初中数学奥林匹克中的几何问题：第3章托勒密定理及应用附答案

第三章 托勒密定理及应用

【基础知识】

托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积． 证明 如图3-1，四边形ABCD 内接于O ，在BD 上取点P ，使PAB CAD =∠∠，则△ABP ∽△ACD ，于是

A

图3-1

AB BP

AB CD AC BP AC CD

=⇒⋅=⋅． 又ABC △AB CD ⋅+

①

注 交o 于E ，连梯形，有EBC EDC +∠∠BD 交于G 1sin 2ABCD S AC BD =⋅⋅∠sin EBCD S S EDC =△∠

(1sin 2EB EDC =⋅⋅∠易知 S 推论1sin AC ⋅∠BC 换掉即得②式．推论2内接于O ，则sin sin ADB +∠事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式．直线上A ，B ，C AB CD ⋅+注 B ，C ，D 一点，则

sin sin APB APC ⋅⋅∠∠

事实上，如图3-2，设点P 到直线AD 的距离为h ，

D

C B

A P

图3-2

由AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅，有 PAB PCD PAD PBC PAC PBD S S S S S S ⋅+⋅=⋅△△△△△△，

用两边及夹角正弦形式的三角形面积表示上式后，两边同除以1

4

PA PB PC PD ⋅⋅⋅即得推论．

由上述推论也可证明圆内接四边形中的托勒密定理．

证明 如图3-3，在图上取一点P ，连PA 、PB 、PC 、PD ，设PB 交AD 于B '，PC 交AD 于C '． 由正弦定理 sin 2AB APB R =

∠，sin 2CD CPD R =∠，sin 2AD APD R =∠，sin 2BC BPC R =∠，sin 2AC APC R

=∠，sin

BD

∠对A 、sin ∠sin =∠故AB ⋅AC ⋅证明 且

AC AB =

C

B

图3-4

AB CD AC BE ⋅=⋅．

①

又DAE CAB =∠∠，有△ADE ∽△ACB ，亦有

AD BC AC ED ⋅=⋅．

② 由①式与②式，注意到BE ED BD +≥，有

AB CD BC AD AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅（）≥．

其中等号当且仅当E 在BD 上，即ABD ACD =∠∠时成立．此时A ，B ，C ，D 四点共圆．由此，即有

托勒密定理的逆定理 在凸四边形ABCD 中，若AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅，则A ，B ，C ，D 四点共圆．

【典型例题与基本方法】

1．恰当地作出或选择四边形，是应用托勒密定理的关键

例 1 在

△22b a ac =-解 如图由已知有2b AD DC ==又因为在2A A +∠∠例2 交于点O

D

C B

A

P

O

图3-6

解 因90BAD BCD ==︒∠∠，则A ，B ，C ，D 四点共圆．延长BA ，CD 交于P ，则ADP ABC =∠∠ 60=︒．

设AD x =，

有AP =，2DP x =，由割线定理，

有(2)2(12)x x +⋅=+．

求得2AD x ==

，

42

BP

BC =

= 对ABCD 应用托勒密定理，有

(42)2112BD AC ⋅=+⋅=-．

又ABCD ABD BCD S S S =+△△

=例过∠BC 连AB

于是2AB EC BE AC

AF AB AC EC

⋅-⋅=

=-．

其中EC BE =可由EAB EAH EBC ==∠∠∠推得． 注 （1）也可应用三弦定理证明．设DAE EAB α==∠∠，则180FAC α=︒-∠，1802BAC α=︒-∠．

对AB ，AE ，AC 应用三弦定理，得sin 180sin 1802sin AB AE AC ααα⋅︒-=⋅︒-+⋅（）（），即sin22cos sin AE AB AC AE α

αα

⋅-=

=⋅．又在Rt AEF △中，cos AE AF α⋅=，故2AF AB AC =-．

（2）也可以应用阿基米德折弦定理证明．由BF FA AC ==，有AB AF FA AC -=+，即2AF AB AC =-． 例4 如图3-8，在锐角ABC △的BC 边上有两点E ，F ，满足BAE CAF =∠∠，作FM AB ⊥于M ，FN AC ⊥于N ，延长AE 交ABC △的外接圆于点D ．证明：四边形AMDN 与ABC △的面积相等．

（2000年全国高中联赛题） F E D

C

B

A

M

N

证明 设(4AF

AB R

⋅又AMDN S 四边形1

[2

AD AF =12AD AF =

⋅例5 如图N

O H

F E

B

A

M

N

图3-9

解法 1 连OB ，OC ，由三角形外心及垂心性质，知2120BOC A ==︒∠∠，180BHC =︒-∠ 180(90)(90)180120HBC HCB C B A -=︒-︒--︒-=︒-=︒∠∠∠∠∠，即B ，C ，H ，O 四点共圆．在此圆中对四边形BCHO 应用托勒密定理，有 BO CH OH BC BH OC ⋅+⋅=⋅．

设ABC △的外接圆半径为R ，则BO OC R ==，且由60A =︒∠，

知BC ，即有R CH ⋅+

OH BH R =⋅

，亦即BH CH H -．

而()()MH NH BH BM CN CH BH CH +=-+-=-，

此例的其他证法可参见第四章例内切圆I 分别与边分别与I 交于另一点

3HK

DK

=． 年东南奥林匹克题）点Q ，联CDK ∽△CFD DK DC

FD FC

=

及FQ FD ⋅=⋅HQ ．