数学学习中的猜想与合情推理

数学学习中的猜想与合情推理山东省沂水县第四中学（276400）袁红推理与证明是《数学课程标准》中新增加的高中数学课程内容。

数学中的推理包括演绎推理与合情推理。

以往的数学课程中，忽视合情推理，新一轮基础教育数学课程改革中，给了合情推理以应有的关注。

关于合情推理，著名数学家和数学教育家波利亚在他的著作《数学与猜想》中指出：“数学的创造过程是与其它知识的创造一样的，在证明一个定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细地证明之前，你先得猜测证明的思路。

你要先把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地尝试。

数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。

只要数学的学习过程稍反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。

”这说明，猜想与合情推理是数学学习过程中不可缺少的思维方式。

猜想是思维主体从一定的依据出发，利用非逻辑手段，直接获得猜想性命题的创造性思维活动。

它对于数学解题是有很大的帮助和好处的，是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认知过程，是一种创造性的思维活动。

然而我们的猜想是通过合情推理而得到的。

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），经过观察、分析、比较、联想、再进行归纳、类比，然后提出猜想性的推理。

在合情推理的过程中，观察是基础，要仔细地看，耐心地读，要在不断地观察中寻找特点，摸索规律；掌握问题之间的联系与差异，观察问题的变化与趋势。

合情推理具有猜测和发现新结论，探索和提供解决问题的思路和方向的作用。

猜想与合情推理几乎涉及数学的方方面面，也是考查学生创造性思维的重要途径与载体。

从近几年全国各地的高考试题来看，都加大了对观察归纳、类比猜想等能力的考察，具体体现在通过知识之间的类比、归纳、猜想得到相应的结论。

开放、探索、研究型命题思路将是新高考能力考察的命题趋势，在选择题、填空题、解答题中都有可能涉及。

因此，在平常的数学学习的过程中要切实重视知识之间的联系与拓展。

现通过实例看一下：一、由平面到空间例1：半径为r 的圆的面积()2S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作()0,+∞上的变量，则()22r r ππ'=， ①① 式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作()0,+∞上的变量，请你写出类似于①的式子: 。

②②式可用语言叙述为 . 解析:由已知条件提供的信息，由平面中的圆联想到空间中的球，找出球的两个常用的体积、表面积公式()343V R R π=,()24S R R π=. ,类似写出恰好成立。

由32443R R ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭知：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.答案: ① 32443R R ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭② 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

启示：1、本题立意主要是主要考查学生的类比意识和发散思维能力。

2、数学学习过程中要注重对学生类比能力的培养，在几何中，要注意直线和平面、角和二面角、三角形和三棱锥、平行四边形和棱锥的类比；在代数中，要注意因数分解和因式分解、有限和无限的类比；在数学结构关系中，要注意因果、对称、正逆、功能等的类比。

变式题：由图1所示，有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB''''⋅=⋅，则由图2有体积关系：P A B C P ABCV V '''--= 。

P ABA'AA'（图1） （图2） 解析：由题意知三棱锥作为三角形的类比对象，如图1、图2中，与PAB 、PA B ''相对应的，是三棱锥P ABC -、P A B C '''-；与P AB''两条边PA '、PB '相对应的，是三棱锥P A B C '''-的三条侧棱PA '、PB '、PC '；与PAB 两条边PA 、PB 相对应的，是三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、PB 、PC 。

由此，我们可以类比图1中面积关系得到图2中的体积关系为PA PC PB PA PB PC'''⋅⋅⋅⋅。

上述猜想的证明：121313PA C P A B C P ABCPACS h V V S h '''''--⋅⋅=⋅⋅1211sin 3211sin 32PA PC CPA h PA PC CPA h ''⨯⋅⋅∠⋅=⨯⋅⋅∠⋅PA PC PB PA PB PC '''⋅⋅=⋅⋅。

方法规律：⑴ 本题是一个探索性问题，要求类比平面几何中的面积关系，研究三棱锥体积的关系。

立体几何中的某些定理性质可以通过联想、类比平面几何中的有关定理性质得到。

⑵ 正确类比的关键是确定类比对象，如本题中三角形的类比对象是三棱锥，三角形边的类比对象是三棱锥的侧棱，三角形面积的类比对象是三棱锥的体积。

二、由个别到一般例2: 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4…堆最底层(第一层)分别按图所示固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数,则()3f =_________;()f n =________. (答案用n 表示)解析:已知()11f =,观察图形可知()()()24,310,420,f f f ===又知下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数,而第一层的个数满足1,3,6,10,…,通项公式为()()12n n g n +=,所以()()541535f f =+=； ()()()12.6n n n f n ++=进而猜想()()()()()()()()()()()()()222121121231121221211126212.6f ng g g n n n n n n n n n n n =+++=++++++⎡⎤=+++++++⎣⎦+++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦++=事实上，答案:10,()()126n n n ++. 启示：1、本题可通过观察——试验——猜测——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，由前三个图形的排列规律寻找这种图形的一般规律，并证明所得结论的正确性。

2、解决这类问题要注意两点：一是开始计算时要准确，以确保猜想的正确；二是在探索的过程中，要学会发现一般结论的方法。

变式题： 定义“等和数列”：在一个数列里，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫等和数列。

这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，求18a 和21S 。

分析:由等和数列的定义得出通项公式,进而求出18a 和21S . 解法1:由“等和数列”的定义有:1223345a a a a a a +=+=+==,得135212n a a a a -=====,24623n a a a a =====,183a ∴=.()()()211234192021S a a a a a a a =+++++++5102=⨯+52=.解法2:()()()()181817171616151514211()a a a a a a a a a a a a =+-+++-++++- ()211a a a =+-523=-=.方法规律:在阅读理解的基础上，把握新定义的数列的概念,由等差数列类比等和数列,然后从给出的新数列的定义出发,由特殊到一般,归纳推理,或凑项裂项、累加,再推广到一般，从而解决问题.三、由关系式到关系式例3: 如图,对于函数()()20f x x x =>上任意两点()2,A a a 、()2,B b b ,线段AB 必在曲线段AB 的上方，设点C 分AB 的比为λ()0λ>，则由图象中点C 在点C '上方可得不等式22211a b a b λλλλ++⎛⎫> ⎪++⎝⎭。

请分析函数()()ln 0g x x x =>的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是 。

（图2）解析：首先弄清不等式22211a b a b λλλλ++⎛⎫> ⎪++⎝⎭的来龙去脉。

按题中给出的信息，该不等式是“由图象中点C 在点C '上方”得到的，也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。

因为点C 分AB 的比为λ，又点A 、B 坐标分别为()2,a a 、()2,b b ，所以221a b λλ++是C 点的纵坐标，而1a bλλ++是C 点的横坐标，21a b λλ+⎛⎫⎪+⎝⎭就是C '点的纵坐标。

因此由C 点在点C '的上方，即得22211a b a b λλλλ++⎛⎫> ⎪++⎝⎭。

最后，作出函数()()ln 0g x x x =>的图象（如y图2）进行比较分析。

设函数图象上任意两点(),ln A a a 、(),ln B b b ，点C 分AB 的比为λ(0a >,0b >,0)λ>,则C 点坐标为ln ln ,11a b a b λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭，C '点坐标为,ln 11a b a b λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭。

注意到C 点在C '点的下方，因此可以得到的不等式是ln ln ln 11a b a bλλλλ++<++()0,0,0a b λ>>>。

启示：图1中的曲线向下凹，()C C y y f c '>=，而图2中的曲线向上凸，()C C y y g c '<=。

本题可通过观察图形、类比关系式找出规律，进而得出结论。

四、由性质到性质例4：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>具有性质：若M 、N 是椭圆C上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为,PM PN k k ，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值。

试对双曲线2222:1x y C a b-=写出具有类似的特征的性质，并加以证明。

解析： 类似性质为：若M 、N 为双曲线22221x y a b-=上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，那么PM k 与PN k 之积是与P 点位置无关的定值。