第六章 定积分与不定积分的关系

上只有一个解. 所以 F ( x ) = 0 即原方程在[0,1]上只有一个解
1
1
微积分
定理2（原函数存在定理） 定理2 原函数存在定理）
上连续， 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数. 原函数.
2
o
1
2
x
∴ 原式 = ∫ x dx + ∫ xdx + ∫
2 −2 0
0
1
2
1
11 x dx = . 2
2
微积分
例7 解
求 ∫− 2
−
−1
1 dx . x
1 当 x < 0 时， 的一个原函数是ln | x |, x −1 1 dx = [ln | x |]−1 = ln 1 − ln 2 = − ln 2. ∫−2 x −2
∴ F ( x ) − Φ( x ) = C
x ∈ [a , b ]
微积分
令
x=a⇒
a
x
F (a ) − Φ(a ) = C ,
Q Φ(a ) = ∫a f ( t )dt = 0 ⇒ F (a ) = C ,
Q F ( x ) − ∫a f ( t )dt = C , ∴
∫a
x
f ( t )dt = F ( x ) − F (a ),
证 令 F ( x ) = 2 x − ∫ f ( t )dt − 1,
0 x
x
Q f ( x ) < 1,
∴ F ′ ( x ) = 2 − f ( x ) > 0,
上为单调增加函数. F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数 F (0) = −1 < 0,
F (1) = 1 − ∫0 f ( t )dt = ∫0 [1 − f ( t )]dt > 0,
微积分
微积分
dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@gxu.edu.cn
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要来自百度文库) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
记 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
微积分
积分上限函数的性质
定理１ 上连续， 定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 上具有导数， 数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数， 且它的导
x
d x 数是 Φ′( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx y x + ∆x 证 Φ ( x + ∆x ) = ∫ f ( t )dt a
证 F ( x) =
(∫
0
a( x )
+ ∫0
b( x )
) f (t )dt
a( x )
= ∫0
b( x )
f ( t )dt − ∫0
f ( t )dt ,
F ′( x ) = f [b( x )]b′( x ) − f [a ( x )]a′( x )
微积分
例1
求
x 0 分析： 型不定式，应用洛必达法则. 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则 0 d 1 −t 2 d cos x − t 解 ∫cos x e dt = − dx ∫1 e dt , dx
y
x
f ( t )dt ,
Φ(x)
由积分中值定理得
∆Φ = f (ξ )∆x
∆Φ = f (ξ ), ∆x
ξ ∈ [ x , x + ∆x ],
o
a
xξ x + ∆ x b
x
∆Φ lim = lim f (ξ ) ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0
∴ Φ′( x ) = f ( x ).
∆ x → 0, ξ → x
变速直线运动中路程为
∫T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) − s(T1 )
∴ ∫ v ( t )dt = s(T2 ) − s(T1 ). 其中 s′( t ) = v ( t ). T
1
T2
微积分
二、积分上限函数及其导数
上连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 x 为
令x = b ⇒
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
b
微积分
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a) = [F( x)]
b
b a
微积分基本公式表明： 微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 上的增量. 它的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量
π 2
π
2 2 x 0 ≤ x ≤ 1 , 求 ∫0 f ( x )dx . 例5 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5
π 2
解
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1
2
y
在[1, 2]上规定当 x = 1 时， f ( x ) = 5 ,
微积分
补充 如果 f (t ) 连续， a ( x ) 、b( x ) 可导， 连续， 可导，
则 F ( x ) = ∫a ( x ) f ( t )dt 的导数 F ′( x ) 为
b( x )
d b( x ) F ′( x ) = ∫ f ( t )dt = f [b( x )]b′( x ) − f [a ( x )]a′( x ) dx a ( x )
[a , b]上的一点， 考察定积分 上的一点， x x ∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt
上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动，则对于 定积分有一个对应值， 每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b ]上定义了一个函数， 上定义了一个函数，
例 8 计算曲线 y = sin x 在[0, π]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积
解
面积 A = ∫ sin xdx
0
π
y
= [− cos x ] = 2.
π 0
o
π
x
微积分
四、小结
1.积分上限函数 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt 积分上限函数 a 2.积分上限函数的导数 2.积分上限函数的导数 Φ′( x ) = f ( x ) 3.微积分基本公式 微积分基本公式
定理的重要意义： 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的 ）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 ） 间的联系. 间的联系
x
微积分
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本公式- 牛顿—莱布尼茨公式 莱布尼茨公式)) 定理 3（微积分基本公式-(牛顿 莱布尼茨公式
(a ≤ x ≤ b )
∆Φ = Φ( x + ∆x ) − Φ( x )
=∫
x + ∆x a
Φ(x)
f ( t )dt − ∫ f ( t )dt
a
x
o
a
x
x + ∆x b
x
微积分
= ∫a f ( t )dt + ∫x
=∫
x + ∆x x
x
x + ∆x
f ( t )dt − ∫a f ( t )dt
5、设 I1 =
π
∫− π cos mx ⋅ cos nxdx ,
π
∫− πsin mx ⋅ sin nxdx ，
微积分
、当 （1） 当 m = n 时， I 1 =__ ,I 2 =_____ ， 、 、当 ___ （2） 当 m ≠ n 时， I 1 =___ ,I 2 =_____ . 、 6、设 、当 （1） 当 m = n 时， I 3 =____ , 、 、当 （2） 当 m ≠ n 时， I 3 =_____ . 、 7、∫4
x
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a )
b
牛顿－ 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系． 之间的关系．
微积分
思考题
上连续， 设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 ∫ f ( t )dt 与
a x
的函数？ ∫x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们 的导数存在吗？如存在等于什么？ 的导数存在吗？如存在等于什么？
∴ F ′( x ) > 0 ( x > 0).
内为单调增加函数. 故 F ( x ) 在( 0,+∞ ) 内为单调增加函数
微积分
例3
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) < 1 .证明 上连续， 证明
2 x − ∫0 f ( t )dt = 1在[0,1]上只有一个解 上只有一个解.
2
∫ lim
x→0
1
cos x
e dt
2
−t 2
.
= − e −cos x ⋅ (cos x )′ = sin x ⋅ e
2
− cos 2 x
,
∫cos x e lim
x →0
1
−t 2 2
dt
x
sin x ⋅ e = lim x →0 2x
− cos 2 x
1 = . 2e
微积分
内连续， 例 2 设 f ( x ) 在( −∞ ,+∞ ) 内连续，且 f ( x ) > 0 .
求定积分问题转化为求原函数的问题. 求定积分问题转化为求原函数的问题 注意 当a > b 时， ∫ f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) 仍成立 仍成立. a
b
微积分
例4 解
求 ∫ ( 2 cos x + sin x − 1)dx .
0
2 原式 = [2 sin x − cos x − x ]0 = 3 − .
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则 ∫a f ( x )dx = F (b ) − F (a ) . 的一个原函数，
证 Q 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数， 的一个原函数，
又Q Φ ( x ) =
b
∫a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数 的一个原函数,
原式 = ∫ 2 xdx + ∫ 5dx = 6.
0 1
1
2
o
1
2
x
微积分
max{ x , x 2 }dx . 例6 求∫− 2
解 由图形可知
2
y
y = x2
2
f ( x ) = max{ x , x }
y= x
−2
x − 2 ≤ x ≤ 0 = x 0 ≤ x ≤ 1 , x2 1 ≤ x ≤ 2
∫
x
0
f ( t )dt
2
微积分
F ′( x ) =
f ( x )∫0 ( x − t ) f ( t )dt
x
(∫
x
0
f ( t )dt
)
2
,
Q f ( x ) > 0, ( x > 0 ) Q ( x − t ) f ( t ) > 0,
x
∴ ∫0 f ( t )dt > 0,
x
∴ ∫0 ( x − t ) f ( t )dt > 0,
b
微积分
思考题解答
∫a
x
f ( t )dt 与 ∫x f ( u)du 都是 x 的函数
b
d x ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx d b ∫x f ( u)du = − f ( x ) dx
微积分
练习题
填空题： 一 、 填空题 ： 2 b −x d 2 1、 ∫a e dx =_______ . dx x d 2、 ∫ ( f ( x )) dx = __________ . a dx d −2 3 3、 ∫ t ln( t 2 + 1)dt = _______ . dx x 2 x2 , 0 ≤ x ≤ 1 ____， 4 、 ∫ f ( x )dx = ____ ， 其中 f ( x ) = . 0 2 − x , 1 < x < 2
∫0 tf ( t )dt 在(0,+∞ ) 内为单调增 证明函数 F ( x ) = x ∫0 f ( t )dt
加函数. 加函数
x
证
d x ∫0 tf ( t )dt = xf ( x ), dx
x 0
d x ∫0 f ( t )dt = f ( x ), dx
x 0
F ′( x ) =
xf ( x )∫ f ( t )dt − f ( x )∫ tf ( t )dt
第九章 微分方程
微积分
参考书
[1]赵树嫄 微积分 中国人民出版社 赵树嫄. 微积分. 赵树嫄 [2]同济大学 高等数学 高等教育出版社 同济大学. 同济大学 高等数学.
微积分
第六章 定积分与不定积分的 关系
微积分
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动， 设某物体作直线运动，已知速度 v = v (t )是时 的一个连续函数， 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) ≥ 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程. 求物体在这段时间内所经过的路程