材料力学第九章习题集选及其解答
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9-2. 计算图示各杆或桁架的变形能。
解：（b ） 方法1：
（1）查表得C 截面的转角
EI
Ml l l l EIl M θc 9)93943(6222-
=⨯-⨯-=
（2）由功能原理
EI
l
M θM W U c 18212=
== 方法2
（1）列出梁的弯矩方程
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=-=M
x l M x M x l
M x M 2211)()( （2）求弯曲变形能
EI
l M EI l M EI l M dx EI x M dx EI x M U l l l 1816281622)(2)(2223/2
2
2
3
/0112=
+=+=⎰⎰ （c ）
（1）列出梁的弯矩方程
b)
θPR θM sin )(-=
（2）求弯曲变形能
EI
R P πds
EI θPR ds EI θM U πl 82)sin (2)
(3
22/02
2=
-==⎰⎰ 9-3. 传动轴的抗弯刚度为EI ，抗扭刚度为GIp 。皮带拉力T+t=P ，D=2d 。试计
算轴的变形能。设a=l/4。
解：（1）将外力向轴线简化
（2）扭转变形能
CD 段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2
p
p GI l d P GI l a Pd U 3232)2()21(2
22
1=+=
（3）水平方向弯曲变形能
EI
l P EI Pl P δP U DH 964821213
232=
⨯== （4）垂直方向弯曲变形能
M(
EI
l P a EI
l Pa EI Pa P δt T U CV 3845)
3)(3(21)(213
233=
⨯+⨯=+= （5）轴的变形能
EI
l P GI l d P U U U U p 38493233
222321+=++=
9-4. 试用互等定理求跨度中点C 的挠度，设EI=常量。
解：（a ）
（1）将P 力移到C 截面处，如下图
（2）由位移互等定理
EI
Pal a EI Pl a θδδf B c 16162
21221=
⨯=⨯=== 方向向上
（b ）
（1）将P 力移到C 截面处，如下图
（2）由位移互等定理
EI
Pl l
EI l P EI l P l θf δδf c c c 4852)2)2((3)2(23
2
31221-
=⨯
-+-=⨯+===
方向向下
a)
D
B
b)
D
B
9-8. 试求图示各梁截面B 的挠度和转角。
解：（1）在B 处作用虚加力P f 和M f ，并列出弯矩方程
f
f f
f M x a l P qx x M M x P x M -+---=--=)(2
1)()(22
2211 （2）上式分别对P f 和M f 求偏导数
1)
( 1)()()
( )(212211-=∂∂-=∂∂+--=∂∂-=∂∂f
f f f M x M M x M x a l P x M x P x M
（3）用卡氏定理求挠度和转角
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=+---+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=
--a
f f a
l f f l f
l f f B a
f f a
l f f l f
l f f B dx EI
M x a l P qx dx EI
M x P dx M x M EI x M dx M x M EI x M M U
θdx x a l EI
M x a l P qx dx x EI
M x P dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U f 02
22
21
122
22111102
222
21
1122
221111)1()(21)1()
()()()()()]([)(21)()
()()()()(
（4）令上两式中的P f 和M f 为零
B
a)
M f
EI
qa dx EI
qx θa l EI
qa dx x a l EI qx f a
B a
B 6)1(210)4(24)]([210302
22302
222=--+=-=+---+=⎰⎰
挠度和转角的方向与虚加力的方向一致
9-11. 图示刚架，已知AC 和CD 两部分的I=30×10-6m 4，E=200GPa 。试求截面D
的水平位移和转角，若P=10kN ，l =1m 。
解：（1）在D 处作用虚加力M f ，并列出弯矩方程
3
213121112)(2)()(x P M l P x M M l P x M M x P x M f f
f ---=--=--=
（2）上式分别对P 1和M f 求偏导数
P
P 1=P