因式分解之提取公因式法
提取公因式法因式分解 课件
公因式
公因式
归纳： 因式分解——提公因式法 将多项式写成公因式与另一个因式的乘积形式的因
式分解方法。
二、提公因式法
例1 把 8a3b2+12ab3c 分解因式． 8a3b2+12ab3c
解：
=4ab2·2a2+4ab2·3bc =4ab2(2a2+3bc) 不能再有公因式
注意：用提公因式分解因式后，应保证含 有多项式的因式中不再有公因式。
(2) x(x-y)=x2-xy;
(× )
(3) (a+3)(a-3)= a2-9 ； ( × )
(4) a2-2a+1=a(a-2)+1； (× )
(5) x2 +4x+4=(x+2)2; (√ )
合作探究
一、公因式的概念
1、你能试着将多项式 pa+pb+pc 因式分解吗？ pa+pb+pc= p(a+b+c)
快速计算：
（1） 9992 + 999
解： 原式=999×999+999×1 =999×（999+1） =999×1000 =999000
已知a+b=5，ab=4，
求ab2+a2b-a-b的值.
解： ab2+a2b-a-b =ab(b+a)-(a+b) =(a+b)(ab-1) =5×(4-1) =15
二、提公因式法
例2 把 2a(b+c)-3(b+c) 分解因式 公因式为（b+c）
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c) (2a-3)
因式分解之提取公因式法
第六讲 因式分解之提取公因式法一、知识要点1、 因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
（1） 多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
如：()()22b a b a b a -=-+，从左边到右边的变形属于整式乘法； ()()b a b a b a -+=-22，从左边到右边的变形属于因式分解； （2）因式分解的方法：①提公因式法； ②运用公式法； ③十字相乘法； ④分组分解法2、提公因式法：（1）如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab ＋ac ＋ad 的各项ab 、ac 、ad 都含有相同的因式a ，a 称为多项式各项的公因式。
公因式由两部份构成：系数：各项系数的最大公约数相同字母的指数：取最低次幂（3）用提公因式法时的注意点：① 公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如：4a 2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；② 当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。
如：-2m 3+8m 2-12m= -2．m(m 2-4m+6)； ③ 提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
二、知识运用典型例题例1、下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，那些不是，为什么？（1） ()()ab b a b a 422+-=+ （2）()()ab b a b a 422-+=- （3）()()22b a a b -=+- （4）()()22b a b a +=--练习：下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（ ）2233.236A a b ab a b ⋅= 2.(1)(1)1B x x x +-=-()22.211C x x x ++=+ ()2.111D x x x x ++=++例2、 若多项式2x mx n ++分解因式的结果是()()65x x -+，则m = ，n = 。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
因式分解提公因式法教案
因式分解提公因式法教案教案标题：因式分解—提取公因式法一、教学目标：1. 理解因式分解的概念和目的。
2. 掌握如何通过提取公因式的方法进行因式分解。
3. 能够运用提取公因式的方法解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学准备：1. 教学课件、白板、黑板、粉笔等。
2. 课外习题以及解答。
3. 学生作业本。
三、教学过程：1. 导入：引导学生回忆已学过的因式分解知识，提问学生：你们对因式分解有什么了解？因式分解有什么作用？2. 概念讲解：通过教学课件或板书，对因式分解的概念进行解释，强调因式分解的目的是将一个多项式表示为多个单项式的乘积。
3. 提取公因式法：(1) 通过例题引导学生理解提取公因式的概念和方法。
(2) 以多项式的最高公因式作为公因式进行提取，然后将多项式分解成公因式和另一部分。
(3) 通过多个实例进行演示，让学生掌握提取公因式的步骤和技巧。
4. 练习与巩固：(1) 分发课外习题，让学生独立完成并批改答案。
(2) 随堂检查学生的课后作业，纠正他们的错误并解答疑惑。
5. 拓展与应用：(1) 给学生提供一些拓展题目，让他们对提取公因式的方法有更深入的理解。
(2) 引导学生应用提取公因式的方法，解决实际生活中的问题。
例如：根据房屋的面积和需求，判断需要购买的地板面积。
6. 总结与反思：总结提取公因式的方法和要点，并与学生一起回顾学习的过程。
同时让学生进行反思，这个方法在解题过程中有哪些优势和局限性。
四、板书设计：因式分解—提取公因式法多项式 = 公因式 × (另一部分)五、课堂作业：1. 完成课堂上的练习题。
2. 准备下节课的预习内容。
六、教学反思：通过本堂课的教学，学生能够在理解的基础上掌握提取公因式的方法，并能够运用于实际问题的解决中。
在教学过程中，引导学生进行思考和讨论，培养了他们的逻辑思维和解决问题的能力。
后续可以通过更多的练习和拓展题目来进一步强化学生的应用能力。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
《提取公因式法》因式分解PPT(第1课时)
①11a²b－7b²；②5 a²(m－n)－10b²(n－m)；
③x³－x＋1；④(a＋b) ²－4(a－b) ².
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 若a,b,c为△ABC的三边长,且(a-b)b+a(b-a)=a(c-a)+b(a-c),则△ABC是（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
活动探究
探究点三 问题1：利用分解因式简化计算：57×99+44×99-99 解：57×99+44×99-99 =99（57+44-1） =99×100=9900
活动探究
探究点三 问题2： 证明：257-512能被120整除 证明：257-512 =（5²）7-512 =514-512 =512×（5²-1） =24×512 =120×511 ∴257-512能被120整除．
解：（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23） =（19x-31）（13x-17）+（13x-17）（11x-23） =（13x-17）（30x-54） ∴a=13，b=-17，c=-54 ∴a+b+c=13-17-54=-58
课堂小结
1.当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a 2.当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b） 3. 互为相反数的偶数次幂相等； 如（1）（y-x）n=（x-y）n（n为偶数） 互为相反数的奇数次幂互为相反数； （2）（y-x）n=-（x-y）n（n为奇数） 4.当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式 的项数与原多项式的项数一致）.
因式分解-提取公因式法
因式分解是数学中的一种重要技巧，通过提取公因式，可以简化复杂的表达 式，更容易进行后续运算。
提取公因式法的定义
提取公因式法是一种因式分解的方法，通过找出表达式中的公因式，将其提取出来，从而简化表达式。
提取公因式法的基本原理
1 寻找公因式
观察表达式中的各项，找 出它们的共同因子。
将3x+6分解为3(x+2)。
练习二
将4y+8分解为4(y+2)。
练习三
将5z+10分解为5(z+2)。
其他因式分解方法的比较
提取公因式法
适用于有公因式的表达式，简 化运算。
配方法
适用于二次型的因式分解。
分组分解法
适用于四项的因式分解，通过 分组化简表达式。
提取公因式法的应用和意义
提取公因式法在代数表达式的化简、解方程、因式分解、展开式等方面有着 广泛的应用。它可以帮助简化运算、找出规律、化简复杂的代数式。
2 提取公因式
将公因式提取出来，得到 一个简化的表达式。
3 化简表达式
对去除公因式后的表达式 行进一步化简。
提取公因式法的步骤与例子
1
步骤一
观察各项中的公因子，将其提取。
2
步骤二
对剩余项进行化简，如需要可以应用其他因式分解方法。
3
例子
例如，将2x+4分解为2(x+2)。
提取公因式法的练习题
练习一
结论和总结
提取公因式法是一种简化代数表达式的重要工具，通过寻找和提取公因式，可以简化运算、化简表达式、发现 规律，并在各种数学问题中应用广泛。
提取公因式的口诀
提取公因式的口诀
提公因式法口诀:找准公因式，一次要提净；若搬全家走，留1把家守；提正不变号，提负就变号。
什么是提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提取公因式法是因式分解的一种基本方法。
提取公因式是乘法分配律的逆运算，其最简形式为：ma+mb+mc=m(a+b+c)。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法解题步骤
（1）提公因式。
把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出
来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号。
（2）用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。
第4章因式分解 题型解读2 “提取公因式法”题型-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《分解因式》题型解读2 “提取公因式法”题型【知识梳理】1.题型特点：有关“公因式提取”的题目2.解题方法：（1）找公因式的方法：①找各系数的最大公因数；②找相同字母的最低次幂；③多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.（2）用“公因式法”进行因式分解的步骤：①“提”、②“公”、③“分”、④“变”；【典型例题】例1．下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m²+n² B．m²+4m+1 C．m²-n D．m²-2m+1解析:并不是所有的多项式都要以因式分解.一般我们遵循以下步骤来判断是否可以因式分解或进行因式分解：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)看看多项式能否采用"十字相乘法"进行因式分解;(3)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；选项A不符合平方差公式,选项B不符合完全平方公式,选项C没有公因式,而(4)选项D是一个完全平方公式,故选D例2.多项式-2x²-12xy²+8xy³的公因式是（）A．2xy B．24x²y³C．-2x D．2x解析:在找一个多项式的公因式时,要遵循三点:(1)找各系数的最大公因数;(2)找相同字母的最低次幂;(3)多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.答案选C例3．下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A．x²+y² B．x²-y²C．x²+2x+1 D．x²+2x解析：选D，公因式是x；例4．下列各式中，不含因式a+1的是（）A．a²-1 B．2a²+4a+2C．a²+a-2 D．a²-2a-3解析：选项A分解为：(a+1)(a-1)，选项B分解为：2(a+1)(a+1)，选项C分解为：(a-1)(a+2)，选项D分解为：(a+1)(a-3)，选C.例5．下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（）A．a²-b²=（a+b）（a-b） B．a²-2ab+b²=（a-b）²C．ab+ac=a（b+c） D．a²+2ab+b²=（a+b）²解析：选项A：平方差公式，选项B和选项D：完全平方公式，选C例6． 3m（a-b）-9n（b-a）的公因式是_____________解析：公因式是3(a-b)例7．多项式12ab³c-8a³b的公因式是__________解析：公因式是4ab例8．多项式15m³n²+5m²n-20m²n³的公因式是______________解析：公因式是5m²n例9．代数式15ax²-15a与10x²+20x+10的公因式是________________ 解析：公因式是5(x+1)例10．多项式mx²-m与多项式x²-2x+1的公因式是________________ 解析：公因式是 (x-1)例11．若x²-4x+3与x²+2x-3的公因式为x-c，则c=_________解析：公因式是：(x-1),∴c=1；例12．将-a²b-ab²提公因式后，另一个因式是_________解析：公因式是：-1ab,∴另一个因式是a+2b；2例13．分解因式（a-b）（a²-ab+b²）-ab（b-a）为________________ 解析：原式分解为：(a-b)( a² +b²);例14．已知a+b=3，ab=2，计算：a²b+ab²=____________解析：原式=ab(a+b)=2×3=6;例15.计算：计算：22018−(−2)2019=________________解析：原式=原式=22018+22019=22018+2•22018=3•22018例16．分解因式（1）因式分解：a2﹣5a= ．解：a2﹣5a=a（a﹣5）．（2）因式分解：2x2﹣8= ．解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．（3）因式分解：ab+ac= ．解：ab+ac=a（b+c）．（4）（x+2）x﹣x﹣2= ．解：原式=（x+2）（x﹣1）．（5）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= 4 ．解：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．（6）分解因式：m2﹣3m= ）．解：m2﹣3m=m（m﹣3）．（7）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），（8）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2解：4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．故选：B．（9）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）解：x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选：D．。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
提公因式法分解因式
汇报人： 2024-01-10
目录
• 提公因式法简介 • 提公因式法的应用场景 • 提公因式法的步骤与技巧 • 提公因式法的注意事项 • 提公因式法的练习与实例
01
提公因式法简介
定义将多项式分解为几个因式的乘 积，其中每个因式都包含一个公 共因子。
将提取公因式后的多项式 进行简化，确保结果正确 。
重复提取
如果存在多个公因式，需 要重复提取，直到无法再 提取为止。
化简表达式
合并同类项
将多项式中的同类项合并 ，简化表达式。
化简结果
对提取公因式后的多项式 进行化简，得到最终结果 。
检查答案
最后检查结果是否正确， 确保答案无误。
04
提公因式法的注意事项
避免过度化简
在化简过程中，要避免过度化简，以免改变多项式的值。
避免提取复杂公因式
避免提取复杂公因式
在提取公因式时，应尽量提取简单的公因式，避免提取复杂的公因式，以简化 计算过程。
灵活运用提取公因式法
在提取公因式时，应根据具体情况灵活运用提取公因式法，以达到更好的化简 效果。
05
提公因式法的练习与实例
提取公因式的正确性
确定公因式的正确性
在提取公因式时，需要确保提取的公 因式是正确的，即公因式应该是多项 式中各项的公共因子。
避免误提公因式
在提取公因式时，要仔细检查，避免 误提公因式，以免影响后续的化简和 计算。
化简表达式的简洁性
保持化简的简洁性
在提取公因式后，需要进一步化简多项式，使表达式更加简 洁。
02
提公因式法的应用场景
代数表达式
01
代数表达式中，如果存在多个项 具有相同的公因数，可以使用提 公因式法进行因式分解，简化表 达式。
提取公因式的方法
提取公因式的方法在代数中，我们经常需要对多项式进行因式分解，而提取公因式是一种常见的方法。
通过提取公因式，我们可以简化多项式的表达形式，使得计算和理解变得更加方便。
本文将介绍提取公因式的方法，帮助读者更好地掌握这一代数技巧。
首先，我们来看一个简单的例子，4x+8y。
这个多项式中，4和8都可以被整除，因此我们可以提取公因式4，得到4(x+2y)。
在这个例子中，4就是公因式，提取公因式的过程就是将公因式提取出来，并将剩余部分用括号括起来。
这样，我们就得到了一个因式分解后的简化形式。
除了简单的一元一次多项式外，提取公因式的方法同样适用于更复杂的多项式。
对于多项式ax+ay，我们同样可以提取公因式a，得到a(x+y)。
而对于多项式ax^2+bx，我们则可以提取公因式x，得到x(ax+b)。
通过这些例子，我们可以看到，提取公因式的方法实际上是一种将多项式进行因式分解的简单而有效的方式。
除了一元一次多项式外，提取公因式的方法同样适用于高次多项式。
例如，对于多项式3x^2y-6xy，我们可以提取公因式3xy，得到3xy(x-2)。
同样地，对于多项式4a^3-8a^2，我们可以提取公因式4a^2，得到4a^2(a-2)。
通过这些例子，我们可以看到，提取公因式的方法在处理高次多项式时同样具有很好的效果。
提取公因式的方法不仅适用于单项式的因式分解，还可以应用于多项式的因式分解。
例如，对于多项式2x^3-4x^2+6x，我们可以先提取公因式2x，得到2x(x^2-2x+3)，然后再对括号中的二次三项式进行因式分解。
通过这一步骤，我们就可以将原来复杂的多项式转化为更简单的形式。
在实际应用中，提取公因式的方法可以帮助我们更好地理解和计算多项式。
通过提取公因式，我们可以简化多项式的表达形式，使得计算和理解变得更加方便。
因此，掌握提取公因式的方法对于学习代数和解决实际问题都具有重要的意义。
总之，提取公因式是一种常见且有效的因式分解方法。
提取公因式法
动脑想一想？公因式是什么？ (b+c)
解：2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3)
如何验证 结果正确
呢？
练习2 : (填空) (1) 1 - 2x = + ( 1-2x ) (2) -x - 2 = - ( x +2 ) (3) -x2 - 2x +1 = - ( x2 + 2x -1 )
因式分解：把一个多项式化成几个整式的
积的形式ห้องสมุดไป่ตู้
（1）x2 y xy2 xy(x y) （2）2a2 2a 2a(a 1)
（3）242 24
24（24 1） 2425 4625 600
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做 这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把 公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的 方法叫做提取公因式法。
例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式
(1) 2x3 6x2 (2) 3 pq3 15 p3q (3) 4x2 8ax 2x (4) 3ab 6abx 9aby
提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式
（2）多项式除以公因式，所得的商作为 另一个因式
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式
练一练：分解因式
(1) 3a3 2a2 a a( 3a2 2a 1 )
(2) 6p3 10 p2 2 p 2 p( 3 p2 5 p 1 )
练一练：分解因式 (1) 3x2 9xy (2) 3mx 6nx2 (3) 2ab2 4a2b 10ab
把2a(b+c)-3(b+c)分解因式
练一练：
多项式
提公因式法的三个步骤
提公因式法的三个步骤提公因式法是一种常用的代数方法，用于将多项式进行因式分解。
它可以将多项式中共同的因式提取出来，使得多项式变得更加简单，是解决代数问题的重要工具。
下面我们将介绍提公因式法的三个步骤。
第一步：找出公因式在使用提公因式法时，首先需要找出多项式中的公因式。
所谓公因式，就是多项式中所有项的共同因子。
通常来说，公因式是多项式中最高次项的系数和变量的乘积。
例如，对于多项式2x^2+4x，它的公因式为2x。
因为2x可以因式分解为2*x，而2和x分别是2x^2和4x的因子。
因此，我们可以将2x提取出来，得到2x(x+2)。
第二步：将公因式提取出来在找到公因式之后，我们需要将它从多项式中提取出来。
这一步可以通过将每一项都除以公因式来实现。
例如，对于多项式2x(x+2)，我们可以将2x提取出来，得到2x(x+2)=2x*1*(x+2)。
第三步：将提取出来的公因式和剩余部分相乘最后一步是将提取出来的公因式和剩余部分相乘，得到原始的多项式。
例如，对于多项式2x(x+2)，我们提取出来的公因式为2x，剩余部分为(x+2)，那么我们可以将它们相乘，得到原始的多项式2x^2+4x。
通过以上三个步骤，我们就可以使用提公因式法将多项式进行因式分解。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活运用，找到多项式中的公因式，并将其提取出来，最终得到简化后的多项式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式中存在公因式的情况。
如果多项式中不存在公因式，就需要使用其他的方法来进行因式分解。
此外，在实际应用中，我们还需要注意多项式的次数和项数，以便选择最合适的方法进行因式分解。
提公因式法是一种常用的代数方法，可以将多项式进行因式分解，使得代数问题变得更加简单。
通过掌握提公因式法的三个步骤，我们可以更加灵活地运用它来解决实际问题。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(学生版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ． 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）； （2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）； （4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。
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因式分解之提取公因式法一、教材分析：“因式分解（提取公因式法）”是“华东师大版八年级数学（上）”第十三章第五节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链接开拓作用。
提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
二、学情分析：因为我们班的学生大多数来自农村移民的学生，学生基础薄弱，学习兴趣不浓，所以我通过具有现实意义的情境引入新课，调动学生学习热情。
三、三维目标：根据大纲要求,结合本教材特点和学生认知能力，将教学目标确定为：知识与技能：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
过程与方法：在教学过程中，体会类比的数学思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。
情感态度与价值观：通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。
四、教学重难点：教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式五、教学方法与教学手段：教法：类比、探究式教学方法教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。
学法：自主、合作、探索的学习方式在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，体现素质教育的要求。
六、教具：多媒体、圆柱体、长方体本课将利用多媒体演示，丰富的教学活动激发学生学习的积极性，更好的达成教学目标，突出重点，突破难点。
七、教学过程教学环节教学流程教学内容学生活动设计意图创设情境4′实例导入列式替代近年来，我国土地沙漠化问题严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动。
每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？列式：37×102+37×93+37×105有简便算法吗？=37×（102+93+105）=37×300=11100（棵）在这一过程中，把37换成m，102换成a，93换成b，105换成c，?于是有：m·a+m·b+m·c= m (a+b+c)利用整式乘法验证：m (a+b+c)= m·a+m·b+m·c通过演示引出问题学生思考列式逆用乘法分配律，迁移化归利用通过具有现实意义的情境引入，调动学生学习热情，也提高学生关注生存环境的环保意整式乘法，进行验证识。
利用因数分解将字母代替数，引入因式分解，知识衔接连贯，温故知新，并且用整式乘法来验证等式，为因式分解与整式乘法的联系埋下伏笔。
新课讲解4′提问类比引入新知因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。
对象：多项式结果：整式的乘积形式学生举例：（说明什么是因式分解）思考：整式的乘法与因式分解的关系：和差积1、整式的乘法因式分解2、利用整式乘法检验因式分解的正确性。
练习思考（判别因式分解）ma+mb+mc=m（a+b+c）想学习这样分解因式的方法吗？这就是提取公因式法理解概念学生思考后回答，教师给予鼓励评价独立思考、合作交流启发学生从整式乘法角度举例培养学生发散思维和创新意识，同时根据例子发现学生对因式分解理解的正误，教师可及时引导纠正。
通过类比的数学思想让学生发现整式乘法与因式分解的关系。
联系思考中以习题形式反馈学习质量，边学边练，形成数学活动经验，不增加记忆负担。
新课讲解11′游戏探索归纳总结公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。
寻找公因式游戏：根据多项式和提供的整式，寻找出这个多项式的公因式。
①3a+3b ②21x2y2+7x2ya, b, 3 21xy, 7x2y,7x2y2③-x3y2+3xy2-xy ④x(x-y)2-y(x-y)xy, -xy, 3xy x(x-y), y(x-y), (x-y)……寻找公因式的方法：（1）取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的理解概念准备好写有整式和多项式的纸牌，学生分为四组，每组选四个同学游戏，其中引入公因式的概念后，用游戏活动激起学生对新知识的学习兴趣，使课堂气氛轻松活数字因式。
（2）各项中的相同的字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂。
3个同学举一组题中的整式牌，第4个同学根据组员建议寻找出此组题中多项式的公因式，并说明理由。
学生讨论归纳出方法。
跃。
这样设置打破了传统的由教师讲授找公因式方法，学生被动接受记忆，而是让学生在游戏中团结协作，自主探索出方法，有利于发展思维能力及培养学生归纳总结表达交流的能力。
实例分析提取公因式法：把公因式提出来,多项式 ma+mb+mc就分解成m和a+b+c的乘积，这种因式分解方法叫做提公因式法。
例：把下列各式分解因式：(1) 3a+3b (2) 21x2y2+7x2y(3) –x3y2+3xy2-xy易出现的典型错误：1、符号2、项数理解概念师生共同完成，纠正易出现的错误，写出规范解题格式。
例题在游戏中出现过，由此可将注意力集中在提出公因式后各项的变化上，更易让学生学会准确的提取公因式。
例：（4）x(x-y)2-y(x-y)（5）(x-y)3-(y-x)2注：n为偶数 (x-y)n = (y-x)nn为奇数 (x-y)n = - (y-x)n学生积极思考，讨论回此例说明各项中相同的整式也可作为答。
公因式的一部分，为以后学习换元法铺路。
探索4′讨论探索：a2-bc+ac-ab能分解因式吗？法1：(a2+ac)+(-bc-ab)法2：（a2 -ab）+(ac-bc)法3：（a2+ac-ab）-bc 不能分解鼓励学生进行交流探索，说出分组依据。
学生对分组后能否继续分解进行分析，增加实践经验，提高数学思维品质。
反馈练习10′巩固练习练习一判断下列各式是不是因式分解,为什么？（1）12x3y2=3x3·4y2（2）ax+bxy-xy=ax+xy(b-1)（3）a2-b2=(a+b)·(a-b)(转回因式分解)练习二基础题：将下列各式分解因式（1）a2b+5ab+b（2）(a-b)2-(a-b) (a-c)+(a-b) (b+c)计算：7.6×199.8+4.3×199.8-1.9×199.8提高题：将下列各式分解因式（1）x n+x n-1+x n-2（2）ac-bc-ad+bd独立完成与同学交流、讨论，可寻求教师帮助巩固新知，深化学习内容。
基础题为基础题。
提高题为能力提高题。
两种类型题目兼顾学生学习情况，实现了对学生能力的分层次要求。
通过练习及时反馈学生对知识的掌握情况，教师进行适时指导。
课题拓展8′动手实践请你利用甲、乙两个纸片（甲片是圆，乙片是矩形）为底，用橡皮泥做出一样高的圆柱体和长方体。
现在知道圆的周长10a厘米，矩形的长3a厘米，宽2a厘米。
你知道哪一个的体积大吗？大多少？如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大。
（提示：可设它们的高均为h厘米，π取3.14）列式：V圆柱体-V长方体=π()2h－3a·2a·h= h－6a2h=a2h（－6）……每个同学先制作出模型，在教师帮助下理解题意。
同学们互相讨论，交流，实践，动手制作模型，增强学生动手能力。
运用提取公因式法计算以及与其它学科知识的融合，。