第二章地球重力场1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 0 , ) 978.0327(1 5.279041 103 sin 2 2.32718105 sin 4
0.01262105 sin 6 )Gal
精品课件！
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正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体 所产生的重力场。
此物体称为
正常地球旋转椭球
正常重力场的等位面称为 正常水准面。由于正常位可以根据 正常地球的参数求得，因此正常水准面的形状也是已知的。
如果设定了正常地球的长半径 a、扁率 f、旋转角速度ω 以 及总质量 M，并要求椭球表面就是它本身重力场的水准面。 根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的 重力场。这时，我们称正常地球为水准椭球。进一步地，采 用实际地球的 a、f、kM、 ω作为椭球参数，就得到一个与 大地水准面的几何形状和外部重力场符合得最好的水准椭球， 称为平均地球椭球（参考椭球）。
若以大地纬度φ 代替归化纬度β，则由于
可以得到
这是正常重力的严格公式——著名的索米里安公式。 可见， γ 只随大地纬度φ （或归化纬度β）而变化。
2-9
正常引力位的球谐函数展开式
由（2-62）式已经知道正常重力位的椭球谐函数表达式为
且 那么，正常形状的地球引力位的椭球谐函数表达式则为
下面要将这公式改为以球坐标r，θ，λ，表示
式中，质量元素以 dM 表示，对 整个地球进行积分，在积分中引 入(1-81)式：
r为定点P的矢径，r’为质量元素dM的矢径，ψ为r与r’之间的夹角
于是有
写成体球谐函数的级数 根据公式(1—83’)，将其代入（2-30）式
(2-34) 普通谐函数形式：
地球重力位球谐函数展开式的收敛性：
展开式是 1/r 的幂级数，因此， r 值愈大收敛愈快；当 r 较小 时就不会收敛。对任意一物体，可以证明以球谐函数展开的V， 在一个包含该物体的最小球 (r=r0) 外是收敛的。球内一般是发 散的。在某些情况下， r = r0 的球内也能收敛。 假设地球是一个均质椭球，那末 V 的 级数在地球表面仍能收敛。由于地球 的质量分布不规则，因此实际位 V 的 级数在地球表面应是不收敛的。这多 少降低了球谐函数在地面大地测量上 的实用意义， 但在卫星动力学中， 不论在理论还是实用上都很重要。 此 外必须指出，球谐函数展开式只能用 来表示吸引物体以外的位，不能用于 它的内部位，因为对于内部空间，质 图2-10 V 球谐函数展 体位不满足拉普拉斯方程。 开在 r=r0 的球外收敛
(图2-4)局部坐标系 x, y, z, 原 点在 P 点，z 轴为垂线，它和 S面垂直(左手系）
将W(x,y,z)=W0 对 x 微分，考虑到 y=0，z 为x 的函数， 则有
因为 x 轴在 P 点切于水准面，故有
，因而
因为 z 轴为垂线，从（2-14）式有 得水准面与 xz 平面的交线的曲率为 (2-17) (2-18)
它的方向与重力矢量相反， 与等位面的外法线方向重合
dX 与 g 的方向间的夹角为180º ，于是， dW = - gdH 或 (2-13) (2-14)
这说明重力是位 W 的负垂直梯度，或者是grad W的垂直分量。 上述公式确定了相邻水准面的位差（物理量）与高差（几何量） 之间的关系。由于两个水准面的位差不会等于零，因此，高差 dh也不会等于零。这说明两个水准面既不相交，也不相切。而 且也不平行，在一般情况下，同一水准面上各处的重力是不等 的，因此两个水准面之间的距离就不是常数。 就地球来说，由于从赤道到两极重力增加约5伽，因而水准面是 在两极收敛的。两个贴近地面的水准面之间的距离，由赤道向 两极相对减少约5‰，即在赤道上彼此相距为100米的两个水准 面，到两极只有99.5米。
地球表面静止物体所受的作用力为引力和地球自转离心力的合力。
ω 地球自转角速度
ω
取一直角坐标系，原点在地球重心， z 轴和地球的平自转轴重合x 和y 轴按右手坐标系规定，或任意选定。 为了方便，假设x 轴平行于格林尼 治子午面(参阅2-4节）。若单位质 量所受的离心力为 f 矢量的方向与 P=(ω2x, ω2y, 0 ) 的方向相同，则有 f = ω2P(ω2x, ω2y,0 ) (2-2)
2-7
椭球水准面的重力场
司托克斯定理：如果已知一个物体的外水准面 S 及其内部物 质的总质量 M，和整个物体绕一固定轴均匀旋转的角速度，则 S 面上及其外部空间的重力位都可唯一地确定，而无需知道物 体内部质量的具体分布情况。 但并不是说物体的外部重力场与物体内部质量的分布无关！！
地球重力场被表示为：正常重力场 + 扰动重力场
椭球和球坐标之间的关系式
（2-84） 采用间接推导方法 （1）
将它们代入(2-83)式，并经符号代换，得
（2-87）
（2）再把位 V 展开为球谐函数的级数 分析：由于旋转对称，它只有带谐项。而且，由于对赤道面 对称，它只有偶阶的带谐项。奇阶的带谐项对负纬度将变号， 所以就不出现，据此，级数的形式将会是 （2-88）
P2 n (cos ) kM A2 n 2 n 1 r r n1
（288‘）
上式中系数 A2n 为待定常系数，显然它们应与正常椭球的4 个基本参数有关。为了找出这些关系，设想有一点在旋转 轴上，并在椭球之外。该点的 β＝90º ， θ= 0 º ，u=r，于是 (2-87)式变成
故在椭球面S0 上的全部重力以γ 表示时，则有
(2-69)
再引入下列简化符号
第二偏心率
(2-72)
(2-72)
上式是一个重要的近似公式，1738年由克莱劳提出，所以称为 克莱劳理论。比较一下(2-73)式的 γa 和(2-74)式的γb ，以及 (2-72)式中括弧号的量，可以看出 γ 有如下的对称的公式
2-11
国际椭球的参数
在1979年堪培拉召开的第17届IUGG大会上，推荐了下列的1980 年大地测量参考系统，并建议用它代替1967年系统： a 6378137 2m
GM ( 398600 .5 0.05 ) 109 m 3 / s 2 其中包括大气质量 GM a ( 0.35 0.003) 109 m 3 / s 2 J 2 ( 1082 .63 0.005 ) 106
（2-8）
g 即为重力矢量，它是作用于单位质量上的全部力(引力和 离心力之和)，方向为铅垂线方向，铅垂线又简称垂线 1伽 = 1cm/s2 = 1× 10-2m /s2 常用的单位为毫伽(mgal), 1 mgal= 10-3gal=1 × 10-5m /s2
2-2
水准面和铅垂线
2-2-1 水准面的定义及性质 重力位为常数的曲面称为重力等位面或水准面。即 （2-9） 对上式微分 = grad W•dX = g •dX dX = (dx, dy, dz) (2-10) (2-11)
其中
（2-166‘）
b a 5 17 15 2 f 2 f4 f m mf m a 2 14 4
1 1 2 5 1 f4 f fm 4 8 8
（2-100）
这是克荣劳定理的原始形式，说明几何扁率f 可以从重力扁率 β 和m 求得，而β 和m 又完全可以由重力测量得出。就是说地 球椭球的扁率可以由重力测量求得。
2-3
水准面弯曲、重力梯度
一般地曲线 y=f(x) 的曲率公式为：
κ 为曲率，ρ 为曲率半径
当P点的切线平行于x 轴时，y’=0，则有简化式 (2-15) 设想 xz 平面与水准面相交，并且y = 0 现在是以 z 当做 y，因此，水准面和 xz面的交线的曲率，不是(2-15)式，而 是 (2-16)
如果矢量dX沿等位面W=W0，则dW=0，(2-10)式变为 g •dX=0 两个矢量的纯量积如果为零，这两个矢量一定互相正交，所 以此方程式说明重力矢量与通过同一点的等位面正交。
但和等位面正交的线并不是直线而稍有弯曲(图2—2)，这 些线称为力线或铅垂线，任何一点的重力矢量，均与该点 的垂线相切，因此“重力矢量的方向”和“垂线”、“铅 垂线的方向”是同义语，有时，这些方向简单地表示为铅 垂线。 一个点离海水面的高，是 从大地水准面起沿铅垂线量 取的，称为正高(图2-2)。 沿铅垂线增高的方向取矢量 dX，它的长度为 |dX|=dH
(2-4)
图 2-1
离心力
为离心力位
总的力，即引力和离心力的合力称为重力。引力位 V 和离心力位 Φ 两者之和称为重力位 W：
（2-5）
式中是对整个地球的积分。 对离心力位微分，得 与布阿桑方程式(1—13)的V合 并，则得出广义的布阿桑重力 位方程式： （2-6）
重力位 W的矢量梯度
其分量为：
水准面与 yz 平面的交线的曲率为
在曲面上P点的平均曲率J，为过该点垂线的两个互相正交的面， 与曲面相交的曲线的曲率的算术中数。故水准面平均曲率为
这个公式将垂直重力梯度（物理量）和水准面的平均曲率 （几何量）联系起来了。
Wxx Wxy Wxz grad g grad ( grad W ) W yx W yy W yz Wzx Wzy Wzz 重力梯度 g g g T grad g ( Wzx ,Wzy ,Wzz ) ( , , ) x y z (∂g/ ∂x) 和(∂ g/∂y)称为重力的水平梯度，可以确定 垂线的曲率。
重力梯度张量
g g Wzz z h
描述了重力随高程的变化， 称为垂直重力梯度，与水 准面曲率有关。
2-5
地球引力位的球谐函数展开
从重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位是 简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能 直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。 引力位可用基本公式(1-11)表示
正常重力位
已知椭球 S0设为
最后得正常重力位为
公式中的常数只有a、b、f、kM、 ω 。这和司 托克斯理论完全符合，即水准椭球外部空间的 重力位由a、b、f、kM、 ω唯一地确定。
2-8
正常重力
正常重力矢量等于正常重力位U的梯度
沿椭球坐标曲线的分量为
其中设
（2-67）
(我们常常把 S0 的有关量用脚标0表示)。这也很明显，因 为在 S0 上的重力矢量和水准面S0 是垂直的，在参考椭球 u = b 上，正常重力γ 的β 分量和 λ 分量同样也为零。 因在S0 面上有下列关系
而（2-88）式则为
上述两式右边应当相等，因此得 （2-88）
将正常引力位的球谐函数展开写成一般常见形式
J2n为与正常椭球参数有关的常系数。
（2-92） 引进第一偏心率 e=E/a，在 n＝1 时，则得出重要公式 （292‘）
正常重力场的实用公式（正常重力公式）
a ( 1 sin2 1 sin2 2 )
7.292115 105 rad / s
导出量为 f 1 /( 298.257 0.001)
a ( 9.78033 0.00001)m / s 2
U 0 ( 6.263686 0.000003 ) 107 m 2 / s 2
GRS80系统正常重力在椭球面上的公式
( 0 , ) 978.0327(1 5.279041 103 sin 2 2.32718105 sin 4
0.01262105 sin 6 )Gal
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正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体 所产生的重力场。
此物体称为
正常地球旋转椭球
正常重力场的等位面称为 正常水准面。由于正常位可以根据 正常地球的参数求得，因此正常水准面的形状也是已知的。
如果设定了正常地球的长半径 a、扁率 f、旋转角速度ω 以 及总质量 M，并要求椭球表面就是它本身重力场的水准面。 根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的 重力场。这时，我们称正常地球为水准椭球。进一步地，采 用实际地球的 a、f、kM、 ω作为椭球参数，就得到一个与 大地水准面的几何形状和外部重力场符合得最好的水准椭球， 称为平均地球椭球（参考椭球）。
若以大地纬度φ 代替归化纬度β，则由于
可以得到
这是正常重力的严格公式——著名的索米里安公式。 可见， γ 只随大地纬度φ （或归化纬度β）而变化。
2-9
正常引力位的球谐函数展开式
由（2-62）式已经知道正常重力位的椭球谐函数表达式为
且 那么，正常形状的地球引力位的椭球谐函数表达式则为
下面要将这公式改为以球坐标r，θ，λ，表示
式中，质量元素以 dM 表示，对 整个地球进行积分，在积分中引 入(1-81)式：
r为定点P的矢径，r’为质量元素dM的矢径，ψ为r与r’之间的夹角
于是有
写成体球谐函数的级数 根据公式(1—83’)，将其代入（2-30）式
(2-34) 普通谐函数形式：
地球重力位球谐函数展开式的收敛性：
展开式是 1/r 的幂级数，因此， r 值愈大收敛愈快；当 r 较小 时就不会收敛。对任意一物体，可以证明以球谐函数展开的V， 在一个包含该物体的最小球 (r=r0) 外是收敛的。球内一般是发 散的。在某些情况下， r = r0 的球内也能收敛。 假设地球是一个均质椭球，那末 V 的 级数在地球表面仍能收敛。由于地球 的质量分布不规则，因此实际位 V 的 级数在地球表面应是不收敛的。这多 少降低了球谐函数在地面大地测量上 的实用意义， 但在卫星动力学中， 不论在理论还是实用上都很重要。 此 外必须指出，球谐函数展开式只能用 来表示吸引物体以外的位，不能用于 它的内部位，因为对于内部空间，质 图2-10 V 球谐函数展 体位不满足拉普拉斯方程。 开在 r=r0 的球外收敛
(图2-4)局部坐标系 x, y, z, 原 点在 P 点，z 轴为垂线，它和 S面垂直(左手系）
将W(x,y,z)=W0 对 x 微分，考虑到 y=0，z 为x 的函数， 则有
因为 x 轴在 P 点切于水准面，故有
，因而
因为 z 轴为垂线，从（2-14）式有 得水准面与 xz 平面的交线的曲率为 (2-17) (2-18)
它的方向与重力矢量相反， 与等位面的外法线方向重合
dX 与 g 的方向间的夹角为180º ，于是， dW = - gdH 或 (2-13) (2-14)
这说明重力是位 W 的负垂直梯度，或者是grad W的垂直分量。 上述公式确定了相邻水准面的位差（物理量）与高差（几何量） 之间的关系。由于两个水准面的位差不会等于零，因此，高差 dh也不会等于零。这说明两个水准面既不相交，也不相切。而 且也不平行，在一般情况下，同一水准面上各处的重力是不等 的，因此两个水准面之间的距离就不是常数。 就地球来说，由于从赤道到两极重力增加约5伽，因而水准面是 在两极收敛的。两个贴近地面的水准面之间的距离，由赤道向 两极相对减少约5‰，即在赤道上彼此相距为100米的两个水准 面，到两极只有99.5米。
地球表面静止物体所受的作用力为引力和地球自转离心力的合力。
ω 地球自转角速度
ω
取一直角坐标系，原点在地球重心， z 轴和地球的平自转轴重合x 和y 轴按右手坐标系规定，或任意选定。 为了方便，假设x 轴平行于格林尼 治子午面(参阅2-4节）。若单位质 量所受的离心力为 f 矢量的方向与 P=(ω2x, ω2y, 0 ) 的方向相同，则有 f = ω2P(ω2x, ω2y,0 ) (2-2)
2-7
椭球水准面的重力场
司托克斯定理：如果已知一个物体的外水准面 S 及其内部物 质的总质量 M，和整个物体绕一固定轴均匀旋转的角速度，则 S 面上及其外部空间的重力位都可唯一地确定，而无需知道物 体内部质量的具体分布情况。 但并不是说物体的外部重力场与物体内部质量的分布无关！！
地球重力场被表示为：正常重力场 + 扰动重力场
椭球和球坐标之间的关系式
（2-84） 采用间接推导方法 （1）
将它们代入(2-83)式，并经符号代换，得
（2-87）
（2）再把位 V 展开为球谐函数的级数 分析：由于旋转对称，它只有带谐项。而且，由于对赤道面 对称，它只有偶阶的带谐项。奇阶的带谐项对负纬度将变号， 所以就不出现，据此，级数的形式将会是 （2-88）
P2 n (cos ) kM A2 n 2 n 1 r r n1
（288‘）
上式中系数 A2n 为待定常系数，显然它们应与正常椭球的4 个基本参数有关。为了找出这些关系，设想有一点在旋转 轴上，并在椭球之外。该点的 β＝90º ， θ= 0 º ，u=r，于是 (2-87)式变成
故在椭球面S0 上的全部重力以γ 表示时，则有
(2-69)
再引入下列简化符号
第二偏心率
(2-72)
(2-72)
上式是一个重要的近似公式，1738年由克莱劳提出，所以称为 克莱劳理论。比较一下(2-73)式的 γa 和(2-74)式的γb ，以及 (2-72)式中括弧号的量，可以看出 γ 有如下的对称的公式
2-11
国际椭球的参数
在1979年堪培拉召开的第17届IUGG大会上，推荐了下列的1980 年大地测量参考系统，并建议用它代替1967年系统： a 6378137 2m
GM ( 398600 .5 0.05 ) 109 m 3 / s 2 其中包括大气质量 GM a ( 0.35 0.003) 109 m 3 / s 2 J 2 ( 1082 .63 0.005 ) 106
（2-8）
g 即为重力矢量，它是作用于单位质量上的全部力(引力和 离心力之和)，方向为铅垂线方向，铅垂线又简称垂线 1伽 = 1cm/s2 = 1× 10-2m /s2 常用的单位为毫伽(mgal), 1 mgal= 10-3gal=1 × 10-5m /s2
2-2
水准面和铅垂线
2-2-1 水准面的定义及性质 重力位为常数的曲面称为重力等位面或水准面。即 （2-9） 对上式微分 = grad W•dX = g •dX dX = (dx, dy, dz) (2-10) (2-11)
其中
（2-166‘）
b a 5 17 15 2 f 2 f4 f m mf m a 2 14 4
1 1 2 5 1 f4 f fm 4 8 8
（2-100）
这是克荣劳定理的原始形式，说明几何扁率f 可以从重力扁率 β 和m 求得，而β 和m 又完全可以由重力测量得出。就是说地 球椭球的扁率可以由重力测量求得。
2-3
水准面弯曲、重力梯度
一般地曲线 y=f(x) 的曲率公式为：
κ 为曲率，ρ 为曲率半径
当P点的切线平行于x 轴时，y’=0，则有简化式 (2-15) 设想 xz 平面与水准面相交，并且y = 0 现在是以 z 当做 y，因此，水准面和 xz面的交线的曲率，不是(2-15)式，而 是 (2-16)
如果矢量dX沿等位面W=W0，则dW=0，(2-10)式变为 g •dX=0 两个矢量的纯量积如果为零，这两个矢量一定互相正交，所 以此方程式说明重力矢量与通过同一点的等位面正交。
但和等位面正交的线并不是直线而稍有弯曲(图2—2)，这 些线称为力线或铅垂线，任何一点的重力矢量，均与该点 的垂线相切，因此“重力矢量的方向”和“垂线”、“铅 垂线的方向”是同义语，有时，这些方向简单地表示为铅 垂线。 一个点离海水面的高，是 从大地水准面起沿铅垂线量 取的，称为正高(图2-2)。 沿铅垂线增高的方向取矢量 dX，它的长度为 |dX|=dH
(2-4)
图 2-1
离心力
为离心力位
总的力，即引力和离心力的合力称为重力。引力位 V 和离心力位 Φ 两者之和称为重力位 W：
（2-5）
式中是对整个地球的积分。 对离心力位微分，得 与布阿桑方程式(1—13)的V合 并，则得出广义的布阿桑重力 位方程式： （2-6）
重力位 W的矢量梯度
其分量为：
水准面与 yz 平面的交线的曲率为
在曲面上P点的平均曲率J，为过该点垂线的两个互相正交的面， 与曲面相交的曲线的曲率的算术中数。故水准面平均曲率为
这个公式将垂直重力梯度（物理量）和水准面的平均曲率 （几何量）联系起来了。
Wxx Wxy Wxz grad g grad ( grad W ) W yx W yy W yz Wzx Wzy Wzz 重力梯度 g g g T grad g ( Wzx ,Wzy ,Wzz ) ( , , ) x y z (∂g/ ∂x) 和(∂ g/∂y)称为重力的水平梯度，可以确定 垂线的曲率。
重力梯度张量
g g Wzz z h
描述了重力随高程的变化， 称为垂直重力梯度，与水 准面曲率有关。
2-5
地球引力位的球谐函数展开
从重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位是 简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能 直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。 引力位可用基本公式(1-11)表示
正常重力位
已知椭球 S0设为
最后得正常重力位为
公式中的常数只有a、b、f、kM、 ω 。这和司 托克斯理论完全符合，即水准椭球外部空间的 重力位由a、b、f、kM、 ω唯一地确定。
2-8
正常重力
正常重力矢量等于正常重力位U的梯度
沿椭球坐标曲线的分量为
其中设
（2-67）
(我们常常把 S0 的有关量用脚标0表示)。这也很明显，因 为在 S0 上的重力矢量和水准面S0 是垂直的，在参考椭球 u = b 上，正常重力γ 的β 分量和 λ 分量同样也为零。 因在S0 面上有下列关系
而（2-88）式则为
上述两式右边应当相等，因此得 （2-88）
将正常引力位的球谐函数展开写成一般常见形式
J2n为与正常椭球参数有关的常系数。
（2-92） 引进第一偏心率 e=E/a，在 n＝1 时，则得出重要公式 （292‘）
正常重力场的实用公式（正常重力公式）
a ( 1 sin2 1 sin2 2 )
7.292115 105 rad / s
导出量为 f 1 /( 298.257 0.001)
a ( 9.78033 0.00001)m / s 2
U 0 ( 6.263686 0.000003 ) 107 m 2 / s 2
GRS80系统正常重力在椭球面上的公式