第10章 随机过程及统计描述x

一般要确定随机过程的有限维分布函数族是非常困难和 繁琐的，类似于对随机变量的研究一样，更常见的是通过 研究随机过程的一些数字特征来对它们的主要分布特征进 行分析和判断。
18
2.随机过程的数字特征 随机过程的有限维分布函数族能完全刻画随机过程的统计特性， 但是人们在实际中，根据观察往往只能得到随机过程的部分资 料（样本），用它来确定有限维分布函数族是困难的，甚至是 不可能的。因而像引入随机变量的数字特征那样，有必要引入 随机过程的一些数字特征。 定义4 给定随机过程{X(t),tT}，对任意tT，随机变量X(t) 的均值和方差一般与t有关，记为
8
例10.3
考虑
X (t ) a cos(t ),
t (,),
其中a和是正常数,Θ 在(0,2)上服从均匀分布。
显然，对于每一个固定的时刻t t1 , X (t1 ) a cos(t1 )是一个随机变量； 在(0,2 )内随机取一个参数i，相应地得到一个时间函数。
第10章 随机过程及统计描述
关键词：
随机过程 数字特征
1
第10章
随机过程及统计描述
随机变量是定义在样本空间上的函数，当它还与时间 有关时，其描述方式也将有所不同…
10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程
2
10.1 随机过程的概念
概率论部分，引入定义在样本空间上的函数——随机变量 来描述随机现象，通过研究随机变量的分布给出随机现象的统 计规律性，随机变量的统计分布是不随时间而改变的。例如抛 掷一枚均匀硬币的试验中，可定义如下随机变量
{F1 ( x, t ),t T}
一维分布函数族刻画了随机过程在各个不同时刻的统计特 性，为了描述这些统计特性之间的关联性，还需引入多维分 布函数的概念。
13
定义2: 设{X(t),tT}为随机过程，对于确定的t1,t2T,随机 变量X(t1)与X(t2)的联合分布函数，
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }, x1 , x2 R
因此，X(t)是一个随机过程，通常称它为随机相位正弦波。 下图画出了这个随机过程的两条样本曲线。
9
科学研究和科学技术应用中需要应对的随机现象几乎处处 可见，例如，从大的方面来说，地球环境的变化、经济指标 的波动、物种的生长和变异等；从具体的方面来说，生化实 验室内的病菌培养、地震波幅、结构物承受的风荷载以及通 讯、自控、检测和成像系统中的各种噪声和干扰等等，上述 过程都可用随机过程这一数学模型来描绘。 随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型随机变量或离 散型随机变量而分成连续型随机过程或离散型随机过程。 随机过程还可依时间（参数集）是连续或离散进行分类。 当参数集T是有限或无限区间时，称{X(t),tT}为连续参数 随机过程（以下如无特别指明，“随机过程”总是指连续参 数而言的）。如果T是离散集合，则称{X(t),tT}为离散参 数随机过程或随机序列。
0, x 0, 1 F1 ( x;2) P{ X (2) x} , 0 x 4, 2 1, 4 x.
17
F2 ( x1 , x 2 ;1,2) P{ X (1) x1 , X (2) x 2 } 1 1 x1 2， 0 x 2 4， 4， 1 , 1 x 2， 4 x 2； 2 x1， 0 x 2 4， 1 2 2 x1， 4 x 2， 1, 其它。转化为随机序列处理。例 如，我们只在时间集 T {t , 2t , , nt , }
上观测电阻热噪声电压V(t),这时就得到一个随机序列
{V1 ,V2 ,,Vn ,},
Vn V (nt )
当t充分小时，这个随机序列能够近似地描述连续时间情况 下的热噪声电压。 上述分类方法仅仅是表面的，后面会看到对随机过程的分 类往往是根据其概率分布特征进行的。具体地说，就是依照 过程在不同时刻的状态之间的特殊统计依赖方式，抽象出一 些不同类型的模型，如独立增量过程、马尔可夫过程、平稳 过程等。
例10.1 抛掷一枚硬币的试验中，样本空间S={H，T}仅包含两 个样本点，现对这两个样本点的出现与否赋予与时间有关的数 值：
cos( t ), 出现H , X (t ) t (,) 出现T , t， 其中P(H )=P(T )=1/2。
6
解：对任意固定的t, X (t )是随机变量，取值为cos t和t
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) Fn ( xi1, xi 2 ,, xin ; ti1, ti 2 ,, tin )
（2）相容性：对m<n，有
Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,; t1 , t 2 ,, t m , t m1 ,, t n )
Fm ( x1 , x2 , , xm ; t1, t2 , , tm )
15
科尔莫戈罗夫定理指出，若分布函数族满足对称性与相容性， 则必存在一个随机过程以该分布函数族为有限维分布函数族， 且能完全确定该随机过程的统计特性。
例10.4 利用抛掷一枚均匀硬币实验定义一随机过程。设从t=0开始， 每隔1秒抛掷一枚均匀硬币一次，对每个抛掷时刻，定义随机变量
同一随机过程的均值函数、方差函数和二阶矩函数之间存在 如下关系： 2 2 2 X (t ) E{[ X (t )]2 } {E[ X (T )]}2 X (t ) X (t )
均值函数是随机过程的所有样本函数 在时刻t的函数值的平均值，称为集 平均或统计平均，它表示随机过程在 各个时刻的摆动中心；方差函数的算 术平方根称为随机过程的标准差函数， 它表示随机过程在时刻t对于均值函 数的平均偏离程度
sin t , t时刻抛出正面， X (t ) 2 t时刻抛出反面。 2t ,
试写出该随机过程，并求其一维分布函数F1(x,1),F1(x,2)和二维 分布函数F2(x1,x2;1,2)。 解：X(1),X(2)均是离散型随机变量，其分布列为
16
X(1)
P
sin(1×/2)=1
11
10.2 随机过程的统计特性
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,„,tn的状态X(t1), X(t2),„, X(tn) 构成n维随机变量[X(t1),X(t2),„,X(tn)]， 当t0,n ∞ 时的n维随机变量近似随机过程，因此可以借 用对n维随机变量的分析研究来“替代”或“近似”对随机过程 的分析研究。
0, 出现正面 X 1， 出现反面
无论何时做这个实验，只要是在相同的条件下，其统计结果 是完全相同的，也即X的统计分布与时间无关。
3
但是也有很多随机现象的统计规律性是 在不断变化之中的，也即研究这类随机现 象统计分布的随机试验的样本空间在不同 的时刻可能会出现不同的结果，这就需要 用一个与时间有关的随机变量来表达不同 时刻的统计分布。 例如，在无线电通讯技术中，接收机在 接收信号时，机内的热噪声电压要对信号 产生持续的干扰，而热噪声电V(t)就是一 个与时间有关的随机变量。其特征在于对 确定的t，V(t)是一个随机变量，对不同 的t，可得到无限多个（一族）可能具有 不同分布的随机变量。
X (t ) E[ X (t )],
2 X (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) X (t )]2 }
它们分别称为随机过程{X(t),tT}的均值函数和方差函数。
19
随机变量X(t)的二阶原点矩一般也与t有关，称为二阶矩函数， 记为 2 2
X (t ) E[ X (t )]
{X (t , i ), t T , i 1,2,}
这里T 具有时间的意义，叫做参数集。对每一个tT,X(t) 是一随机变量，称为随机过程在该时刻的状态；对每一个i, 所有样本函数的可能取值构成了随机过程的状态空间。
5
一个随机过程可用定义在一个时间参数集上的一族随机 变量，或者定义在样本空间样本点上的一族样本函数两种方 式表示，它们在本质上是一致的。在理论分析时往往以随机 变量族的描述方式作为出发点，而在实际应用和数据处理中 往往采用样本函数族的描述方式。同随机变量一样，随机过 程通常被简记为 { X (t ), t T }，或 X (t ) 。
7
例10.2 医院不断登记新生儿性别，以Xn表示第n次登记 的结果，定义
1, 第n次生女孩, Xn n 1, 2, 0， 第n次生男孩,
显然，X1,X2,„,Xn是一个随机变量序列。对不同“时刻 n”(n=1,2,„)的登记结果，Xn是一个随机变量；对两个可能 的结果（男孩或女孩），持续登记下去可得到两条不同的样本 曲线（Xn=1或Xn=0）。因此，该随机变量序列符合随机过程的 定义，可记为{Xn，n=1,2,„}。在这个随机过程中，不同时刻 得到的“一族”随机变量X1,X2,„,Xn的统计分布可能是完全相 同的。实际上对一个随机过程，其统计分布是否具有稳定性， 正是随机过程的一个重要研究内容。
称为随机过程的二维分布函数，当t1,t2取遍参数集T时，可得 到二维分布函数族 {F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ),t1 , t2 T } 定义3 随机过程{X(t),tT}的一维、二维、…，n维分布函数 所构成的全体
{Fn ( x1 , x2 ,
, xn ; t1, t2 ,
, tn ), n 1, 2,
cos t 当出现H X (t ) 当出现T t t , ，其中P( H ) P(T ) 1 2
则 X (t ), t , 是一随机过程。
X (t )
X 2 (t ) t
X1 (t ) cos t
1 2 3 4
t
对任意固定的t,X(t)是 一个定义在S上的随机 变量,对每一次验，两 种可能的结果对应于两 个不同的样本曲线。显 然{X(t),t(-,+)符 合随机过程的定义，即 它是随机过程。需要注 意的是，本随机过程只 包含着两个样本函数 (如下图所示）。