罗尔定理

罗尔定理
如果函数满足
1.在闭区间上连续；
2.在开区间内可导；
3.在区间端点处的函数值相等，即，
那么在内至少有一点，使得。

这个定理称为罗尔定理。

证明
首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。

如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。

那么对于任一点，我们都有。

现在假设在处取得最大值。

我们只需证明在该点导数为零。

取，由最大值定义，那么。

令，则。

因为在处可导，所以我们有。

取，那么。

这时令，则有
，所以。

于是，。

在处取得最小值的情况同理。

例子
第一个例子
半径为r的半圆
考虑函数
（其中r> 0。

）它的图像是中心位于原点的半圆。

这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。

由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

第二个例子
绝对值函数的图像
如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。

对于某个a> 0，考虑绝对值函数：
那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。

这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x= 0不可导。

注意f的导数在x= 0从-1变为1，但不取得值0。

推广形式
第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：
考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开
区间(a,b)内的任意x，右极限
而左极限
在扩展的实数轴 [−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和
中其中一个≥0，另一个≤0 (在扩展的实数轴上)。

如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。