罗尔定理

罗尔定理

如果函数满足

1.在闭区间上连续；

2.在开区间内可导；

3.在区间端点处的函数值相等，即，

那么在内至少有一点，使得。这个定理称为罗尔定理。

证明

首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。那么对于任一点，我们都有。现在假设在处取得最大值。我们只需证明在该点导数为零。

取，由最大值定义，那么。令，则。因为在处可导，所以我们有

。

取，那么。这时令，则有

，所以。

于是，。

在处取得最小值的情况同理。

例子

第一个例子

半径为r的半圆

考虑函数

（其中r> 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

第二个例子

绝对值函数的图像

如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a> 0，考虑绝对值函数：

那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x= 0不可导。注意f的导数在x= 0从-1变为1，但不取得值0。

推广形式

第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：

考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开

区间(a,b)内的任意x，右极限

而左极限

在扩展的实数轴 [−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和

中其中一个≥0，另一个≤0 (在扩展的实数轴上)。如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。