材料力学第九章习题集选及其解答
第二版《材料力学》第六章至第九章习题解答-(华中科大版-倪樵主编)
2 z
W
M
2 x
W2
[ ]
7-17 图示直角曲拐，C端受铅垂集中力F作用。已知a=160mm，AB杆直径D=40mm，
l=200mm ，E=200GPa， μ=0.3，实验测得D点沿45º方向的线应变 ε45º=0.265 × 10-3。试求：
（1）力F的大小；（2）若AB杆的[σ]=140MPa，试按最大切应力理论校核其强度。
T Wp
16 M 0
D3
16 125 .6
0.023
79.96MPa
单元体可画成平面单元体如图(从上往下观察)
A
6-5 试用求下列各单元体中ab面上的应力（单位MPa） 。
解：(a)
x 70
y 70
xy 0
30
x
y
2
x
y
2
cos(2 30 )
70 1 2
35
(MPa)
x y sin(2 30 ) 70
2
3 60.62 (MPa) 2
(b)
x 70
y 70
xy 0
30
x
y
2
x
y
2
cos(2 30 )
70
(MPa)
x
y
2
sin(2 30 )
0
6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（1）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 单元体；（2）最大切应力（单位MPa） 。
解： (3) My 、Mz、Mx 和F 同时作用，拉弯扭组合，任一截 面D1点是危险点
应力状态：
D1
FN M F
M
2 y
M
2 z
y
AW A
材料力学柴国鈡第9章答案汇总
9.1 图示起重架，在横梁的中点受到集中力F 的作用，材料的许用应力MPa 100][=σ。
试选择横梁工字钢的型号（不考虑工字钢的自重）。
解：由0=∑C M 可得05.130tan 3=⨯-︒⨯⨯F F Ax ，kN 13=Ax F由0=∑B M 可得05.13=⨯-⨯F F Ay ，kN 5.7=Ay F横梁的跨中截面上有最大弯矩 m kN 25.115.15.7max ⋅=⨯=M横梁上的最大压应力][max max σσ≤+=zAx W MA F上述强度条件中截面面积A 和抗弯截面系数z W 都是未知的，因此首先忽略轴力的影响来选取工字钢型号，然后再利用上式做强度校核。
3346max cm 5.112m m 1025.111001025.11][=⨯=⨯=≥σM W z查表，选取16号工字钢，其z W 为141cm 3，A 为26.131 cm 2，代入（1）式得到][MPa 8.841410001025.111.2613130006max σσ≤=⨯+=因此，最终选择16号工字钢。
9.2 如图所示的链环，其截面直径m m 50=d ，受拉力kN 10=F作用，试求链环的最大正应力。
解：最大拉应力：MPa 0.5432/5060100004/501000032max max,=⨯⨯+⨯=+=ππσz N t W M A F最大压应力：MPa 8.4332/5060100004/501000032max max,-=⨯⨯-⨯=-=ππσz N c W M A F9.3 如图所示夹具，夹紧力为=F 2kN ，材料的许用应力为=][σ170MPa ，试校核m-m 截面的强度。
解：m-m 截面上的最大正应力（拉应力）为][MPa 0.1606/2010502000201020002max max,σσ<=⨯⨯+⨯=+=z t W M A F故夹具满足强度条件。
9.4 图示简支梁，已知：=q 20kN/m ，=F 1500kN ，=e 80mm 。
材料力学答案第9章
通解为
w1 = A1sinkx1 + B1coskx1 +
w2 = A2 sinkx 2 + B2 coskx 2 +
当 x1 = 0，w1 = 0 → B1 = 0 当 x 2 = 0，w2 = 0 → B2 = 0 当 x1 = x2 = 或写成
l F ′ = − w2 ′ ，w1 = w2 = c ，w1 2 c
式中，
k12 =
以上二微分方程的通解为
F F 2 ，k 2 = EI 1 EI 2
w1 = A1sink1 x1 + B1cosk1 x1 + δ w2 = A2 sink 2 x 2 + B2 cosk 2 x 2 + δ
定未知常数的条件为
8
′=0 x1 = 0，w1 = 0，w1 x1 = l ′ = w2 ′ ，w1 = w2，w1 x2 = 0 x2 = l，w2 = δ
3
的扭力矩为
M B = Fϕa
而
ϕ=
注意到 T = M B ，于是得
Tl GI p
F=
即
GI p al
πGd 4 Fcr = = al 32al
由此得（题中给出 F= 42kN ）
GI p
d=
4
32alFcr = πG
4
32 × 0.500 × 0.300 × 42 ×103 m = 0.030m = 30mm π × 79 ×10 9
题 9-10 图 解：该细长压杆的微弯状态如图 9-10 所示。
按图中所取坐标，有
M ( x1 ) =
Fc F x1 − Fw1，M ( x 2 ) = c x 2 − Fw2 2 2
周建方版材料力学习题解答[第九章]
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9-1 题9-1图所示拉杆，受轴向均布载荷q 作用，已知杆的抗拉刚度EA 为常数，试计算杆的应变能。
解： ⎰⎰=⋅=⋅==l l N EAlq lEAqEAdx x q EAdx x F V 03232220263222)(ε题9-1图9-2 试计算题9-2图所示各杆的应变能。
题9-1a 解： EAl F AE dxF EAdx F EA dx x F EA dxx F V lll BCN ABN 432222)(2)(22222212=⋅+=+=⎰⎰⎰⎰ε题9-2a 图题9-2 b.解：求支座反力： 由∑=⋅-=0,0l F M MB A得lM F B =由∑-==l M F F A y 得，弯矩方程：AC 段，,)(x lM x M -= CB 段，x lx M =)(题9-2b 图EIl M EIl M EIdx x lM EIdxx l MEI dx x M V lll 1816292)(2)(2)(22320230202==+-==⎰⎰⎰ε题9-2c 解：c 截面上的弯矩 M(x)=FR(1-Cosθ) 则题9-2c 图)183()2cos 2121cos 21(22)]cos 1([2)(323202022-=++-=⋅-==⎰⎰⎰20πθθθθθπεπEIR F d EIR F Rd EIFR EI ds x M V l9-3 计算题9-3图所示受扭圆轴所储存的应变能，图中d 2=1.5d 1。
解：由于32411d I p π=、512813241422d d I p ππ==题9-3图Gd l M d d Gl M I I lGMGIdxx MGI dxx MGI dxx MV xxp p xl l p xp xlpx41241412212222281776)8151232(4)11(222)(2)(2)(121πππε=+=+⋅=+==⎰⎰⎰9-4 试用互等定理求题9-4图所示结构跨度中点C 的挠度，设EI =常数。
材料力学作业及练习题参考答案(8、9章)
八章2题： 解：查槽钢表，每根槽钢，A＝25.669 cm2，W＝141 cm3， 则两根槽钢制成的梁：A＝2A＝51.538 cm2， W＝2W＝282 cm3 在B截面左侧的上边缘处： ＝－FN/A＋M/W＝－50×103/(51.538×10－4)＋37.5×103/(282×10－6) ＝123.24×106 Pa， 即在该处为拉应力123.24 MPa ； 在B截面左侧的下边缘处： ＝－FN/A－M/W＝－50×103/(51.538×10－4)－37.5×103/(282×10－6) ＝－142.72×106 Pa， 即在该处为压应力142.72 MPa ； 在B截面右侧的上边缘处： ＝M/W＝37.5×103/(282×10－6)＝132.98×106 Pa， 即在该处为拉应力132.98 MPa ； 在B截面右侧的下边缘处： ＝－M/W＝－37.5×103/(282×10－6)＝－132.98×106 Pa， 即在该处为压应力132.98 MPa。
《材料力学》第9章压杆稳定习题解[整理]
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第九章 压杆稳定 习题解[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式。
试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲22l EIP cr π=线形状时，压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得公cr F cr F 式又是否相同。
解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是。
（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw -=，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。
)("x M EIw =临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。
因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：。
22l EIP cr π=[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为：。
由这公式可知，对于材料和截面相同的压22).(l EI P cr μπ=杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度的平方成反比，其中，为与约束情况有l μμ关的长度系数。
（a ）ml 551=⨯=μ（b ）ml 9.477.0=⨯=μ（c ）ml 5.495.0=⨯=μ（d ）ml 422=⨯=μ（e ）ml 881=⨯=μ（f ）（下段）；（上段）m l 5.357.0=⨯=μm l 5.255.0=⨯=μ故图e 所示杆最小，图f 所示杆最大。
cr F cr F[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。
试问两杆的临界力是否均为2min2).2(l EI P cr π=为什么并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
材料力学习题册参考答案(1_9章)
第一章绪论一、选择题1．根据均匀性假设，可认为构件的（C）在各处相同。
A．应力B．应变C．材料的弹性系数D．位移2．构件的强度是指（C），刚度是指（A），稳定性是指（B）。
A．在外力作用下构件抵抗变形的能力B．在外力作用下构件保持原有平衡状态的能力C．在外力作用下构件抵抗强度破坏的能力3．单元体变形后的形状如下图虚线所示，则A点剪应变依次为图(a) （A），图(b) （C），图(c) （B）。
A．0B．r2C．r D．1.5r4.下列结论中( C )是正确的。
A．力是应力的代数和；B．应力是力的平均值；C．应力是力的集度；D．力必大于应力；5. 两根截面面积相等但截面形状和材料不同的拉杆受同样大小的轴向拉力，它们的应力是否相等（B）。
A．不相等；B．相等；C．不能确定；6．为把变形固体抽象为力学模型，材料力学课程对变形固体作出一些假设，其中均匀性假设是指（C）。
A. 认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积；B. 认为沿任何方向固体的力学性能都是相同的；C. 认为在固体到处都有相同的力学性能；D. 认为固体到处的应力都是相同的。
二、填空题1.材料力学对变形固体的基本假设是连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。
2．材料力学的任务是满足强度，刚度，稳定性的要求下，为设计经济安全的构件提供必要的理论基础和计算方法。
3．外力按其作用的方式可以分为 表面力 和 体积力 ，按载荷随时间的变化情况可以分为 静载荷 和 动载荷 。
4．度量一点处变形程度的两个基本量是 （正）应变ε 和 切应变γ。
三、判断题1．因为构件是变形固体，在研究构件平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
（ × ） 2．外力就是构件所承受的载荷。
（ × ） 3．用截面法求力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。
（ √ ） 4．应力是横截面上的平均力。
（ × ） 5．杆件的基本变形只是拉(压)、剪、扭和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。
材料力学习题册答案-第9章压杆稳定
材料力学习题册答案-第9章压杆稳定第九章压杆稳定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A 、弯曲变形消失，恢复直线形状；B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；C 、微弯状态不变；D 、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ）A 、完全消失B 、有所缓和C 、保持不变D 、继续增大3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A 、长度B 、横截面尺寸C 、临界应力D 、柔度4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B 、材料，长度和约束条件；C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D 、材料，长度，截面尺寸和形状；5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。
其柔度为 ( C )A.60；B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小；9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）A 、λ≤ PEπσ B 、λ≤sEπσC 、λ≥ P Eπσ D 、λ≥sEπσ10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. 临界应力和临界压力一定相等；D. 临界应力和临界压力不一定相等；12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。
材料力学（单辉祖版）完整课后习题答案-9
第九章复杂应力状态强度问题题号页码9-4 (1)9-5 (3)9-8 (4)9-9 (5)9-10 (7)9-14 (8)9-16 (10)9-17 (11)9-18 (13)9-19 (14)9-22 (16)9-23 (16)9-24 (17)9-25 (18)9-26 (18)9-27 (20)9-28 (21)(也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)9-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力r3σ，弹性常数E和µ均为已知。
(a) 棱柱体轴向受压；(b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。
题9-4图(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图a），三个主应力依次为0，===σσσ−σ132由此可得第三强度理论的相当应力为σσσσ=−=31r3 (a)(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图b ），可先取受力微体及坐标如图9-4所示，然后计算其应力。
图9-4由图9-4可得σσy −=根据刚性方模的约束条件，有 0)]([1=+−=z y x x σσµσE ε即)(z y x σσµσ+=注意到x z σσ=故有 σµµσσz x −−==1三个主应力依次为 σσσµµσσ−=−−==3211，由此可得其相当应力为 σµµσσσ−−=−=12131r3 (b)比较：按照第三强度理论，(a)与(b)两种情况相当应力的比值为µµσσr b a 211)r3()r3(−−==1>r ，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。
9-5 图示外伸梁，承受载荷F = 130 kN 作用，许用应力[σ]=170 MPa 。
试校核梁的强度。
如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。
题9-5图解：1.内力分析由题图可知，+B 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为 m N 1080.7m 600.0N 10130 kN 130432S ⋅×=××====Fl M F F ，2．几何量计算34324max ,)(343)(343545433m 1090.2]m )0137.0140.0(0085.0211023.2[2m 1023.2)m 20137.0140.0(0137.0122.0m 1005.5m 140.01007.7m 1007.712)0137.02280.0()0085.0122.0(12280.0122.0[−−−−−−×=−××+×==×=−××=×=×=×=×−×−−×=z a z b z z z S S S W I 式中的足标b ，系指翼缘与腹板的交界点，足标a 系指上翼缘顶边中点。
材料力学第九章习题选与其解答
9-2. 计算图示各杆或桁架的变形能。
PMBdsC BAEIEIdθθ Al/32l/3ORb)c) 解：（b）方法1：（1）查表得 C 截面的转角2 2M 4l l Ml2(l 3 3 ) θc 96EIl 9 9 EI（2）由功能原理U W 12M2M lθc 18EI方法2（1）列出梁的弯矩方程MC BAx1 EIM/lM/lx2M ( x )1 Mlx1M ( x2 )Mlx2M（2）求弯曲变形能U2M (x )l /31dx0 12EI2M ( x )l2dxl 3/ 22EIM 2 l 8M 2 l M 2 l162EI 162EI 18EI （c）（1）列出梁的弯矩方程PQ(θ)BM( θ) N(θ)Rθ OM ( ) PR sinθθ（2）求弯曲变形能M 2 2(θ ) EIdsπ /2 (P R 2 sin θ ) EI2Udsl 23π P R 8EI9-3. 传动轴的抗弯刚度为 EI ，抗扭刚度为 GIp 。
皮带拉力 T+t=P ，D=2d 。
试计算轴的变形能。
设 a=l/4。
PDdtTal/2l/2解：（1）将外力向轴线简化(T-t)D/2Pd/2A B CDPT+t（2）扭转变形能CD 段发生扭转变形，扭矩为： Pd/2U 11l 2( Pd ) (a ) 223P d l2 22GI p32GIp（3）水平方向弯曲变形能U2 123 2 31 Pl P lδP PDH 2 48 96EI EI（4）垂直方向弯曲变形能1 2 (T t ) δCV1 2 P ( 3Pa 3EI( Pa )l 3EIUa )35P 2 l3384EI （5）轴的变形能U UUU12323Pd 32GI2 l 9P p38423l EI9-4. 试用互等定理求跨度中点 C 的挠度，设 EI=常量。
PPABCDACBl/2l/2al/2l/2 b)a)解：（a ）（1）将 P 力移到 C 截面处，如下图PAC BD1 2（2）由位移互等定理22PlPalfaaδ δ θc16 16 2112BEIEI方向向上（b ）（1）将 P 力移到 C 截面处，如下图PA CB1 2（2）由位移互等定理f cδ 21δ12fθ ccl 2l ) 2P 3( l P ( 2 E ) 2) l 2( 3 E II 235Pl48EI 方向向下9-8. 试求图示各梁截面 B 的挠度和转角。
材料力学 陈天富 第9章作业解答
9.21 直径 d = 10 mm 的柱塞通过密闭的高压容器（题图 9.21） ，并承 受扭矩 T0 = 80 N.m，容器内压 p = 500 MPa，其材料的拉伸和压缩强 度极限为σbt = 2100 MPa，σbc = 5120 MPa。试按莫尔强度理论计算 危险点处的相当应力。
题图 9.21 解：由于柱塞处在压力容器中，径向受到压力 P，所以，柱塞上某一 点的应力状态如下图所示，
0
0
1 [ x ( y z )] E 5 4 解得： x E 00 2 10 3 10 60 MPa
（2）求剪应力 将单元体旋转 450， 如上图 （c） 所示， 由斜截面正应力计算公式：
x Cos 2 y Sin2 2 xy SinCos
有：
45
0
x x
2 2
xy xy
135
0
由广义胡克定理：
45
0
1 1 1 [ 450 1350 ] [ (1 ) x (1 ) xy ] E E 2
解得：
xy
1 1 [ E 450 (1 ) x ] (1 ) 2
如题图 9.11 解：
x 40 MPa, xy 40 MPa z 40 MPa
由图可知， z 是主应力（剪应力为 0）
max x y x y 2 ( ) xy 2 min 2 2
40 0 40 0 2 ( ) 40 2 2 2 24.72 MPa 64.72 MPa
解：
3 (kN / m 3 ) 400(m) 1.0 10 7 ( N / m 2 ) 10( MPa)
材料力学习题册_参考答案(1-9章)
（图 1）
（图 2）
3．有 A、B、C 三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图 3 所示，曲线( B )材料
的弹性模量 E 大，曲线( A )材料的强度高，曲线( C )材料的塑性好。
4．材料经过冷作硬化后，其( D )。
A．弹性模量提高，塑性降低
B． 弹性模量降低，塑性提高
C．比例极限提AB 梁的中点
D 任意点
14. 轴向拉伸杆，正应力最大的截面和剪应力最大的截面 ( A )
A 分别是横截面、450 斜截面
B 都是横截面
C 分别是 450 斜截面、横截面
D 都是 450 斜截面
15. 设轴向拉伸杆横截面上的正应力为σ，则 450 斜截面上的正应力和剪应力( D )。
A σ＝Eε＝300MPa
B σ＞300MPa
C 200MPa＜σ＜300Mpa
D σ＜200MPa
21．图 9 分别为同一木榫接头从两个不同角度视图，则（ B ）。
A. 剪切面面积为 ab,挤压面面积为 ch； B. 剪切面面积为 bh,挤压面面积为 bc；
C. 剪切面面积为 ch,挤压面面积为 bc； D. 剪切面面积为 bh,挤压面面积为 ch。
F
p
.D
.
.
.
.
...
解：设每个螺栓受力为 F，由平衡方程得
根据强度条件，有 ［σ］≥
故螺栓的内径取为 24mm。 4．图示一个三角架，在节点 B 受铅垂荷载 F 作用，其中钢拉杆 AB 长 l1=2m，截面面
积 A1=600mm2，许用应力 [ ]1 160MPa ，木压杆 BC 的截面面积 A2=1000mm2，许 用应力 [ ]2 7MPa 。试确定许用荷载[F]。
材料力学答案第九章
第九章 强度理论第九章答案9.1 直径d =100mm 的圆截面钢杆受轴向拉力F = 2kN 和矩M e =10Nm 的力偶作用。
[σ] =1 60MPa ，试用第三强度理论校核该杆的强度。
(σ3r = 105 MPa)解：拉伸扭转组合变形，危险点是圆周上各点， 应力状态见图安全。
],[MPa MPa )(MPa(στσσπτπσ≤=+==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅==1054150101010155251010242233323r p e .W M .)A F9.2 炮筒横截面如图所示。
在危险点处 ，t σ= 550 MPa 。
τσ= -350 MPa ，第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420MPa 。
试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。
解：危险点是三向越应力状态])()()[(MPa MPaMPaMPa 222219003505503504205553332214313321=-+-+-==+=-=-=====σσσσσσσσσσσσσσστr r tτ9.3图示圆截面铸铁杆， 承受轴向载荷F 1，横向载荷F 2和矩为M 1的扭力偶作用，试用第一强度理论校核杆的强度。
已知载荷F 1 = 30 kN ， F 2 = 1．2 kN ， M 1 = 700 Nm ，杆径d = 80 mm ，杆长l = 800 mm ，许用应力[σ] = 35 MPa 。
解：拉弯扭组合变形。
A 截面上边缘为危险点1. 应力分析：MPaMPa 69680107001616125808001021328010304324333133233221.d M W T..d l F d F W M A F p Z A N =⋅⋅⋅=⋅⋅===⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=+=ππτππππσ2. 强度校核安全。
，〈核杆的强度一采用第一强度理论校∴∴>==⋅+-==⋅++=][-.8MPa,-]6.69425.1[25.126.8MPa,]6.69425.1[25.12222σσσσσσσ131231012121 ,, 9.4图示皮带轮传动轴，传递功率P = 7kW ，转速n =200r/min 。
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版第九章习题答案
第九章习题9-1 图示的细长压杆均为圆杆，其直径d均相同．材料是Q 235钢．E＝。
其中：图a为两端铰支；图b为—端固定，一端210 GPa铰支；图c为两端固定，试判别哪一种情形的t临界力最大，哪种其次，。
哪种最小?若四杆直径d＝16cm，试求最大的临界力Pcr9-2 图示压杆的材料为Q 235钢，E＝210GPa在正视图a的平面内，两端为铰支，在俯视图b的平面内，两端认为固定。
试求此杆的临界力。
SHAPE \* MERGEFORMAT9-3 图示立柱由两根10号槽钢组成，立柱上端为球铰，下端固定，柱长L＝6m，试求两槽钢距离a值取多少立柱的临界力最大?其佰是多少?已知材料的弹性模量E＝200 GPa．比例极限σp＝200MPa。
9-4 图示结构AB为圆截面直杆，直径d＝80mm，A端固定，B端与BC 直秆球铰连接。
BC杆为正方形截面，边长a＝70 mm，C端也是球铰。
两杆材料相同，弹性模量E＝200GPa，比例极限σp＝200 MPa，长度l＝3m，求该结构的临界力。
9-5 图示托架中杆AB的直径d＝4 cm，长度l＝80 cm．两端可视为铰支，材料是Q235钢。
(1)试按杆AB的稳定条件求托架的临界力Qcr;(2)若巳知实际载荷Q=70 kN，稳定安全]＝2，问此托架是否安全?系数[nst9-6 悬臀回转吊车如图所示，斜杆AB由钢管制成，在B点铰支；铜管的外径D＝100mm，内径d＝86mm，杆长l＝3m,材料为Q235钢,E＝200 GPa、起重量Q＝20 kN，稳定安全系数[n]＝2．5。
试校核斜杆的稳定性。
st9—7 矿井采空区在充填前为防止顶板陷落，常用木柱支撑，若木柱为]＝4,求木红松，弹性模量E＝10GPa．直径d＝l 4cm规定稳定安全系数[nst柱所允许承受的顶板最大压力。
9—8 螺旋千斤顶（图9-16）的最大起重量P＝150 kN，丝杠长l＝0.5m,]材料为45号钢，E＝210 GPa．规定稳定安全系数[nst＝4.2，求丝杠所允许的最小内直径d。
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第9章 应力状态分析
MPa
MPa
2．
MPa
MPa
9－13图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。
1．只承受轴向载荷FP = 250kN；
2．只承受内压p=5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p=5.0MPa（两端封闭）
难度：一般
解答：
（1）当 = 40℃
mm＜
mm＜
所以铝板内无温度应力，
（2）当 = 80℃
mm＞
mm＞
∴ （1）
（2）
所以解得qx = qy=70MPa（压）
， MPa
MPa
9－18对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、 ，且由实验测得 和 。试证明：
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
难度：一般
解答：
正确答案是C。
（A）不满足切应力互等定律；
（B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡；
（D）不满足两个方向的平衡。
9－27微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：
（A）二向应力状态；
（B）单向应力状态；
（C）三向应力状态；
（D）纯切应力状态。
MPa
9－7受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。
知识点：应力圆的应用
难度：难
解答：
应力圆半径
9－8从构件中取出的微元，受力如图所示。试：
1．求主应力和最大切应力；
2．确定主平面和最大切应力作用面位置。
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9-2. 计算图示各杆或桁架的变形能。
解：（b ） 方法1：（1）查表得C 截面的转角EIMl l l l EIl M θc 9)93943(6222-=⨯-⨯-=（2）由功能原理EIlM θM W U c 18212=== 方法2（1）列出梁的弯矩方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=Mx l M x M x lM x M 2211)()( （2）求弯曲变形能EIl M EI l M EI l M dx EI x M dx EI x M U l l l 1816281622)(2)(2223/2223/0112=+=+=⎰⎰ （c ）（1）列出梁的弯矩方程b)θPR θM sin )(-=（2）求弯曲变形能EIR P πdsEI θPR ds EI θM U πl 82)sin (2)(322/022=-==⎰⎰ 9-3. 传动轴的抗弯刚度为EI ，抗扭刚度为GIp 。
皮带拉力T+t=P ，D=2d 。
试计算轴的变形能。
设a=l/4。
解：（1）将外力向轴线简化（2）扭转变形能CD 段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2pp GI l d P GI l a Pd U 3232)2()21(2221=+=（3）水平方向弯曲变形能EIl P EI Pl P δP U DH 964821213232=⨯== （4）垂直方向弯曲变形能M(EIl P a EIl Pa EI Pa P δt T U CV 3845)3)(3(21)(213233=⨯+⨯=+= （5）轴的变形能EIl P GI l d P U U U U p 38493233222321+=++=9-4. 试用互等定理求跨度中点C 的挠度，设EI=常量。
解：（a ）（1）将P 力移到C 截面处，如下图（2）由位移互等定理EIPal a EI Pl a θδδf B c 1616221221=⨯=⨯=== 方向向上（b ）（1）将P 力移到C 截面处，如下图（2）由位移互等定理EIPl lEI l P EI l P l θf δδf c c c 4852)2)2((3)2(23231221-=⨯-+-=⨯+===方向向下a)DBb)DB9-8. 试求图示各梁截面B 的挠度和转角。
解：（1）在B 处作用虚加力P f 和M f ，并列出弯矩方程ff ff M x a l P qx x M M x P x M -+---=--=)(21)()(222211 （2）上式分别对P f 和M f 求偏导数1)( 1)()()( )(212211-=∂∂-=∂∂+--=∂∂-=∂∂ff f f M x M M x M x a l P x M x P x M（3）用卡氏定理求挠度和转角⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=+---+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=--af f al f f l fl f f B af f al f f l fl f f B dx EIM x a l P qx dx EIM x P dx M x M EI x M dx M x M EI x M M Uθdx x a l EIM x a l P qx dx x EIM x P dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U f 02222112222111102222211122221111)1()(21)1()()()()()()]([)(21)()()()()()(（4）令上两式中的P f 和M f 为零Ba)M fEIqa dx EIqx θa l EIqa dx x a l EI qx f aB aB 6)1(210)4(24)]([21030222302222=--+=-=+---+=⎰⎰挠度和转角的方向与虚加力的方向一致9-11. 图示刚架，已知AC 和CD 两部分的I=30×10-6m 4，E=200GPa 。
试求截面D的水平位移和转角，若P=10kN ，l =1m 。
解：（1）在D 处作用虚加力M f ，并列出弯矩方程3213121112)(2)()(x P M l P x M M l P x M M x P x M f ff ---=--=--=（2）上式分别对P 1和M f 求偏导数PP 1=P1)( 1)( 1)(2)( 2)( )(3211312111-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂ff f M x M M x M M x M l P x M l P x M x P x M（3）用卡氏定理求挠度和转角⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+---+---=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=----+---+---=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=l f lflf f l f l fl f f B l f lflf l l lDH dx EIx P M l P dx EIM l P dx EIM x P dx M x M EI x M dx M x M EI x M dx M x M EI x M M Uθdx l EIx P M l P dx l EIM l P dx x EI M x P dx P x M EI x M dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U δ03321211201333322221111033210211201113213322122111111)1(2)1(2)1()()()()()()()()2(2)2(2)()()()()()()()(（4）令上两式中的M f 为零rad EIPl dx EI x P l P dx EI l P dx EI x P θmm EIPl dx l EI x P l P dx l EI l P dx x EI x P δl l l f B l l lDH 0117.07)1(2)1(2)1()(1.21338)2(2)2(2)()(2033210211201303321021120111==---+--+--===---+--+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰挠度和转角的方向与P 1和虚加力的方向一致9-13. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P 作用下，试求节点B 与D 间的相对位移。
解：（1）在B 处作用虚加力P f ，并求出约束反力f D A f A P P N P Y P P X 22 22+==+= （2）求各杆的轴力0 22222 2254321=+=--=-=-=N P P N P P N P N P N f ff f（3）上式分别对P f 求偏导数0 1 22 22 2254321=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂ff f f f P N P NP N P N P N （4）用卡氏定理求B 点沿BD 方向的位移PPX12)2()22()22()22(22)22(2251+⋅⋅++-⋅--+-⋅-+-⋅-=∂∂=∂∂=∑=EA l P P EA l P P EA lP EA l P P N EA l N P Uδf f f f i fi i i f BD（5）令上式中的P f 为零EAPl EA Pl EA lP EA l P δBD 71.2)222(02)2()22()(00≈+=+⋅+-⋅-++=方向为B 向D 靠近9-14. 图示简易吊车的撑杆AC 长为2m ，截面的惯性矩I=8.53×106mm4。
拉杆BD 的A=600mm2。
P=2.83kN 。
如撑杆只考虑弯曲影响，试求C 点的垂直位移，设E=200GPa 。
解：（1）求出约束反力22 22 22P R P Y P X D A A ===（2）求BD 杆的轴力和AC 杆的弯矩222112)1(22)( 22)( 2Px x P x M Px x M P N ++-=-== PP（3）用卡氏定理求C 点垂直位移mm EI P EA P EI P EI P EA P dx x EI Px x P dx x EI Px EAP dx x x M EI x M dx x x M EI x M P NEA Nl P U δl l BD CV 60.0553.00472.032662)]1(22[2)1(22)22(22212)()()()(10222211112222211111=+=+=++=--++-+--+⋅⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=⎰⎰⎰⎰方向向下。
9-15. 平面刚架如图所示。
刚架各部分截面相同，试求截面A 的转角。
解：（1）求各杆的弯矩方程)( )cos 3()( )(332211Px x M αx l P x M Px x M -=-=-=（2）在梁上A 处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程AA1)( 1)( 1)(321-==-=x M x M x M（3）用莫尔定理求A 截面的转角EIPl EI Pl EI Pl EI Pl dx EI Px dx EI αx l P dx EI Px dx EI x M x M dx EI x M x M dx EI x M x M θl l l l l lA 2332921529)1)((1)cos 3()1)(()()()()()()(2222340325021301333322221111=++=--+⨯-+--=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰转角的方向与单位力偶方向相同。
9-18. 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩Mo 作用下，试求析轴杆自由端的线位移和角位移。
解：（1）求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程0201)( )(M x M M x T ==（2）在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程1)( 1)()( 0)(221222111====x M x T x x M x T（3）用莫尔定理求自由端的位移40400020010022222111214202020202221211111643211)()()()(3220)()()()(d πE h M d πG l M EI h M GI l M dx EIM dx GI M dx EI x M x M dx GI x T x T θd πE h M EI h M dx EI x M dx EIx M x M dx GI x T x T δp h lp l l p hl lp H +=+=⨯+⨯=+===+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。
9-19. 在曲拐的端点C 上作用集中力P 。
设曲拐两段材料 相同且均为同一直径d的圆截面杆，试求C 点的垂直位移。
解：（1）求BC 杆的弯矩方程及AB 杆的扭矩方程和弯矩方程Pax T Px x M Px x M ===)( )()(22211（2）在C 端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程ax T x x M x x M ===)( )()(22211（3）用莫尔定理求C 端的垂直位移4343333202220101122222222111132312833)()()()()()(d πG Pa d πE Pa EI Pa GI Pa EI Pa dx EIx Px dx GI a Pa dx EI x Px dx EI x M x M dx GI x T x T dx EI x M x M δp a a p al l p l V +=++=⋅+⋅+⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰自由端的垂直位移单位力方向一致。