均值为1/λ的指数分布.
精选课件
21
(2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有
P{X2>t|X1=s}=P{在(s, s+t ]内事件A不发生|X1=s }
(40.5)1 e40.5 (42)4 e42
1!
4!
0.0155
精选课件
8
事故的发生次数和保险公司接到的索赔数
若以N(t)表示[0,t]时间内发生事故的次数. Poisson过 程 {N(t),t 0}是很好的一种近似. 考虑保险公司每次 赔付都是1, 每月平均4次接到索赔要求，则一年中它 要付出的平均金额为多少？
随机过程3.3 泊 松 过 程(一)
(1)
平稳 增量
P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝
= P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
=P0(t)[1－λh+o(h)]
增量 独立
P0
(t
h) h
P0
(t
)
P0
(t
)
o(h) h
电子科技大学
令h 0, 得
§3.3 泊 松 过 程(一)
dP0 (t dt
)
P0 (t )
P0(0) 1, (条件(1) N (0) 0)
解得 p0 (t) et , t 0.
2o 当n≥1, 根据全概率公式有
pn (t h) pn (t) p0 (h) pn1(t) p1(h)
P{N (t ) 2} pk (t ) o(t ),
k2
其中λ＞0.
电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一)
定义3.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1) N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；
Ti Wi1 Wi
定理3设.3{.2Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),
t≥0}的时间间隔序列则，{Tn, n≥1}相互独立同服
从指数分布，
且E{T}=1/λ.
证 (1) 因 {T1>t }={(0, t )内事件A不出现}
P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
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t ( t ) n 1 , e fTn (t ) (n 1)! 0,
证明 t 0时, Tn 的分布函数
t0 t0
FTn (t ) 0
t 0时 FTn (t ) P{Tn t} P{N (t ) n}
第n个随机点的 到达时刻
( t ) k t e k! k n
得证
平稳性
1 , 2 , , n
的独立性
1 P{ n t 1 s1 , 2 s2 , n 1 sn 1} sn 1 ) N ( s1 s2 sn 1 ) 0}
独立性也可以证明如下
t 0时，F（ P{1 t} 1 t） 1 P{ 1 t}
分析：要证明该定理只需要证明泊松定义中的第二 第三条满足即可. 证明： 由引例知 Tn ~ (n, ) 故其概率密度函数为
fTn ( x)
n
(n 1)!
x n1e x
x0
于是 P( N c (t ) n) P(Tn t Tn1 ) P(Tn t Tn n+1 )
若用N(t)表示[0,t]内到达的随机点数，显然
特点 ① t , N (t ) 0 ② N(t)是非负整数 ③ 0 s t , N (t ) N (s)
④ 0 s t , N (t ) N (s) 表示时间间隔 t-s内发生的随机事件数．
这种随机过程称为计数过程 即实随机过程 {N(t),t≥0}是计数过程，如果N(t)表示直到t时 刻为止发生的某随机事件数．
fTn ( x)e y dxdy
D
ห้องสมุดไป่ตู้
其中
( t ) t e n!
n
D {( x, y) : x t x y, x (0, ), y (0, )}
以上证明了Nc(t)服从参数为λ的泊松分布，下证平稳 的独立增量性.即对于任意的0≤s<t,增量 Nc(t)-Nc(s)与Nc(u) (u ≤s)独立且 Nc(t)-Nc(s)～π(λ(t-s)) 注意到 {N c (s) k} {T s T } k k 1 定义
计数过程的另一种表示
Ntc nI[Tn ,Tn1 ) (t )
n 0
t 0
计数过程的轨道性质
(a) 零初值性 ，状态空间是0及自然数 (b) 样本轨道是单调不减，右连续 (c)轨道间断点跳跃的高度永远是1
N(t) 表示[0，t]时间内到达的随机点数, 则N(t) (Nt)是一个随机变量． 分析这些随机过程的公同特点
是独立增量
2 st min(s, t ) CN (s, t ) RN (s, t ) mN (s)mN (t )
2 st min( s, t ) s t min( s, t )
2)对0 s t
P( N (t ) N ( s) k ) P( N (t s) N (0) k )
P( N (t1 1 ) 0) P( N (t1 1 ) N (t1 1 ) 1) P( N (t2 2 ) N (t1 1 ) 0) P( N (t2 2 ) N (t2 2 ) 1) 4 21 2e ( 2 t2 )
因此二维随机变量（T1，T2）的联合密度函数为
2e t2 , t1 t2 0 fT1 ,T2 (t1 , t2 ) 否则 0,
由于 1 T1, 2 T2 T1 ,(1, 2 ) 的概率比密度函数为
e f1 , 2 (t1 , t2 ) 0,
平稳性
P( N (t s) k )
由定义
( (t s))k e (t s ) , k 0,1,2, k!
计数过程的到达时间与到达时间间隔分布
到达时间(序列) 设 {Nc(t),t≥0} 是计数过程，即Nc(t)表示时间 区间[0,t)内到达的随机点数.
令Ti 表示第i个随机点的到达时刻,则称
{Tn , n 1, 2, } 为计数过程的到达时间序列.
到达时间间隔(序列)
令 n Tn Tn1 它表示第n-1个随机点与第n个
随机点的到达时间间隔,则称 { n , n 1, 2, } 为Poisson过程的到达时间间隔(序列)
显然有 Tn 1 2
n n 1,2,
Tn
t
再求导数
k k 1 ( t ) k ( t ) t t fTn (t ) e e k! k n k ! k n k k 1 ( t ) t (t ) t e e k! k n k n ( k 1)!
1 P{N (t ) 0} 1 e t
以下证明 1 , 2 相互独立
P(t1 1 T1 t1 1 , t2 2 T2 t2 2 ) P( N (t1 1 ) 0, N (t1 1 ) N (t1 1 ) 1, N (t2 2 ) N (t1 1 ) 0, N (t2 2 ) N (t2 2 ) 1)
t 0, N (t )服从参数是λ
t 的Poisson分布,即
(t ) k e t P( N (t ) k ) , k 0,1,2, k!
则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ 的 Poisson过程.
定理 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson 过程，则 1) mN (t ) t , t 0, DN (t ) t , t 0,
是独立性得证，进而平稳性得证.
定理 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， n , n 1,2, 是其到达时间间隔序列，则 1 , 2 , , n , 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布．
证明 独立性 由于poisson过程是平稳的独立增量过程 所以 1 , 2 ,
1 P{ 2 t 1 s1} 1 P{N (t s1 ) N (s1 ) 0} 1 e t
平稳性
t 0时
F（ t） P{ n t} n 1 P{ n t}
1 P{N (t s1 1 P{N (t ) 0} 1 e t
又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有 RN (s, t ) E[ N (s) N (t )]
E[(N ( s) N (0))(N (t ) N ( s) N ( s))] E[(N ( s) N (0))(N (t ) N ( s))] E[ N ( s)]2 E[N ( s)]E[N (t ) N ( s)] D( N ( s)) (E[ N ( s)])2 s(t s) s 2 s 2 2 st s
第三章 跳跃随机过程
本章主要内容
泊松过程的定义及基本性质 泊松过程的0-1律 复合泊松过程过程 泊松过程扩展
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点
t ( t ) n 1 , e fTn (t ) (n 1)! 0,
证明 t 0时, Tn 的分布函数
t0 t0
FTn (t ) 0
Tn = k ,而 k ~E ( )
k =1
n
k 的特征函数为
k
(u）
ju
ju
RN ( s, t ) 2 st min( s, t ), s, t , 0 CN ( s, t ) min( s, t ), s, t , 0
2)
对0 s t , N (t ) N (s)服从参数为
(t s)的poisson分布
证明 1) 由定义,显然有 mN (t ) t , DN (t ) t , t 0.
(1) .零初值性N (0) 0
(2) .0 s t , N (t ) N (s) ~ 泊松分布
(3)独立增量性 n 2,0 t0 t1 t2 N (tn ) N (tn1 ), N (tn1 ) N (tn2 ) tn , r.v.s. , N (t2 ) N (t1 ), N (t1 ) N (t0 )
n
1
0
2
T1
T2
T3
Tn 1
Tn
t
n Tn Tn1
给出上述定义以后，我们自然需要回答下列问题 (1):计数过程与泊松过程的关系， (2):关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布
引理 (到达时间序列分布)
设{Nc(t),t≥0} 是计数过程,其到达时间间隔相互独立且同 服从参数为λ 的指数分布，则到达时间分布 Tn , n 1,2, 服从Γ 分布,密度为
2 ( t1 t2 )
, t1 t2 0 否则
于是 1 的概率比密度函数为
f 2 (t2 ) e
0
2 ( s t2 )
ds e
t2
定理 (到达时间序列分布)
设{N(t),t≥0} 是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间
Tn , n 1,2, 服从Γ 分布,密度为
Nts N c (t ) N c (s), t s
s N 则是 t 一个从s开始的计数过程
1 k 1 ( s Tk ) n k n
因此在 {N ( s) k} 的条件下，Nts 的到达时间间隔
证明 t 0时, Tn 的分布函数
t0 t0
FTn (t ) 0
t 0时 FTn (t ) P{Tn t} P{N (t ) n}
第n个随机点的 到达时刻
( t ) k t e k! k n
得证
平稳性
1 , 2 , , n
的独立性
1 P{ n t 1 s1 , 2 s2 , n 1 sn 1} sn 1 ) N ( s1 s2 sn 1 ) 0}
独立性也可以证明如下
t 0时，F（ P{1 t} 1 t） 1 P{ 1 t}
分析：要证明该定理只需要证明泊松定义中的第二 第三条满足即可. 证明： 由引例知 Tn ~ (n, ) 故其概率密度函数为
fTn ( x)
n
(n 1)!
x n1e x
x0
于是 P( N c (t ) n) P(Tn t Tn1 ) P(Tn t Tn n+1 )
若用N(t)表示[0,t]内到达的随机点数，显然
特点 ① t , N (t ) 0 ② N(t)是非负整数 ③ 0 s t , N (t ) N (s)
④ 0 s t , N (t ) N (s) 表示时间间隔 t-s内发生的随机事件数．
这种随机过程称为计数过程 即实随机过程 {N(t),t≥0}是计数过程，如果N(t)表示直到t时 刻为止发生的某随机事件数．
fTn ( x)e y dxdy
D
ห้องสมุดไป่ตู้
其中
( t ) t e n!
n
D {( x, y) : x t x y, x (0, ), y (0, )}
以上证明了Nc(t)服从参数为λ的泊松分布，下证平稳 的独立增量性.即对于任意的0≤s<t,增量 Nc(t)-Nc(s)与Nc(u) (u ≤s)独立且 Nc(t)-Nc(s)～π(λ(t-s)) 注意到 {N c (s) k} {T s T } k k 1 定义
计数过程的另一种表示
Ntc nI[Tn ,Tn1 ) (t )
n 0
t 0
计数过程的轨道性质
(a) 零初值性 ，状态空间是0及自然数 (b) 样本轨道是单调不减，右连续 (c)轨道间断点跳跃的高度永远是1
N(t) 表示[0，t]时间内到达的随机点数, 则N(t) (Nt)是一个随机变量． 分析这些随机过程的公同特点
是独立增量
2 st min(s, t ) CN (s, t ) RN (s, t ) mN (s)mN (t )
2 st min( s, t ) s t min( s, t )
2)对0 s t
P( N (t ) N ( s) k ) P( N (t s) N (0) k )
P( N (t1 1 ) 0) P( N (t1 1 ) N (t1 1 ) 1) P( N (t2 2 ) N (t1 1 ) 0) P( N (t2 2 ) N (t2 2 ) 1) 4 21 2e ( 2 t2 )
因此二维随机变量（T1，T2）的联合密度函数为
2e t2 , t1 t2 0 fT1 ,T2 (t1 , t2 ) 否则 0,
由于 1 T1, 2 T2 T1 ,(1, 2 ) 的概率比密度函数为
e f1 , 2 (t1 , t2 ) 0,
平稳性
P( N (t s) k )
由定义
( (t s))k e (t s ) , k 0,1,2, k!
计数过程的到达时间与到达时间间隔分布
到达时间(序列) 设 {Nc(t),t≥0} 是计数过程，即Nc(t)表示时间 区间[0,t)内到达的随机点数.
令Ti 表示第i个随机点的到达时刻,则称
{Tn , n 1, 2, } 为计数过程的到达时间序列.
到达时间间隔(序列)
令 n Tn Tn1 它表示第n-1个随机点与第n个
随机点的到达时间间隔,则称 { n , n 1, 2, } 为Poisson过程的到达时间间隔(序列)
显然有 Tn 1 2
n n 1,2,
Tn
t
再求导数
k k 1 ( t ) k ( t ) t t fTn (t ) e e k! k n k ! k n k k 1 ( t ) t (t ) t e e k! k n k n ( k 1)!
1 P{N (t ) 0} 1 e t
以下证明 1 , 2 相互独立
P(t1 1 T1 t1 1 , t2 2 T2 t2 2 ) P( N (t1 1 ) 0, N (t1 1 ) N (t1 1 ) 1, N (t2 2 ) N (t1 1 ) 0, N (t2 2 ) N (t2 2 ) 1)
t 0, N (t )服从参数是λ
t 的Poisson分布,即
(t ) k e t P( N (t ) k ) , k 0,1,2, k!
则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ 的 Poisson过程.
定理 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson 过程，则 1) mN (t ) t , t 0, DN (t ) t , t 0,
是独立性得证，进而平稳性得证.
定理 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， n , n 1,2, 是其到达时间间隔序列，则 1 , 2 , , n , 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布．
证明 独立性 由于poisson过程是平稳的独立增量过程 所以 1 , 2 ,
1 P{ 2 t 1 s1} 1 P{N (t s1 ) N (s1 ) 0} 1 e t
平稳性
t 0时
F（ t） P{ n t} n 1 P{ n t}
1 P{N (t s1 1 P{N (t ) 0} 1 e t
又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有 RN (s, t ) E[ N (s) N (t )]
E[(N ( s) N (0))(N (t ) N ( s) N ( s))] E[(N ( s) N (0))(N (t ) N ( s))] E[ N ( s)]2 E[N ( s)]E[N (t ) N ( s)] D( N ( s)) (E[ N ( s)])2 s(t s) s 2 s 2 2 st s
第三章 跳跃随机过程
本章主要内容
泊松过程的定义及基本性质 泊松过程的0-1律 复合泊松过程过程 泊松过程扩展
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点
t ( t ) n 1 , e fTn (t ) (n 1)! 0,
证明 t 0时, Tn 的分布函数
t0 t0
FTn (t ) 0
Tn = k ,而 k ~E ( )
k =1
n
k 的特征函数为
k
(u）
ju
ju
RN ( s, t ) 2 st min( s, t ), s, t , 0 CN ( s, t ) min( s, t ), s, t , 0
2)
对0 s t , N (t ) N (s)服从参数为
(t s)的poisson分布
证明 1) 由定义,显然有 mN (t ) t , DN (t ) t , t 0.
(1) .零初值性N (0) 0
(2) .0 s t , N (t ) N (s) ~ 泊松分布
(3)独立增量性 n 2,0 t0 t1 t2 N (tn ) N (tn1 ), N (tn1 ) N (tn2 ) tn , r.v.s. , N (t2 ) N (t1 ), N (t1 ) N (t0 )
n
1
0
2
T1
T2
T3
Tn 1
Tn
t
n Tn Tn1
给出上述定义以后，我们自然需要回答下列问题 (1):计数过程与泊松过程的关系， (2):关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布
引理 (到达时间序列分布)
设{Nc(t),t≥0} 是计数过程,其到达时间间隔相互独立且同 服从参数为λ 的指数分布，则到达时间分布 Tn , n 1,2, 服从Γ 分布,密度为
2 ( t1 t2 )
, t1 t2 0 否则
于是 1 的概率比密度函数为
f 2 (t2 ) e
0
2 ( s t2 )
ds e
t2
定理 (到达时间序列分布)
设{N(t),t≥0} 是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间
Tn , n 1,2, 服从Γ 分布,密度为
Nts N c (t ) N c (s), t s
s N 则是 t 一个从s开始的计数过程
1 k 1 ( s Tk ) n k n
因此在 {N ( s) k} 的条件下，Nts 的到达时间间隔