二元一次方程组的解及解法
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．
一、代入法
2x+5y=－21
例1、解方程组
x+3y=8
3x－4y=9
例2、解方程组
9x－10y=3
※解题方法：
①编号：②变形③代入④求x（或y）：；⑤求y（或x）：⑥联立：
三、加减消元法
2x+3y=14
例3、解方程组
4x－5y=6
3(x+2)+(y －1)=4 例4 解方程组
3(x+2)+(1－y)=2
※解题方法：
①编号 ②系数相等
③相加（或相减） ④求值 ⑤求另值 ⑥联立
3．精选真题强化练习：
解二元一次方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=+52y x 4
y 2x
（2）⎩⎨⎧==+112y -3x 12y x。
第五章二元一次方程(组)及其解法(解析版)
第五章二元一次方程组考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）考点类型二、用字母表示数考点类型三、二元一次方程（组）的解知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法考点类型二、消元法考点类型三、含参数类型考点类型四、整体思想、换元思想考点类型五、新定义风向知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）1．已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（）A ．,11m n ==-B ．1,1m n =-=C ．14,33m n ==-D ．14,33m n =-=【答案】A根据二元一次方程的定义，得出关于m ，n 的方程组，求出答案．【详解】∵关于x 、y 的方程x 2m﹣n ﹣2+y m +n +1＝6是二元一次方程，∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩．故选：A ．【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．2．若1335m n m x y --+=是二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（）A ．2m =，3n =B ．2m =，1n =C ．1m =-，2n =D ．3m =，4n =【答案】B【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程判断即可．【详解】解：∵1335m n m x y --+=是二元一次方程，∴m -1=1，3n -m =1，解得：m =2，n =1，故选：B ．此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．3．方程23235,3,3,320,6x y xy x x y z x y y -==+=-+=+=中是二元一次方程的有___个．【答案】1【分析】二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1．【详解】解：符合二元一次方程的定义的方程只有2x −3y ＝5；xy ＝3，x 2＋y ＝6的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义；x ＋3y＝1不是整式方程，不符合二元一次方程的定义；3x −y ＋2z ＝0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义；由上可知是二元一次方程的有1个．故答案为：1．【点睛】主要考查二元一次方程的概念．要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．4．如果2120a b x y -++=是二元一次方程，则a =____，b =_____．【答案】3【分析】根据二元一次方程的定义可知21a -=，11b +=，据此可解出a 、b .解：依题意，得：2111a b -=⎧⎨+=⎩，解得：30a b =⎧⎨=⎩.故答案为：3，0.【点睛】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解．5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．35233x y x z +=⎧⎨-=⎩B ．12163m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．56m n mn n +=⎧⎨+=⎩D ．321026x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】B【分析】本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．【详解】解：A ：含有三个未知数，不是；B ：符合条件，是；C ：mn 项的次数为2，不是；D ：存在不是整式的式子，不是．故选：B ．本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．6．下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩B ．43624x y y z +=⎧⎨+=⎩C ．41x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．22513x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成；根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、方程组141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；B 、方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；C 、该方程组是二元一次方程组，所以本选项符合题意；D 、方程组中第二个方程未知数x 、y 的次数是2，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，属于基础概念题型，熟知二元一次方程组的概念是关键．7．已知方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则（）A ．2m ≠±B ．3m =C ．3m =-D ．3m ≠【分析】二元一次方程组：由两个整式方程组成，两个方程一共含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义列方程或不等式，从而可得答案.【详解】解： 方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，203021m m m ⎧+≠⎪∴-≠⎨⎪-=⎩解得：233m m m ≠-⎧⎪≠⎨⎪=±⎩3.m ∴=-故选：.C 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键.考点类型二、用字母表示数8．由132x y -=可以得到用x 表示y 的式子为（）A ．223x y -=B ．223x y =-C ．2133x y =-D ．223x y =-【分析】先移项，后系数化为1，即可得．【详解】解：132x y -=移项，得123y x =-，系数化为1，得223x y =-，故选B ．【点睛】本题考查了方程的基本运算技能，解题的关键是熟练掌握方程的基本运算技能．9．在二元一次方程142653x y -=中，用含x 的代数式表示y ，则下面结论正确的是（）A ．20524xy -=B ．52024x y -=C ．52024x y +=D ．52024x y +=-【答案】B【分析】先把二元一次方程142653x y -=去分母得：52420x y -=，再通过移项合并同类项可得结果．【详解】解：由二元一次方程142653x y -=去分母，得：52420x y -=，移项合并同类项得：52024x y -=，系数化为1得：52024x y -=，故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤．10．把方程635x y -=改成用含x 的代数式表示y 为y =__________．【答案】2x -53【分析】把x 看作已知数求出y 即可．【详解】解：6x -3y =5，3y =6x -5，解得：y =2x -53故答案为：y =2x -53【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看作已知数求出y ．考点类型三、二元一次方程（组）的解11．已知14x y =-⎧⎨=⎩是方程mx ﹣y ＝3的解，则m 的值是（）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．7【答案】C【分析】把14xy=-⎧⎨=⎩代入mx﹣y＝3，得到关于m的方程，进而即可求解．【详解】解：14xy=-⎧⎨=⎩是方程mx﹣y＝3的解，∴-m﹣4＝3，解得：m=-7，故选C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键．12．如果方程组23759x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是方程716x my+=的一个解，则m的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：23759x yx y+=⎧⎨-=⎩①②{，①+②×3得：17x=34，即x=2，把x=2代入①得：y=1，把x=2，y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16，解得：m =2，故选：C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程解的概念，解出二元一次方程组的解代入另一个方程是解决此题的关键．13．二元一次方程210x y +=有______个解，有________个正整数解，它们是___________．【答案】无穷多412348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；【分析】将x 看做已知数求出y ，即可确定出正整数解的个数．【详解】解：由方程210x y +=，得到102y x =-，当x =1时，y =8；当x =2时，y =6；当x =3时，y =4；当x =4时，y =2．则正整数解有4个，故答案为：无穷多；4；12348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；．【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．14．若二元一次方程组51cx ay x y -=⎧⎨+=⎩和23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩解相同，则可通过解方程组（）求得这个解．A ．151cx ay x y -=⎧⎨+=⎩B ．51cx ay ax by -=⎧⎨+=⎩C ．23151x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】根据方程组同解，可知方程组的解同时满足四个方程，将两个已知方程组成方程组即可．【详解】解：∵二元一次方程组51cx ayx y-=⎧⎨+=⎩和23151x yax by-=⎧⎨+=⎩解相同，方程组的解同时满足这四个方程；∴解方程组23151x yx y-=⎧⎨+=⎩即可求出方程组的解，故选：C．【点睛】本题考查了方程组同解问题，解题关键是明确方程组的解的意义，把已知方程组成方程组．15．若关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则方程组(3)(1)4(3)(1)8a xb ya xb y+--=-⎧⎨++-=⎩的解是（）A．14xy=-⎧⎨=⎩B．23xy=⎧⎨=⎩C．14xy=⎧⎨=-⎩D．52xy=⎧⎨=⎩【答案】A 【分析】通过观察所给方程组的关系可得3213xy+=⎧⎨-=⎩，求出x、y即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，∴234 238a ba b-=-⎧⎨+=⎩，又∵(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩，∴3213x y +=⎧⎨-=⎩，解得14x y =-⎧⎨=⎩，∴方程组(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩的解为14x y =-⎧⎨=⎩，故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系．16．已知关于x 、y 的方程组242x y a x y a -=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 互为相反数，则a =__________．【答案】2【分析】直接①-②可得42x y a +=-，由题意可得0x y +=，进而可得420a -=，再解即可．【详解】242x y a x y a-=-⎧⎨-=⎩①②，①-②得：42x y a +=-，x y 、互为相反数，0x y ∴+=，420a∴-=，解得：2a=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件x＝−y．知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法17．用代入法解下列方程组：（1）3 759 y xx y=+⎧⎨+=⎩；（2）35 5215 s ts t-=⎧⎨+=⎩；（3）3416 5633 x yx y+=⎧⎨-=⎩；（4）4(1)3(1)2223x y yx y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩．【答案】（1）1252xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）25112011st⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）612xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）23xy=⎧⎨=⎩．【分析】根据代入法解二元一次方程组即可，代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数，代入消元法简称代入法．【详解】（1）3759y x x y =+⎧⎨+=⎩①②将①代入②得：75(3)9x x ++=，解得12x =-，将12x =-代入①得，52y =，∴原方程组的解为：1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）355215s t s t -=⎧⎨+=⎩①②由①得，35t s =-③，将③代入②得，52(35)15s s +-=，解得2511s =，将2511s =代入③，得，2011t =，∴原方程组的解为：25112011s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①得344y x =-③，将③代入②得，56(4)334x x 3--=，解得6x =，将6x =代入③，得，12y =-，∴原方程组的解为：612x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）4(1)3(1)2223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩①②由①得444332x y y --=--，即45y x =-③，由②可得3212x y +=④，将③代入④得32(45)12x x +-=，解得2x =，将2x =代入③，得，3y =，∴原方程组的解为：23x y =⎧⎨=⎩；【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组，掌握代入法是解题的关键．考点类型二、消元法18．用加减法解下列方程组：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩．【答案】（1）272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）50x y =⎧⎨=⎩；（3）9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【分析】（1）根据加减消元可直接进行求解方程组；（2）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（3）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（4）根据加减消元法可直接进行求解方程组．【详解】解：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①+②得：48x =，解得：2x =，把2x =代入①式得：229y +=，解得：72y =，∴原方程组的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×2-②得：735x =，解得：5x =，把5x =代入①得：55225y ⨯+=，解得：0y =，∴原方程组的解为50x y =⎧⎨=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×3-②×2得：1114=y ，解得：1411y =，把1411y =代入①得：1425811x +⨯=，解得：911x =；∴原方程组的解为9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①×2+②×3得：136x =，解得：613x =，把613x =代入①得：623613y ⨯+=，解得：2213y =，∴原方程组的解为6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．考点类型三、含参数类型19．甲、乙两人同解方程组515411ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②时，甲看错了方程①中的a ，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了②中的b ，解得54x y =⎧⎨=⎩，试求20202021()a b +-的值．【答案】0【分析】将31x y =-⎧⎨=-⎩代入第二个方程可得b 的值，将54x y =⎧⎨=⎩代入第一个方程得a 的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：将31x y =-⎧⎨=-⎩代入411x by -=-得：1211-+=-b ，解得1b =将54x y =⎧⎨=⎩代入方程组中的515ax y +=得：52015a +=，即1a =-20202021()ab ∴+-20202021(1)(1)110=-+-=-=．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．20．若关于x 、y 的二元一次方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩与方程组4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩有相同的解．求m 、n 的值．【答案】m =1，n =3【分析】根据题意列不含m 、n 的方程组求解，求出x ，y 值，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中即可解得m ，n ．【详解】解：解方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中得：21314m n m n +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．21．已知关于x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求代数式2a +b 的平方根．【答案】代数式2a +b 的平方根是±1．【分析】由已知解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，即可求解．【详解】解： 方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩与2331ax by ax by +=⎧⎨+=-⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①2⨯得，466x y -=③，②3⨯得，9633x y +=④，③+④得，3x =，将3x =代入①得，1y =，∴方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，2a b ∴+的平方根为±1．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质．考点类型四、整体思想、换元思想22．材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎨--=⎩时，可由①得1x y -=③，然后再将③代入②得415y ⨯-=，求得1y =-，从而进一步求得01x y =⎧⎨=-⎩这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组()()423324x y x y x y -=⎧⎨--=⎩【答案】7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】观察方程组的特点，把2x y -看作一个整体，得到322x y -=，将之代入②，进行消元，得到33422x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得76x =，进一步解得56y =，从而得解．【详解】解：()()423324x y x y x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②由①得322x y -=③，把③代入②得33422x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得76x =，把76x =代入③，得73262y ⨯-=，解得56y =，故原方程组的解为7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法．23．阅读材料在解方程组253 4115 x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，明明采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5，即2（2x +5y ）+y ＝5③；把方程①代入③得2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①，得x ＝4，∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组436 8718 x y x y -=⎧⎨-=⎩①②．【答案】36x y =-⎧⎨=-⎩【分析】将方程②变形为()24318x y y --＝，再将436x y -＝整体代入即可求方程组．【详解】解：4368718x yx y-=⎧⎨-=⎩①②中将②变形，得()24318x y y--＝③，将①代入③得，2×6﹣y＝18，∴y＝﹣6，将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3，∴方程组的解为36 xy=-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．24．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组23237432323832x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为743832m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解的6024mn=⎧⎨=-⎩，把6024mn=⎧⎨=-⎩代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得23602324x yx y+=⎧⎨-=-⎩解得914xy=⎧⎨=⎩所以，原方程组的解为914xy=⎧⎨=⎩．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）3 6101 610x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩；（2）52113213x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．【答案】（1）137x y =⎧⎨=-⎩；（2）1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．【详解】解：（1）令6x y m +=，10x y n -=，原方程组化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：137x y =⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．（2）令1m x =，1n y=，原方程组可化为：52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩，∴1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，经检验，1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是原方程的解．∴原方程组的解为1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．考点类型五、新定义风向25．在平面直角坐标系中，已知点(),A x y ，点()2,2B x my mx y --（其中m 为常数，且0m ≠），则称B 是点A 的“m 系置换点”．例如：点()1,2A 的“3系置换点”B 的坐标为()1232,2312-⨯⨯⨯⨯-，即()11,4B -．（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为________；（2）若点A 的“3系置换点”B 的坐标是(-4，11)，求点A 的坐标．（3）若点(),0A x （其中0x ≠），点A 的“m 系置换点”为点B ，且2AB OA =，求m 的值；【答案】（1）()28，；（2）()21，；（3）1m =±．【分析】（1）根据题中新定义直接将m 的值代入即可得出答案；（2）根据题中新定义列出关于x 、y 的二元一次方程组求解即可得出答案；（3）根据题中新定义可得出点B 的坐标，再根据2AB OA =列方程求解即可得出答案．【详解】解：（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为()22202220-⨯⨯⨯⨯-，，即()28，；（2）由题意得：2342311x y x y -⨯⨯=-⎧⎨⨯⨯-=⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩∴点A 的坐标为：()21，；（3） (),0A x ∴点()2,2B x my mx y --为()20,20x m mx -⨯-即点B 坐标为(),2x mx ∴2AB mx =，OA x= 2AB OA =22mx x∴= m 为常数，且0m ≠∴1m =±．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、绝对值方程，理解“m 系置换点”的定义并能运用是本题的关键．26．对x ，y 定义一种新的运算A ，规定：()()(),ax by x y A x y ay bx x y ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩（其中0ab ≠）．（1）若已知1a =，2b =-，则()4,3A =_________．（2）已知()1,13A =，()1,20A -=．求a ，b 的值；（3）在（2）问的基础上，若关于正数p 的不等式组()()3,21413,2A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩恰好有2个整数解，求m 的取值范围．【答案】（1）2-；（2）12a b =⎧⎨=⎩；（3）2618m -<-≤【分析】（1）根据新定义就是即可；（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值；（3）由（2）化简得A （x ，y ）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2，故答案为-2；（2）根据题中的新定义得：320a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩；（3）由（2）化简得：A （x ，y ）=()()22x y x y y x x y ⎧+≥⎪⎨+<⎪⎩，∴在关于正数p 的不等式组()()3214132A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩，，中，∴A （3p ，2p -1）=7p -2＞4，A （-1-3p ，-2p ）=-2p +2（-1-3p ）=-8p -2≥m ，∴p ＞67，p ≤m 28+-∵恰好有2个整数解，∴2个整数解为1，2．∴2≤m28+-＜3，∴-26＜m≤-18．【点睛】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组．。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
七年级下-二元一次方程组的定义及解法
二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。
注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。
例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。
注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。
例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。
2.未知数的次数为1。
注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。
例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。
'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。
(word完整版)二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程,就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少,逐一简化的思想方法,叫做消元思想。
即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数)的方程。
2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
(2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法,简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值;（5)把求出的未知数的值写成的形式。
6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1,a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解;（2）当时，这个方程组无解;（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解,二元一次方程组的解法,运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、(1）下列方程中是二元一次方程的有( ）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2)在方程(k2－4）x2＋(2－k)x＋（k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件:①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件,∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2)∵方程(k2－4）x2＋(2－k）x＋（k＋1)y＋3k=0是二元一次方程,∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中,如果是它的一个解,那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中,解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解,∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c 的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2,那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答:都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.(1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值。
《二元一次方程组》知识讲解及例题解析
《二元一次方程组》知识讲解及例题解析◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21xy=⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21xy=⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程． 例2 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩ 故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8； （2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解．【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3． 由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4． 则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得： 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．。
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组及其解法 一、学法指引：本专题主要学习二元一次方程（组）的定义及其解法，理解二元一次方程的解的意义，二元一次方程组的解的意义，以及二元一次方程组的解的三种情况，形如，ax+by=c 的方程叫二元一次方程，它有无数个解，由几个二元一次方程够成，叫二元一次方程组，解有三种情况：1）唯一解，2）无数解，3)无解。
解方程组的思想是消元，但在解方程组时，要根据方程组的数据特点来确定解法 二、探究与思考1）探究二元一次方程的有关概念形如ax+by=c (a b ≠0)方程叫二元一次方程，满足方程的解有无数个。
例1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ）（A ）1=xy （B ）21=+yx （C ）13-=x y （D ）032=--x x 例2、已知关于x,y 的方程（a －2）x |a －1|+(b+3)y|b+4|=6是二元一次方程，求a ，b讲中练下列各组数中①⎩⎨⎧==22y x ②⎩⎨⎧==12y x ③⎩⎨⎧-==22y x ④⎩⎨⎧==61y x 是方程104=+y x 的解的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2)探究二元一次方程组的定义及其解法 形如 a 1x+b 1y=c 1的方程组叫二元一次方程组 a 2x+b 2y=c 2①代入消元法例3、用代入法解下列方程组(1)⎩⎨⎧=+-=18050y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+173x y y x (3)233511x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用代入消元法解方程组时，首先将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后代入另一个方程。
讲中练用代入法解下列(1)⎩⎨⎧=+=+7222y x y x (2) (3)②加减消元法例4、用加减法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=-=+534734y x y x （2）3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ （3）234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用加减法解方程组时，首先将方程组中的某个未知数的系数化相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减。
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
第8讲 二元一次方程(组)的概念和解法
第8讲二元一次方程（组）的概念和解法【学习目标】1.二元一方程（组）的概念2.二元一次方程组的基本解法3.复杂的多元一次方程组【模块一】二元一次方程组的概念在本模块我们的学习目标是：1、掌握二元一次方程概念2、掌握二元一次方程组概念3、理解方程组的解（公共解）一、二元一次方程1、定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程. 【例】x＋2y＝5，2x＝3y，3x＝y－2对于二元一次方程的定义可以用“三个条件一个前提”来理解：①含有两个未知数一一“二元②含有未知数的项的最高次数为1一“一次③未知数的系数不能为0前提：方程两边的代数式都是整式一一整式方程2、一般形式：二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0（a＝0，b＝0）【课堂建议】类比一元一次方程：标准式：ax＋b＝0（a≠0）3、判定：先看前提，再化一般形式易错总结（1）二元：x＋y＋z＝1，x－2＝1（2）一次：x2－x＋y＝1，xy＋x＋y＝1【袁华燕录入】(3) 系数不为0：x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1(4) 整式方程：1x＋y＝1，1x＋x＋y＝1x【易错】x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1，1x＋x＋y＝1x【例1】下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①x＋3＝7；②a＋b＝0；③3a＋4t＝9；④xy－1＝0；⑤1x－y＝0；⑥x＋y＋z＝4；⑦2x2＋x＋1＝2x2＋y＋5；⑧x2＋y－6＝2x.【练1】方程2x－3y＝5,xy＝3，x＋3y－1，3x－y＋2z＝0，x2＋y＝6中是二元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】⑴己知方程x n－1＋2y|m－1|＝m关于x，y的二元—次方程，求m、n的值.⑵己知方程(a－2)x|a|－1－(b＋5)y|b|－4＝3是关于x、少的一元一次方程，求a、b的值.【练2】（1)若方程2x m－1＋y n＋m＝12是二元一次方程.则mn＝_____(2)若己知方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋(k－7)y＝k＋2，当k＝_______时，方程为一元一次方程，当k＝_____时，方程为二元一次方程.4、二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.任何一个二元一次方程都有无数个解.【例3】⑴己知21xy=⎧⎨=⎩是方程3x＋ay＝5的解，则a的值为（）A.－1B.1C.2D.3⑵判断下列数值是否是二元一次方程3t＋2s＝24的解.①29ts=⎧⎨=⎩②21ts=⎧⎨=⎩③89ts=⎧⎨=⎩④46ts=⎧⎨=⎩【练3】⑴若23x ky k=⎧⎨=-⎩是二元—次方程2x－y＝14的解，则k的值是（）A.2B.－2C.3D.－3⑵已知12xy=⎧⎨=⎩与3xy m=⎧⎨=⎩都是方程x＋y－＝n的解，求m与n的值.二．二元_次方程组：1、二元一次方程组.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫二元—次力程组.(1)二元：总共有两个未知数如：+12 22 xx=⎧⎨=⎩，21x y yx+=⎧⎨=⎩，12x yx y+=⎧⎨+=⎩，121x yx+=⎧⎨=⎩，12xy=⎧⎨=⎩，12x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，11x yy z+=⎧⎨+=⎩(2) —次：每个都是一次方程如:22x yy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222+x x xy y y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，11x yxy+=⎧⎨=⎩，1111xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3)方程组：方程个数大于等于2如：x＋y＝l，112 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩① 二元—次方程组一定是由两个或多个二元一次方程组成（错）② 两个或多个二元一次方程一定可以组成二元一次方程组（错）【例4】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A.527x yxy+=⎧⎨=⎩B.121340xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C.354433x yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩D.28312x zx y-=⎧⎨+=⎩【练4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A.4119x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B.57x yy z+=⎧⎨+=⎩C.1x y xyx y-=⎧⎨-=⎩D.1326xx y=⎧⎨-=⎩2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解，同时它也必须是－个数对.而不能是一个数.【例5】⑴己知43xy=-⎧⎨=⎩是方程组12ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则(a＋b)b＝_______,(2)己知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组12ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a－b的值为( )A.1B.－1C.2D.3【练5】（1)下列四个解中是方程组16223111x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解是（）A.810xy=⎧⎨=-⎩B.101xy=⎧⎨=-⎩C.6xy=⎧⎨=-⎩D.112xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩⑵关于x，y的二元一次方程组331ax yx by-=⎧⎨-=-⎩解中的两个未知数的值互为相反数，其中x＝l,求a，b的值.模块二二元一次方程组的基本解法一．会解基本二元一次方程组（体会消元过程）2、熟练应用代入与加减的方法，养成严格书写的习惯二元一次方程方程组最根本的思路就是将二元方程消元变成一元方程，代入消元法和加减消元法是最常用的方法.1.代入消元：why：等量代换when：(未知数系数为1时优先）how：用一个字母表示另一个字母直接代入(1)12xx y=⎧⎨+=⎩(2)2x yx y=⎧⎨+=⎩⑶23x yx y=⎧⎨+=⎩⑷13x yx y+=⎧⎨+=⎩变形代入(5)13x yx y-=⎧⎨+=⎩(6)2127x yx y-=⎧⎨+=⎩(7)2+38321x yx y=⎧⎨-=-⎩1．代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想, 代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y＝ax＋b的形式：②把y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程：③解这个一元一次方程，求出x的值：④回代求解：把求得的x的值代入y＝ax＋b中求出y的值从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.【例】解方程组2 239 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：由①得y＝x—2 ③把③代入②，得2x＋3(x－2)＝9 解得x＝3把x＝3代入③得,y＝l所以方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩2、加减消元：Why：等式性质When：系数绝对值相同优先How：系数统一后相加减直接加减；⑴31x yx y+=⎧⎨-=⎩⑵521327x yx y-=⎧⎨+=⎩⑶24234x yx y+=⎧⎨-=-⎩系数统一(4)23124x yx y-=⎧⎨+=⎩(5)237324x yx y+=⎧⎨-=⎩2.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的－般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数.使两个方程里的某―个未知数互为相反数或相等.②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减.消去一个未知教，得到一个一个―次方程：③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值：④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值：⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式例：解方程组32 12 3 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：①×2 得4x＋2y＝6 ③①＋③得7x＝7解得x＝l把x＝l代入①得y＝l所以方程组的解是11 xy=⎧⎨=⎩代入消元与加减消元的对比：代入消元方法的选择：①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0” 的形式.求不出未知数的值.②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.加减消元方法的选择：① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求解.④当未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.【例6】⑴方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（ )A.12xy=⎧⎨=⎩B.21xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.23xy=⎧⎨=⎩⑵方程组535213x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A.12xy=⎧⎨=⎩B.45xy=-⎧⎨=⎩C.53xy=⎧⎨=⎩D.45xy=⎧⎨=-⎩⑶用代入消元法解方程组：3 3814 x yx y-=⎧⎨-=⎩⑷用加减消元法解方程组：49 351 x yx y+=-=⑸二元一次方程ax＋by＝6有两组解是22xy=⎧⎨=-⎩与18xy=-⎧⎨=-⎩，求a，b的值.【练6】⑴二元―次方程组2x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．2xy=⎧⎨=⎩B.2xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.11xy=-⎧⎨=-⎩⑵方程组25342x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是____________.⑶己知方程组2421mx y nx ny m+=⎧⎨-=-⎩的解是11xy=⎧⎨=-⎩，那么m，n的值为（）A.11mn=⎧⎨=-⎩B.21mn=⎧⎨=⎩C.32mn=⎧⎨=⎩D.31mn=⎧⎨=⎩三元：【例7】0 423 9328 a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【练7】解方程组0.5320 322 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩模块三二元一次方程组的基本解法本模块中，我们主要学习复杂二元一次方程组化简，同时，对换元，轮换，连等式等量代信思想的建议认识理解.复杂方程组化简为基本二元一次方程组消元求解【例8】解下列方程组：⑴3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩⑵134723m nm n⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【练8】解方程组：⑴2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵3221245323145x yx y--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩2、轮换对称：二元对称：【例9】解方程组：⑴231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩⑵201120134023201320114025x yx y+=⎧⎨+=⎩【曾伟录入】【练9】（1）解关于x、y的方程组301120722 150271571x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）解关于x、y的方程组331512 173588x yx y+=⎧⎨+=⎩三元轮换【例10】解方程组（1）222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩.【练10】（1）解方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩；（2）已知1467245735674757671234567394941131499x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎪++++++=⎩，求7x .3、换元：【例11】（1）解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【练11】（第七届“华罗庚杯”邀请赛试题） 解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪+=⎪--⎩【例12】解方程组（1）1513pq p q pq p q ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩；（2）1321312312mn m n mn m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.【练12】（1）已知1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，求x y z ++的值.（2）解关于x 、y 的方程组1111(0,)x y abx a b x y aby ab ab b aa b ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+≠±≠⎪⎩.4、连等比例【例13】解方程组：（1）:::1:2:3:49732200x y z u x y z u =⎧⎨+++=⎩；（2）解方程组：2345238x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩【练13】已知a b c k b c a c a b===+++，求k 的值.第8讲［尖端课后作业二元一次方程（的）念和解法【习1】下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A. 312x xy +=B. x y =C. 2115x y =+ D. 253x y x y -=+ 【习2】下列各方程是二元一次方程的是（ ）A. 23x y z +=B. 45y x +=C. 2102x y +=D. 1(8)2y x =+【习3】若关于x 、y 的方程2(3)0a a x y --+=是二元一次方程，那么a 的取值为( )A. 3a =-B. 3a =C. 3a >D. 3a <【习4】若方程22(4)(23)(2)0k x k x k y -+-+-=为二元一次方程，则k 的值为( )A. 2B. －2C. 2或－2D. 以上均不对【习5】若方程2(3)25m m x y -+-=为关于x 、y 的二元一次方程，则2012(2)m -= .【习6】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 4119x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B. 57x y y z +=⎧⎨+=⎩C. 1x y xy x y -=⎧⎨-=⎩D.1326x x y =⎧⎨-=⎩【习7】下列不是二元一次方程组的是（ ）A. 23x y y z +=⎧⎨+=⎩B. 2334m n n m =+⎧⎨-=⎩ C. 21x y =⎧⎨=-⎩D. 4252()12()3a a b a b +=⎧⎨-+=+-⎩ 【习8】解下列二元一次方程组：（1）527341x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ；（2）327238x y x y +=⎧⎨+=⎩ ；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩【习9】若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B. 8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C. 10.32.2x y =⎧⎨=⎩ D. 10.30.2x y =⎧⎨=⎩【习10】若实数x 、y 满足2142y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求关于x 、y 的方程组12x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩的解.【习11】已知211(3)02a b -++=，解方程组315ax y x by -=⎧⎨+=⎩. 【习12】解方程组2(1)5(2)1101217102x y x y --++=⎧⎪-+⎨-=⎪⎩【习13】解方程组3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩ 【习14】解方程组2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【习15】解方程组9()18523()2032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩【习16】解方程组1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【习17】解方程组37043225x y y z x z -+=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩【习18】解方程组23162125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩【习19】解方程组56812412345x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩【玉勇录入】【习20】已知方程组361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解是x p y q =⎧⎨=⎩，方程组345113435113991332x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的解是x m y n z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(p －q )(m －n ＋t )等于 ．【习21】(武汉市“CASIO ”竞赛题)已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足becdf a ＝4，acdef b ＝9，abdef c ＝16，abcef d ＝14，abcdf e ＝19， abcde f ＝116，求(a ＋c ＋e )－(b ＋d ＋f )的值．【习22】(第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试)已知实数x 1，x 2，x 3，x 4满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，其中a 1<a 2<a 3<a 4，则x 1，x 2，x 3，x 4的大小关系是( ) A ． x 1<x 2<x 3<x 4 B ． x 2<x 3<x 4<x 1 C ． x 3<x 2<x 1<x 4 D ． x 4<x 3<x 2<x 1【习23】若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤，求x2x3x4的值．【习24】解方程组：:3:2:5:466 x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩【张来录入】。
二元一次方程组的解法步骤
二元一次方程组的解法步骤
引言
在代数学中，二元一次方程组是一种包含两个未知数的线性方程组。
解二元一次方程组是代数中的基本问题之一，下面将介绍解二元一次方程组的步骤。
步骤一：消元法
首先，我们需要对二元一次方程组中的两个方程进行消元操作。
消元法可以让我们得到一个只含有一个未知数的方程，从而简化计算过程。
步骤二：整理方程
经过消元操作后，我们得到一个简化的方程，接下来需要整理方程，将未知数的系数移到方程的一侧，常数移到另一侧，使方程变成标准形式。
步骤三：代入法
在得到整理后的方程之后，我们可以使用代入法来求解未知数的值。
通过将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程中，可以得到未知数的解。
步骤四：检验解
最后一步是对求得的解进行检验。
将解代入原方程组中，检验是否满足原方程组两个方程中的所有条件，如果满足，则表示求解正确。
结论
通过以上四个步骤，我们可以解出二元一次方程组的未知数的值。
二元一次方程组是代数学中常见的问题，掌握解题步骤对培养逻辑思维能力有很大帮助。
希望以上内容能够帮助您更好地理解二元一次方程组的解法步骤。
解二元一次方程组的方法和步骤
解二元一次方程组的方法和步骤在数学中，二元一次方程组是一种常见的方程形式，它由两个未知数和两个方程组成。
解二元一次方程组的方法有多种，下面将介绍其中的几种常见方法和步骤。
一、代入法代入法是解二元一次方程组的一种基本方法。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解该方程。
例如，考虑以下二元一次方程组：方程1：2x + 3y = 7方程2：4x - y = 1我们可以将方程2中的y表示为方程1中的未知数x的函数。
通过观察可以发现，方程2中的y可以表示为y = 4x - 1。
将这个表达式代入方程1中，得到2x +3(4x - 1) = 7。
化简后得到14x - 3 = 7，进一步化简为14x = 10，最终解得x = 10/14 = 5/7。
将x的值代入y = 4x - 1，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，该二元一次方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
其基本思想是通过适当的变换，使得方程组中的一个未知数的系数相等或相差一个整数倍，从而将两个方程相减或相加，消去该未知数，进而求解另一个未知数。
考虑以下二元一次方程组：方程1：3x + 2y = 8方程2：2x - 4y = -2我们可以通过适当的变换，使得方程组中y的系数相等或相差一个整数倍。
观察方程1和方程2，可以发现将方程2乘以2得到2(2x - 4y) = 2(-2)，即4x - 8y = -4。
现在我们可以将这个新的方程与方程1相减，得到(3x + 2y) - (4x - 8y) = 8 - (-4)，化简后得到-x + 10y = 12。
进一步化简为x = 10y - 12。
将这个表达式代入方程1中，得到3(10y - 12) + 2y = 8。
二元一次方程组及其解法
例1. 某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没 有座位；若每辆汽车坐 60人，则恰好空出一辆汽车， 问共需几辆汽车，该单位有多少人？ 分析： 15人没有座位→多出15个人 空出1辆汽车→多出1辆汽车 解：设该单位共有x辆车，y个人.依题意，得 y - 45x = 15 ① 60 × (x - 1) = y ② ①式移项得y = 15 + 45x，代入②式 60x - 60 = 15 + 45x，可得x = 5 把x = 5代入①中，可得y = 240
合并①②可得：6x + 18 = 8x - 24，解得x = 21 把x = 21代入①得y = 144 答：船在静水中的速度为21千米/小时，两码头之间的距 离为144千米。
各位同学。 再见~！
例2、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无 D 数多个解的方程是（ ） A．10x+2y=4 B．4x-y=7 C．20x-4y=3 D．15x-3y=6 解析： 在5x - y = 2的两边乘以3，即得15x - 3y = 6，与D 选项相等。 ∴由以上两个方程组成的方程组有无数多个解
例2. 汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要 延误0.5小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前 0.5小时到达。求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的 时间。
比原计划多 开0.5小时
比原计划少 解：设甲、乙两地的距离为 x千米，原计划行驶时间为y 开0.5小时
小时.依题意，根据速度×时间=路程得 45 × (y +0.5) = x ① 50 × (y - 0.5) = x ② 合并①②，得45 × (y +0.5) = 50 × (y - 0.5) 解得y = 9.5，代入①得x = 450 答：甲、乙两地间的距离是450千米，原计划行使时间 为9.5小时。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法一、引言二元一次方程是数学中的基本概念之一，它可以用来解决一些实际问题，如线性模型、经济学中的供求关系等。
本文将介绍二元一次方程的解法，并提供一些实际应用的示例。
二、方法一：代入法二元一次方程的代入法是一种常见而简单的解法。
首先，在其中一个方程中将其中一个变量表示为另一个变量的函数，然后将其代入另一个方程，从而得到单变量的一元方程。
例如，我们考虑以下二元一次方程组：方程一：x + y = 7方程二：2x - y = 1我们可以将方程一改写为x = 7 - y，并代入方程二：2(7 - y) - y = 1通过展开和整理，我们得到：14 - 2y - y = 114 - 3y = 1继续整理，得到：-3y = 1 - 14-3y = -13y = -13 / -3y = 13/3将y的值代入方程一中，我们得到：x + 13/3 = 7x = 7 - 13/3x = 12/3 - 13/3x = -1/3所以，该二元一次方程组的解为x = -1/3，y = 13/3。
三、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
通过合理的加减运算，将方程组中的一个变量消去，从而得到只含有一个变量的一元二次方程。
继续以前面的例子为基础，我们通过消元法解决该方程组。
我们可以将方程二的系数乘以2，得到：方程一：x + y = 7方程二：4x - 2y = 2然后我们将方程一乘以2，并与方程二相减，从而消去y变量：2(x + y) - (4x - 2y) = 2(7) - 22x + 2y - 4x + 2y = 14 - 2-2x + 4y = 12整理后得到：4y - 2x = 12接下来，我们将这个结果与方程一相加，以消去x变量：(4y - 2x) + (x + y) = 12 + 74y - 2x + x + y = 19整理后得到：5y - x = 19现在，我们得到了一个只含有一个变量的方程。
《二元一次方程组的解法》数学教学PPT课件(3篇)
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
学习目标
1、理解解二元一次方程组的另一种常用方法——“加减 消元法” ； 2、熟练以及灵活应用加减消元法解二元一次方程组.
新知探究
想一想
为了解方程组
3x+2y=13 3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y ？
旧校舍面积的4倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校
舍?(单位:m2 )
拆 (x m2)
设应拆除旧校舍x m2 ,建 造新校舍y m2 .
根据题意列方程组
20000 m2
y=4x
y-x=20000× 30﹪.
y=4x 即
y-x=6000
新建 (y m2)
1.解方程组: x=3y+2, ① x+3y=8. ②
随堂练习
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x ⑴
x=4
x=—y2-5
y=8 ⑵
x=5 y=15
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11 x=9
3x-2y=9
x=3
⑶ x-y=7
y=2 ⑷ x+2y=3
y=0
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元 一次方程，求m 、n 的值.
把y=0.8代入①可得x=2
{ x=2
故原方程的解为 y=0.8
{7x+4y-10=0
例3 解方程组 4x+2y-5=0
{7x+4y=10 ①
解：原方程组可化为 4x+2y=5 ②
由方程②得y=（5-4x）/2 将上式带入①整理，得10- x =10
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例3：x:y=1:45x+6y=29令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1 所以x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
二元一次方程组的8大解题方法,应用题的克星
二元一次方程组的8大解题方法，专治各类应用题！二元一次方程大战应用题一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
（第一中考网）3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。
典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
初中数学 二元一次方程组及其解法
二元一次方程组及其解法一、二元一次方程的概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式为：ax by c ++=0(,)a b ≠0≠0．【例】x y +2=5，x y 2=3，x y 3=-2，x y 2+3+6=0等都是二元一次方程． 2．二元一次方程的判定： 必须同时满足四个条件：（1）含有两个未知数——“二元”；（2）未知数项的最高次数为1——“一次”； （3）方程两边都是整式——整式方程； （4）未知数的系数不能为0．【例】x y +=1，()y x 1=+82，x y 3-1=2-5，x y 4=3等都是二元一次方程；y x 4+=5，x y z 2+3=，x y 21+=02，x x 2+3=-5等都不是二元一次方程． 3．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注】任何一个二元一次方程都有无数个解．【例】x y =1⎧⎨=2⎩和x y =3⎧⎨=1⎩是方程x y +2=5的解，可以看出x y +2=5有无数个解．二、二元一次方程组的概念和解法1．二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．【注意】（1）二元一次方程组不一定由几个二元一次方程合在一起．（2）方程可以超过两个．【例】x x y 2=6⎧⎨3-=1⎩，x x y 2=6⎧⎨3-=1⎩，x y x y =2⎧⎪=3⎨⎪+=4⎩等都是二元一次方程组．2．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的几个方程左、右两边都相等的两个未知数的值（即几个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．【例】x x y 2=6⎧⎨3-=1⎩的解是x y =3⎧⎨=8⎩．3．二元一次方程组解的情况：一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；但在特殊情况下，二元一次方程组也可能无解或有无数组解．【例】方程组x y x y +=1⎧⎨2+2=2⎩有无数组解，方程组x y x y +=2⎧⎨2+2=2⎩和x y x y =2⎧⎪=3⎨⎪+=4⎩无解．4．二元一次方程组的基本解法（1）代入消元法：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如y ax b =+；②把y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 的值； ④把求得的x 的值代回y ax b =+中，求出y 的值，从而得出方程组的解；⑤把这个方程组的解写成x my n =⎧⎨=⎩的形式．解方程组：19,x y x y 3+4=⎧⎨-=4.⎩解：19,x y x y 3+4=⎧⎨-=4.⎩①②由②，得x y =4+，③ 把③代入①，()y y 34++4=19， ∴y y 12+3+4=19，得y =1． 把y =1代入③，得x =4+1=5．∴方程组的解为5x y =⎧⎨=1.⎩，（2）加减消元法：①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解；⑤把这个方程组的解写成x my n=⎧⎨=⎩的形式．解方程组：x y x y +2=1⎧⎨3-2=11⎩解：x y x y +2=1⎧⎨3-2=11⎩①②①+②，得x 4=12，解得：x =3．将x =3代入①，得y 3+2=1， 解得y =-1．∴方程组的解是x y =3⎧⎨=-1⎩．5．解方程组的三大解题思想（1）消元思想；（2）整体思想；（3）换元思想．（1）在下列方程中，①x 4+5=1；②x y 3-2=1；③x y1+=1；④xy y +=14；⑤x y =；⑥()y x 1=+82，其中是二元一次方程的是__________．（填序号）（2）已知方程||n m x y m -1-1+2=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =_____，n =______．（3）若已知方程()()()k x k x k y k 22-1++1+-7=+2，当k =______时，方程为一元一次方程，当k =_______时，方程为二元一次方程．【解析】（1）②⑤⑥；（2）m =0或2，n =2．（3）-1，1．模块一 二元一次方程的概念例题1（1）已知x y =1⎧⎨=-1⎩是方程x ay 2-=3的一个解，那么a 的值是_________．（2）若x ky k =2⎧⎨=-3⎩是二元一次方程x y 2-=14的解，则k 的值是_________．【解析】（1）1；（2）2．（1）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．x y y 2+=1⎧⎪1⎨=-1⎪⎩ B ．x xy 2=1⎧⎨=-1⎩ C ．x y y z 2+=1⎧⎨-=-1⎩D ．x y =1⎧⎨=-1⎩（2）已知x y =-4⎧⎨=3⎩是方程组ax y x by +=-1⎧⎨-=2⎩的解，则()a b 6+=______．（3）已知x y =2⎧⎨=1⎩是二元一次方程组ax by bx ay +=1⎧⎨+=2⎩的解，则a b -的值为______．【解析】（1）D ；（2）由题意得a =1，b =-2，a b +=1，∴()a b 6+=1．（3）把解代入方程组得a b b a 2+=1⎧⎨2+=2⎩①②，①-②得a b -=-1．（1）用代入消元法解方程组：x y x y 3+4=2⎧⎨2-=5⎩．（2）用加减消元法解方程组：x y x y 4+3=5⎧⎨-2=4⎩．例题2模块二二元一次方程组的概念和解法例题3例题4【解析】（1）由题意得，x yx y3+4=2⎧⎨2-=5⎩①②由②，得y x=2-5，③把③代入①，得()x x3+42-5=2，∴x x3+8-20=2，得x11=22，解得x=2．把x=2代入③，得y=-1．∴方程组的解为xy=2,⎧⎨=-1.⎩（2）由题意得，x yx y4+3=5⎧⎨-2=4⎩①②①×2+②×3，得x x8+3=10+12，∴x11=22，解得x=2．将x=2代入①，得y8+3=5，解得y=-1．∴方程组的解为xy=2,⎧⎨=-1.⎩【提示】展示解二元一次方程组的基本解法．用合适的方法解下列二元一次方程组：（1）()()()x yy x3-1=+5⎧⎨5-1=3+5⎩（2）()()()x yx y+1=5+2⎧⎨32-5-43+4=5⎩（3）()()x y yx y4--1=31--2⎧⎪⎨+=2⎪23⎩（4）m n n mnm+-⎧-=2⎪⎪34⎨⎪4+=14⎪3⎩（5）x yx y3-22-1⎧+=2⎪⎪45⎨3+23+1⎪-=0⎪45⎩（6）...x yx y112⎧+=⎪535⎨⎪05-03=02⎩【解析】（1）由题意得，x yx y3-=8⎧⎨3-5=-20⎩①②①-②，得y4=28，解得y=7．将y=7代入①，得x3-7=8，解得x=5．∴方程组的解为xy=5⎧⎨=7⎩．（2）由题意得，x yx y-5=9⎧⎨-2=6⎩①②②-①，得y3=-3，解得y=-1．将y=-1代入①，得x+5=9，解得x=4．∴方程组的解为xy=4⎧⎨=-1⎩．（3）xy=2⎧⎨=3⎩．（4）mn18⎧=⎪⎪5⎨6⎪=-⎪5⎩．（5）xy=2⎧⎨=3⎩．（6）xy14⎧=⎪⎪17⎨12⎪=⎪17⎩．例题5【提示】练习解二元一次方程组的一般步骤：（1）去分母，去括号，最好转化为各项系数为整数的二元一次方程组； （2）多观察，系数为1±时优先使用代入消元法，其次才是加减消元法．解方程组：（1）x y x y 23+17=63⎧⎨17+23=57⎩（2）x y x y 2011-2013=4023⎧⎨2013-2011=4025⎩【解析】（1）两方程相加，得：x y 40+40=120，即x y +=3 ①两方程相减，得：x y 6-6=6，即x y -=1 ② ①+②得：x 2=4，解得x =2，①-②得：y 2=2，解得y =1，∴方程组的解为：x y =2⎧⎨=1⎩．（2）x y 3⎧=⎪⎪2⎨1⎪=-⎪⎩2．【提示】系数对称的二元一次方程组的特殊解法．（1）若方程组.a b a b 2-3=13⎧⎨3+5=309⎩的解是..a b =83⎧⎨=12⎩，则方程组()()()().x y x y 2+2-3-1=13⎧⎨3+2+5-1=309⎩的解是（ ）A ．..x y =63⎧⎨=22⎩B ．..x y =83⎧⎨=12⎩C ．..x y =103⎧⎨=22⎩D ．..x y =103⎧⎨=02⎩（2）用适当的方法解下列方程组：()()x y x y x y x y 3+-2-=-1⎧⎪⎨+-+=1⎪⎩24．【解析】（1）A ．比较两个方程组可知..x a y b +2==83⎧⎨-1==12⎩，解得..x y =63⎧⎨=22⎩．（2）令x y u +=，x y v -=，则u v u v 3-2=-1⎧⎪⎨+=1⎪⎩24，解得u v =1⎧⎨=2⎩，即x y x y +=1⎧⎨-=2⎩，解得x y 3⎧=⎪⎪2⎨1⎪=-⎪⎩2．【提示】整体换元法．例题6例题7解方程组：（1）x y z x y z x y z +-=0⎧⎪2-3+2=5⎨⎪+2+=13⎩ （2）x y z x y z x y z 2+3+=16⎧⎪-+2=-1⎨⎪+2-=5⎩【解析】（1）由题意得，x y z x y z x y z +-=0⎧⎪2-3+2=5⎨⎪+2+=13⎩①②③由①，得y z x =-，④把④代入②和③， 得x z x z 5-=5⎧⎨-+3=13⎩，解得x z =2⎧⎨=5⎩． 把x z =2⎧⎨=5⎩代入④得，y =3．∴方程组的解为x y z =2⎧⎪=3⎨⎪=5⎩．（2）由题意得，x y z x y z x y z 2+3+=16⎧⎪-+2=-1⎨⎪+2-=5⎩①②③③①+得，④x y 3+5=21， 2③②⨯+得，⑤x y 3+3=9，④﹣⑤得y 2=12，y =6，将y =6代入⑤得，x 3=-9，x =-3，将x =-3，y =6代入①得，()z =16-2⨯-3-3⨯6=4， ∴方程组的解为x y z =-3⎧⎪=6⎨⎪=4⎩．【提示】三元一次方程组的基本解法：（1）通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组； （2）解二元一次方程组．模块三 多元一次方程组的解法例题8（1） x y zx y z ⎧==⎪234⎨⎪5+2-3=8⎩ （2） x y z x y z x y z 2++=2⎧⎪+2+=4⎨⎪++2=6⎩【解析】（1）令x y zk ===234，即x k =2，y k =3，z k =4， 代入②可求得k =2，所以x y z =4⎧⎪=6⎨⎪=8⎩．（2）①＋②＋③得x y z ++=3，用①、②、③分别减去此式得x y z =-1⎧⎪=1⎨⎪=3⎩．【提示】三元一次方程组的特殊解法：（1）连比设k 型；（2）对称轮换型，整体相加．解方程组：（1）pq p q pq p q1⎧=⎪+5⎪⎨1⎪=⎪-3⎩ （2）xyx y yz y z zx z x ⎧=1⎪+⎪⎪=2⎨+⎪⎪=3⎪+⎩【解析】（1）原方程组可化为p q q p 11⎧+=5⎪⎪⎨11⎪-=3⎪⎩，解得q p 1⎧=4⎪⎪⎨1⎪=1⎪⎩，∴q p 1⎧=⎪4⎨⎪=1⎩．（2）原方程组可化为，解得，∴．【提示】均为可以转化为二元一次方程组或者三元一次方程组的分式方程．11111121113x y y z z x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩151217121112x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩12512712x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=-⎩例题9非常挑战（1）已知二元一次方程x y--1=023，下列用含x 的代数式表示y 正确的是（ ）. A ．y x 3=-12 B ．y x 3=+12 C ．y x 3=-32 D ．y x 3=+32（2）下列方程属于二元一次方程的是（ ）A ．x y +=1B ．xy +5=4C ．y x 23-8=D ．x y1+=2（3）已知方程||||()()a b a x b y -1-4-2-+5=3是关于x 、y 的二元一次方程，则a =________，b =__________．【解析】（1）C ；（2）A ；（3）根据题意可得：a -2≠0，b +5≠0，||a -1=1，||b -4=1，所以a =-2，b =5．（1）下列不是二元一次方程组的是（ ）A ．x y =2⎧⎨=-1⎩B ．m n n m =2+3⎧⎨3-=4⎩C ．x y y z +=2⎧⎨+=3⎩D ．(()）a a b a b 4+2=5⎧⎨2-+1=2+-3⎩（2）二元一次方程ax by +=6有两组解是x y =2⎧⎨=-2⎩与x y =-1⎧⎨=-8⎩，求a 、b 的值．【解析】（1）C ．（2）将两组解分别代入ax by +=6，可得a b a b 2-2=6⎧⎨--8=6⎩，解得a b =2⎧⎨=-1⎩．复习巩固演练1演练2解方程组：（1）m n m n 3+2=2⎧⎨5-4=7⎩（2）()()()()y x x y 3-1=4-4⎧⎨5-1=3+5⎩（3）()()y x x y y x -1⎧-=3⎪2⎨⎪2-+32-=-6⎩ （4）x y x y +1+2⎧=⎪⎪34⎨-3-31⎪-=⎪4312⎩【解析】（1）m n =1⎧⎪⎨1=-⎪⎩2． （2）x y =7⎧⎨=5⎩． （3）x y =2⎧⎨=-1⎩． （4）x y =2⎧⎨=2⎩．解下列方程组：（1）x y x y 21+23=243⎧⎨23+21=241⎩ （2）x y x y 2014+2013=2012⎧⎨2012+2011=2010⎩（3）x y x yx y x y 2+32-3⎧+=7⎪⎪43⎨2+32-3⎪+=8⎪32⎩【解析】（1）x y =5⎧⎨=6⎩．（2）x y =-1⎧⎨=2⎩．（3）设x y a 2+3=，x y b 2-3=，则原方程组可变为,,a ba b ⎧+=7⎪⎪43⎨⎪+=8⎪32⎩整理，得,,a b a b 3+4=84⎧⎨2+3=48⎩解得,.a b =60⎧⎨=-24⎩∴,,x y x y 2+3=60⎧⎨2-3=-24⎩解得,,x y =9⎧⎨=14⎩ ∴原方程组的解为,.x y =9⎧⎨=14⎩演练3演练4解方程组：（1）x z z y x y z -=4⎧⎪-2=-1⎨⎪+-=-1⎩（2）::::::x y z u x y z u =1234⎧⎨9+7+3+2=200⎩（3） x y z y z x z x y +-=11⎧⎪+-=3⎨⎪+-=1⎩（4）mn m n mn m n 1⎧=⎪⎪3+213⎨1⎪=⎪2+312⎩【解析】（1）x y z =-7⎧⎪=-5⎨⎪=-11⎩．（2）设x k =，y k =2，z k =3，u k =4，所以有k k k k 9+14+9+8=200， 即k =5，故x y z u =5⎧⎪=10⎪⎨=15⎪⎪=20⎩．（3）①＋②＋③得：x y z ++=15，分别去减①、②、③式可得：x y z =6⎧⎪=7⎨⎪=2⎩．（4）m n 1⎧=⎪⎪2⎨1⎪=⎪3⎩．演练5。
二元一次方程组的概念及解法
二元一次方程组的概念及解法二元一次方程组是含有两个未知数，且未知数的指数都是1的方程。
当把两个二元一次方程合在一起时，就组成了一个二元一次方程组。
方程组的解是使得两个方程的未知数相等的值。
公共解是指两个方程的解都相同的值。
例如，在方程组中，是一个二元一次方程组的例子。
另外，已知二元一次方程2x－y＝1，当x＝2时，y＝3；当y＝1时，x＝3.消元解法是解二元一次方程组的一种方法。
代入消元法是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中进行消元。
加减消元法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后解出另一个未知数。
例如，方程2x－y－5＝0可以表示为x＝(y+5)/2，y＝2x-5.另外，方程组可以用消元解法来解，例如，方程组(2x+3y=40.x-y=-5)可以用加减消元法解出x=11，y=6.举例来说，如果有一个两位数，其个位和十位数字之和为11，将其个位数字和十位数字对调后得到的数比原数大63，那么可以用代数式表示原数为(10y+x)，对调后的数为(10x+y)，则可以列出方程组(10y+x+63=10x+y。
x+y=11)。
解方程组可以得到x=8，y=3，因此原数为83.鸡兔同笼”问题是另一个例子，可以用二元一次方程组表示。
题目中给出了总共30个头和94只脚，因此可以列出方程组(2x+4y=30.2x+2y=94)，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。
解方程组可以得到x=12，y=9，因此鸡的数量为12，兔的数量为9.综上所述，二元一次方程组是含有两个未知数和未知数的指数都是1的方程组。
解二元一次方程组可以使用消元解法，包括代入消元法和加减消元法。
实际问题可以用二元一次方程组来表示，然后解方程组得出答案。
1.在方程y=-3x-2中，若x=2，则y=-8.若y=2，则x=-4.2.若方程2x-y=3写成用含x的式子表示y的形式：y=2x-3；写成用含y的式子表示x的形式：x=(y+3)/2.3.已知43=2x-3y+1，4x-15y-17=0，6x-25y-23=0，则x=3，y=-2.4.二元一次方程3x-my=4和mx+ny=3有一个公共解，则m=-4，n=3.5.已知|a-b+2|+(b-3)^2=1，那么ab=-1.6.对于方程组(1){xy= -10.x+y=-2}，是二次方程组；(2){x-y=1.x/y=3/4}，是一次方程组；(3){x+y=5.xy=3}，是二次方程组；(4){x+y=3.x=2y}，是一次方程组。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲 二元一次方程组的解及解法 （导学案）
一 、学习目标：
1、通过对实际问题的分析、建模，使学生能识别二元一次方程、二元一次方程组。
2、了解二元一次方程、二元一次方程组的解的概念。
3、熟悉二元一次方程组的解法，体验“消元”方法和转化的数学思想。
4、会用代入消元法解二元一次方程组。
5、熟练掌握二元一次方程组的解法，体验“消元”方法和转化的数学思想。
6、会用加减消元法解二元一次方程组。
7、能结合具体问题，尝试用不同解法间的关系和不同
二、学习步骤、环节、内容及要求：
第一关：认识二元一次方程组
（一）、课前延伸：
请同学们回顾以下几个问题：
1.方程 3a —2=1 ，2x +3= —5 里含有（ ）个未知数，含未知数的项的最高次数是（ ），
分母里含有未知数吗？（ ）（填含或不含）
2.下列m 的值是方程3+5m=8的解吗？
（m=1, m=-1, m=2, m=5
2） 友情提示：通过做以上题目，回顾一元一次方程的概念及识别方法，判断一个未知数的值是
否是方程的解。
（二）、课内探究：
要点一：二元一次方程的特征及二元一次方程的解
1、自主检测：
（1） 二元一次方程中含有（ ）个未知数，含未知数的项的最高次数都是（ ）次的。
（2） 判断下列方程是否是二元一次方程：
X+y=3 3x-5y=－1 x=3y x 1－y
1=3 （3） 适合二元一次方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程的（ ）解，一个二元
一次方程有（ ）个解。
（4）将方程x+y=3，用含x 的代数式表示为（ ）。
要点二：二元一次方程组的识别及二元一次方程组的解
1、自主检测：
A 组：
１、将两个二元一次方程联立，便得到一个（ ），二元一次方程组中两个
方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的（ ）。
２、下列是否是二元一次方程组：
2y x 1=- 2y
1x =+ 912x =- ｘ＝２y ２ Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ
3x = ｙ－ｘ＝０ ｙ＝４ 2x y 2
1=+ 3、如果 x=2 是方程kx-y=3的解，那么k 的值是（ ）。
y=1
4、在 x=0 x=2 x=3 x=4 四组数中，是方程3x+y=10的解的是（），
y= -1 y=4 y=1 y= -1
是方程2x-3y=3的解的是（ ），是方程组 3x+y=10 的解的是（ ）。
2x -3y=3
B 组：1、在二元一次方程x-2y=3中，若x 、y 互为相反数，则x=（ ），y=（ ）。
2、二元一次方程4x+y=11的所有非负整数的解是（ ）。
3、若方程2x 2m+3+3y 5n-1=4是关于x 、y 的二元一次方程，求m 2+n 的值。
要点三：能力提升。
甲、乙二人共同解方程组 ax+5y=15 (1) 由于甲看错了方程(1)中的a ，得到方程
4x-by=－2 (2)
组的解为 x=－3 ；由于乙看错了方程(2)中的b ，得到方程组的解为 x=5
Y=4
Y=－1
试计算a 2003+( －10
1b )2004的值 课堂小结：（师生共同完成）
第二关：二元一次方程组的解法————代入消元法
等量代换是等式中的一个量用与它相等的量来代替，等式仍然（ ）。
（二）课内研究：
1、自主复习：（相信你是最棒的）
2、完成下列复习检测：
（1）、从方程组中选择一个系数比较简单的方程，然后将它变形，用含有一个未知数的（ ）
表示另一个未知数。
（2）、用这个代数式（）另一个方程中相应的未知数，达到（）的目的，把二元一次方程组（）为一元一次方程。
（3）、解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值。
（4）、代入第一步所得的代数式（或原方程中的任何一个方程），求另一个未知数的值，从而得到原方程组的（）。
3、例1，解方程组3x=1-2y
（学生合作解决，加油。
）
4、合作交流：在例1中可以先消去y化为关于x的一元一次方程吗？试一试！
5、请你分析：下列方程组中，如何用代入法解，叙述一下，不作答案。
X=-2y x=2y=9 3m+2n=16
A、B、C、
X+y=10 3x-y= -1 2m+3n= -1
友情提示：一般来说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数为-1或1时，或者有一个方程常数项为0时，选择用代入法解。
6、课堂小结：说一说代入消元法的一般步骤
7、自主检测：
3x+2y=7 的解是（）
A 组：1、方程组
4x –y=13
A x= -1 B、x=3 C 、x= -3 D、x= -1
Y=3 y= -1 y= -3
2、用代入法解方程组：2x+y=2
3x -2y=10
B组：1、若关于x、y的方程组2x -y=m 的解是x=2 ，则| m -n | 为（）
X+my=n y=1
A、 1
B、 3 C 、5 D、 2
2、已知二元一次方程组m -2n=4 ，则m+n的值是（）
2m –n=3
A、 1
B、0
C、-2
D、-1
3、用代入法解下列方程组：5x -6y=1
2x -6y=10
（三）课后提升：
如图：该图为按一定规律排列的方程组集合和它们解得集合对应关系图：
2x+y = 3, x =_______,
x-2y = 4, y =_______,
2x+y = 5, x = 4,
x-4y = 16, y = -3,
2x+y = 7, x = 6,
x-6y = 36, y = -5,
________, x =________,
________. y = ________.
方程组集合解的集合
若方程组中的方程组自上而下一次记作方程组1、方程组2、方程组3……、方程组n。
（1）、将方程组1的解填入上图中。
（2）、请依据方程组和它的解变化规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中。
（3）、若方程组2x+y=a ，的解是x=10 ，求a、b的值；并判断方程组是否符X –by=1 y= -9
合（2）中的规律？
第三关：二元一次方程组的解法————代入消元法
教师点拨：（友情提示）
适合应用加减消元法解方程组的情况：
（1）、当某一个未知数的系数相等或者互为相反数时，直接将两方程相加减消元。
（2）、当某一个未知数的系数成倍数关系时，将该未知数的系数变为相等或互为相反数，再用加减消元法。
（3）、当相同的未知数的系数都不相同，也不成倍数时，一般选择系数较简单的未知数进行消元。
自学检测
1、、加减消元法是通过把两个方程相加或相减消去一个未知数，转化为（），简称（）。
2、请你分析下列方程组如何用加减法解，只分析方法：
A、2x+y=3
B、2x+3y=4
C、x+2y=9
D、4x+3y= -4
X+y=1 5x -3y=1 3x+y= -1 3x -4y= -3
3、对应练习：用加减法解下列方程组：
5x -6y= 1 2a -3b=8
（1）、（2）、
2x -6y=10 3a –b=5
规律方法总结：用加减法解二元一次方程组时，首先找字母系数的绝对值较小的作为消元对象，通过适当变形后使某一个字母系数相等或相反，然后再加减。
4、巩固检测：
（1）、二元一次方程组x+y=2 的解是（）
X –y=0
A x= 0 B、x=2 C 、x= 1 D、x= -1
Y=2 y= 0 y = 1 y= -1
（2）、方程组x -2y= -5 的解是（）
x +2y= 11
（3）、解下列方程组2x -y= 7
2x +y= 5
6、课堂小结：（1）、当方程组比较麻烦时，应怎样去做。
（2）、说一说，加减消元法的一般步骤。
（3）、在具体的题目中，如何选择用加减法还是代入法。
第四关：布置作业
A组：方程组x+y=5 （1）由（2）—（1）得到的方程是（）2x+y=10 （2）
A、3x=10
B、x=5
C、3x= -5
D、x= -5
（2）、二元一次方程组x –y= -3 的解是（）
2x+y=0
A x= -1 B、x=1 C 、x= -1 D、x= -2
Y=2 y= -2 y = -2 y= 1
（3）、解下列方程组 2 x –y= 3
x+y=3
B组：（1）、二元一次方程组5x +y= 7 的解为（）
3x -y=1
（2）、若关于x、y的二元一次方程组x+y=5k 的解也是二元一次方程2x+3y=6
X –y=9k
的解，则k的值为（）。
（3）、解方程组： 2 x –y= 7
2x+y=5
（三）、拓展提升：
已知三个二元一次方程：
A、x+y=4
B、2x-y=2
C、x -2y=1
请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解。
（可以选择“加减法”或“代入法”）。